济南大学高等数学C一ch-5-6.ppt

1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法：,a. 多项式与分式函数代入法求极限（极限运算法则）； b. 消去零因子法求极限（0/0型）; c. 无穷小因子分出法求极限（/型）; d. 利用无穷小运算性质求极限（无穷小与无穷大的关系, 无穷小与有界函数的乘积，无穷小之和的运算等等）; e. 利用左右极限求分段函数极限（分段函数求极限）. f. 复合函数求极限,内容回顾,第五节 极限存在准则 两个重要极限,两个重要极限,极限存在准则,思考题、,小结,1.两边夹准则,一、极限存在准则,例1,解,由两边夹准则得,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,2.单调有界准则,证,(舍去),例2,(1),二、两个重要极限,由于基本初等函数在其定义域内任意一点 处的极限值等于该点处的函数值.,注,(1),例3,解,(2),定义,超越数,推广,得另外的等价形式：,准确记忆,注,做题时必须化成此种类型，才能利用结论.,例4,解:,例5,解:,幂指函数,设一笔贷款A0(称本金)，年利率为r，则,1年后的本利和为,A1 = A0(1+r),2年后的本利和为,k年后的本利和为,A2 = A1(1+r) = A0(1+r)2,Ak=A0(1+r)k,三、连续复利,如果1年分n期计息，年利率仍为r，,1年后的本利和为,k年后的本利和为,如果计息期数 ,即每时每刻计算复利,则每期利率为 ,（称为连续复利），则k年后的本利和为,解答,思考题,1.两个准则:,2.两个重要极限,两边夹准则; 单调有界准则 .,3. 连续复利,小结,作 业,P62 T1(偶), T2 (偶), T3,第六节 无穷小的比较,等价无穷小的替换,无穷小的比较,思考题,小结,1.两个准则:,2.两个重要极限,两边夹准则; 单调有界准则 .,3. 连续复利,内容回顾,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,观察各极限,一、无穷小的比较,定义:,解：,例1,例2,解：,常用等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 64页定理1,例如,定理(等价无穷小替换定理),证：,等价无穷小的一个重要作用：简化极限计算过程，以等价无穷小替换定理作为理论基础.,二、等价无穷小的替换,例3,解：,!不能滥用等价无穷小代换.,!对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注：,例4,正确解法：,解：,解答,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,不能,例如当 时,都是无穷小量,不存在且不为无穷大.,故当 时,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,小结,作 业,P65 T3,