高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性课后导练新人教A版必修120171012393.doc
1.3.2 奇偶性课后导练基础达标1.下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定过原点 偶函数的图象有且只有一条对称轴，即y轴 是奇函数且又是偶函数的函数一定是f(x)=0,xRA.0 B.1 C.2 D.3解析：若定义域内包含0，则偶函数图象一定与y轴相交，若定义域内有0，则奇函数的图象一定过原点，偶函数图象关于y轴对称，但是还可以有其他的对称轴，既奇又偶的函数一定是f(x)=0，但定义域不一定是xR.答案：A2.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是5，则f(x)在-7，-3上是（ ）A.增函数，最小值为-5 B.增函数，最大值是-5C.减函数，最小值为-5 D.减函数，最小值是-5解析：由奇函数的图象关于原点对称（如下图）可知：f(x)在-7，-3上单调递增，且f(x)max=f(-3)=-f(3)=-5.答案：B3.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(-,0)上单调递增，若x1<0<x2,且|x1|<|x2|,则（ ）A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2) C.f(-x1)=f(-x2) D.f(-x1)f(-x2)解析：x1<0<x2,且|x1|<|x2|,则-x2<x1<0，由题目条件得 f(-x2)<f(x1),f(x1)=f(-x1),f(-x2)<f(-x1).答案：A4.对于定义在R上的任意奇函数f(x)都有（ ）A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)0 C.f(x)·f(-x)0 D.f(x)·f(-x)>0解析：当x0时，f(x)·f(-x)<0;当x=0时，f(x)·f(-x)=0,故f(x)·f(-x)0.答案：C5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是（ ）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数解析：由条件得b=0,g(x)=ax3+cx,由于g(-x)=ax3+cx=-ax3-cx=-g(x),g(x)为奇函数.答案：A6.设f(x)是奇函数，且在(0,+)上是增函数，又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解是（ ）A.-3<x<0或x>3 B.x<-3或0<x<3 C.x<-3或x>3 D.-3<x<0或0<x<3解析：由条件得f(3)=f(-3)=0, x·f(x)<0或或或-3<x<0.答案：D7.在下列函数中，不具有奇偶性的是（ ）y=2(x-1)2-3 y=x2-3|x|+4 y=|x+1|+|x-1| y=A. B. C. D.解析：由奇偶函数的定义可知只有y=2(x-1)2-3为非奇非偶函数.答案：D8.f(x)是定义在（-,+）上的偶函数，且x0时，f(x)=x3+x2,则当x<0时，f(x)=_.解析：当x<0时，-x>0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2. f(-x)=f(x),f(x)=-x3+x2.答案：-x3+x29.已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10,则f(2)=_.解析：令g(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx,则g(x)为奇函数. g(-2)=f(-2)-8=10-8=2, g(2)=-2, f(2)=g(2)+8=-2+8=6.答案：610.若f(x)是偶函数，则f(1+)-f()=_.解析：f(1+)-f()=f(1+)-f-(1+)=f(1+)-f(1+)=0.答案：0综合运用11.函数y=f(x)在（0，2）上是减函数，且关于x的函数y=f(x+2)是偶函数，那么（ ）A.f()<f(3)<f()B.f()<f(3)<f()C.f(3)<f()<f()D.f(3)<f()<f()解析：令f(x+2)=x2,f(x)=(x-2)2,其对称轴为x=2,对f()=f(),且>3>, f()>f(3)>f(),故选A.答案：A12.定义在R上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0，+)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列给出的不等式中成立的是（ ）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)A. B. C. D.解法一：取f(x)=x,g(x)=|x|,a=2,b=1代入得，3>1;得，3<1;得，3>-1;得，3<-1.故正确，选D.解法二：令f(x)=x,g(x)=|x|作出相应图象，如下图所示.观察图象可知正确.故选D.解法三：由于f(x)为奇函数且在原点有意义，故f（0）=0，又f(x)为增函数，f(a)>f(b)>f(0)=0.当x0时，g(x)=f(x). 据条件改写得，f(b)+f(a)>g(a)-g(b)=f(a)-f(b)，即f(b)>0,正确而不正确. 改写得，f(a)+f(b)>g(b)-g(a)=f(b)-f(a)，即f(a)>0，正确而不正确，故选D.答案：D13.函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调递减函数，且f(1-a)<f(a2-1)，则a的取值范围是_.解析：f(1-a)<f(a2-1)0<a<1.答案：0<a<114.f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且是单调递减函数，若f(2-a)+f(2a-3)<0，求a的取值范围.解析：f(2-a)+f(2a-3)<0f(2-a)<-f(2a-3)f(2-a)<f(3-2a). f(x)是定义在（-2，2）上的奇函数，且单调递减， 解得 1<a<.答案：1<a<15.若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=,求函数f(x)和g(x).解析：由 +得，2f(x)=-=, f(x)=,代入得g(x)=.16.已知y=f(x)是定义在(-,+)上的奇函数，且在0,+)上为增函数.(1)求证：y=f(x)在(-,0)上是增函数；(2)如果f()=1，解不等式-1<f(2x+1)0.(1)证明：略.（2）解析：f(x)是定义在（-,+）上的奇函数，f(0)=0. f()=1, f(-)=-1, -1<f(2x+1)0f(-)<f(2x+1)f(0). f(x)在0,+上为增函数， f(x)在(-，0)上也为增函数， 解得 -<x-.拓展探究17.已知函数f(x)=(m2-1)x2+(m-1)x+n+2的定义域为(-,+).m、n为何值时f(x)为奇函数？解法一：f(x)=(m2-1)x2+(m-1)x+n+2是奇函数，对任意xR，都有f(-x)+f(x)=0恒成立，即(m2-1)x2-(m-1)x+n+2+(m2-1)x2+(m-1)x+n+2=0恒成立，也就是(m2-1)x+n+2=0对任意xR的成立. 当且仅当即时，f(-x)+f(x)=0对任意xR成立， 时，f(x)是奇函数.解法二：由于f(x)是定义在(-,+)上是奇函数，因此f(0)=0,得到n+2=0.n=-2.f(x)=(m2-1)x2+(m-1)x为奇函数，必须满足m2-1=0,即m=±1.m=±1且n=-2时，f(x)是奇函数.18.对于任意非零实数x,y，函数y=f(x)(x0)满足f（xy）=f(x)+f(y).(1)求证：f(1)=f(-1)=0；（2）求证：y=f(x)是偶函数；（3）若y=f(x)在（0，+）上是增函数，解不等式f(x)+f(x-)0.(1)证明：令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0;又令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即0=2f(-1), f(-1)=0,故f(1)=f(-1)=0.(2)证明：f(1)=f(x·)=f(x)+f(),f(-1)=f(-x·)=f(-x)+f(),而f(1)=f(-1)=0, f(-x)=f(x), f(x)是偶函数，（3）解析：f(x)+f(x-)0，即f(x2-x)0,而y=f(x)在(0,+)上是增函数， f(x2-x)f(1), 解得 x,且x0,x.5
