高等教育自学考试中英合作数量方法.ppt
高等教育自学考试中英合作 数量方法,齐明 教授 理想国际教育,第0章 课程概要,一、课程性质 本课程是中英合作商务管理、金融管理专业的基础课程之一。是一门数学课程，属于概率论与 数理统计分支。 二、课程特征 本课程强调和注重应用数理统计的基本方法，处理和计算数据的能力。对于理论基本不考，掌握方法并能灵活应用即可。考卷全部都是选择题和应用题。 三、学习要求 1、具备中学数学知识； 2、善于思考，勤于练习。,第一章 数据的整理和描述,目的和要求： 掌握对数据进行整理、分组、制表、和画 图，能计算数据的各种指标并解释其意义。 第一节 数据的类型 一、按照描述事物的方式不同可分为,二、按照描述事物的对象与时间关系的不同可分为,第二节 数据的整理与显示 一、数据的分组与频率直方图 （一）分类型数据 P4 【例1.1】 （二）数量型数据 1. 单变量值分组法 P5 【例1.2】 2. 组距（多变量值）分组法 （重点）P6表1.4,二、数据的图形显示 （一）饼形图 P9图1.2 (二) 条形图和柱形图 P10图1.3 、1.4 （三）折线图 P11图1.5 （四）曲线图 P12图1.6 （五）散点图 P13图1.7 （六）茎叶图 P13【例1.6、7】,第三节 数据集中趋势的度量 (数据集的中心位置) 一、平均数 （一）算术平均数 强调：此式是针对原始数据的。P16【例1.9】 缺点：对极端值非常敏感。P17【例1.10】,（二）加权平均数 其中： 分别为各组频数和组中值。 强调：此式是针对分组数据的。 P22【例1.15、16】,二、中位数 将全部数据按上升顺序排列，位于数列中间的数值为该数据集的中位数。 如果： （一） n为奇数 则 中位数 = （二） n为偶数 则 中位数 = P18【例1.11、12】,三、众数 数据集中出现次数最多的数值。 P18【例1.13】 优点：不仅适合于数量型数据，也适合于分类型数据 P19【例1.14】,四、平均数、中位数、众数的关系 对同一数据集，一般情况下，三者之间没有必然关系。但在一些特定情况下，存在如下关系： （一）（直方图）单峰对称 三者相等。P20 图1.16 （二）（直方图）单峰左偏 众数中位数平均数 P21图1.17 （三）（直方图）单峰右偏 和左偏相反 P21图1.18,第四节 数据离散趋势的度量 (数据集的分散程度) 一、极差 R = 最大值 - 最小值 P25 【例1.18】 缺点：对极端值非常敏感。为此又引入了四分位极差。 二、四分位极差 将数据集等分为四部分的那些数值分别记为 Q1、Q2、Q3，四分位极差 = Q3 - Q1。 P26 【例1.19】 缺点: 信息没有充分利用。,三、方差和标准差 （一）方差 （二）标准差 P27【P24原例1.17】 强调：此二式是针对原始数据的。,四、 变异系数 （数据相对于平均数的离散程度） （没有单位） 应用： （一）用于不同平均数的两组数据集的比较。 P29【例1.21】 （二）用于不同属性的两组数据集的比较。 P30【例1.22】,第二章 随机事件及其概率 （难点非重点）,目的和要求： 掌握事件之间的关系和基本运算，并能计算简单的概率。 第一节 随机试验及随机事件 几个名词： 1.随机试验 2.随机事件 3.基本事件（样本点） 4.样本空间,第二节 事件的关系和运算 一、三种运算 并（ AB ）：至少发生一个的事件。 交（ AB） ：两个同时发生的事件。 差（ A - B ） ：A发生，但B不发生的事件 P40 【例2.4、5】 二、三种关系 包含：若A发生，则B一定发生，称B包含A。 互斥：若 AB 不可能发生，称A与B互斥。 对立：若A与B互斥且AB一定发生，称A与B对立。记 B =,第三节 古典概率 一、事件的频率 在相同条件下，进行N次试验，事件A发生了NA次。其比值 NA/N 称A发生的频率。显然，随着N的增大，频率将趋于稳定。 二、事件的概率 频率的稳定值称A发生的概率，记 P（A）= p（0p1）。 P43 【例2.7】,三、常用概率公式 加法公式 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) 减法公式 P(A-B) = P(A) - P(AB) 归一律 P(A) + P（ ）=1 如果 : 1. A包含 B，则 P(AB) = P(B); 2. A与B互斥,则 P(AB) = 0； 3. A与B相互独立，则 P(AB) = P(A) P(B) P44【例2.8、9】,四、古典概率 P(A) = 其中：N为样本空间中样本点总数， NA为A所包含的样本点数。 P45【例2.10、11、12】,第三章 随机变量及其分布 （难点非重点）,目的和要求： 了解随机变量的概念及分类，重点掌握二项分布和正态分布。 以及随机变量的期望和方差（标准差）。 第一节随机变量及其分类 由试验结果确定取值的变量称随机变量。记 X Y Z。 随机变量分类,第二节 离散型随机变量三个关键概念 一、分布律 :描述随机变量取不同值的概率。P( X = k) = pk P64 【例3.4、5】 二、数学期望 :随机变量的“中心”位置的度量。 P66 【例3.6、7、8、9】 三、方差:随机变量取值的“离散程度”的度量。 标准差 : P69【例3.10、11】,四、二项分布 引例 1：一名射手命中率为0.8。独立、重复射击10枪，命中6枪的概率是多少？ 抽象：事件A在一次试验中发生的概率为p。独立、重复进行n次试验，A发生k次的概率是多少？ 设发生的次数为 X，则 称 X 为服从参数为n、p的二项分布。 记号为：X B (n、p)。 对于引例1而言，命中次数 X B(10、0.8)。即 X 服从参数为n=10、p=0.8的二项分布。,二项分布三个关键概念的结果： （一）分布律 （二）数学期望 E(X) = np （三）方差和标准差 D(X) = np(1-p),对于上述引例1而言，由于 X B(10、0.8)， 所以： E(X) = np = 10×0.8 = 8(枪)， D(X) = np(1-p) = 10×0.8×（1- 0.8 ）=1.6（枪²）。,五、两点分布（随机变量 X 只能取0、1两个值） 记号为：X B (1 , P) （一）分布律 （二）数学期望 E(X) = p （三）方差和标准差 D(X) = P (1-P)， 显然，是二项分布中 n = 1 时的特例。,引例 2： 一批产品的次品率为0.95，从中任取一个。其中的次品数 X 就服从参数 p = 0.8的两点分布。即：X B （1，0.8）。 X 的分布律为,数学期望 E(X) = 0.8 方差和标准差 D(X) = 0.16，,第三节 连续型随机变量（也是三个关键概念） 一、密度函数（对应于离散型的分布律，很少涉及） 二、数学期望 三、方差 我们基本只涉及其中的正态分布，记住结论既可。,X,用面积表示概率,四、正态分布 记号为：X N( 、 ²)，其中 、 ² 为参数。 E(X) = ，D(X) = ²,引例3： 人的身高为随机变量 X，经统计：X N(170、 6²)， 根据数学期望的意义，人的平均身高 ：E(X) = =170(cm)， 根据方差的意义，人的身高“偏离 值（ 170cm）的程度”为 D(X) = ²= 6² = 36（cm²）。 同理，人的寿命 Y 也是如此：Y N(80、 5²)， E(Y) = = 80(年)，D(Y) = ²= 5² = 25(年²)，,五、关于正态分布的概率（重点） （一）标准正态分布：X N(0、1)。 E(X) = 0， D(X) = 1, P(X1) = 0（1）= 0.8413。,概率： P(Xz) = 0（ z ）= 1- 见P84 图3.9 必须记住2个特例： = 0.025时，z0.025 = 1.96 即：P(X1.96) = 0（1.96）= 0.975 = 0.05时， z0.05 = 1.645 即：P(X1.645) = 0（1.645）= 0.95 。,（二） 一般正态分布和标准正态分布的关系 经证明：若 X N ( 、 ²)，则 这一关系告诉我们，任何一个正态分布都可以转化为标准 正态分布。然后，就可以通过查表来解决其概率问题。,六、引例3（续）：人的身高为随机变量 X，求身高在180（cm） 以下人的概率。 解：已知 X N(170、 6²)，由五、（一）和（二）可得 P(X180) = P( ) = P（ ） = 0（1.65） 0（1.645）= 0.95。,同理，设人的寿命为Y，求寿命在90岁以下的概率。 已知 Y N(80、 5²) P(Y90) = P( ) = P（ ） = 0（2） 0（1.96）= 0.975。,七、数学期望与方差的性质 （一） E(a+bX) = a + bE(X) D(a+bX) = b²D(X) P649【例3.11】 （二） E(aX+bY) = a E(X) + bE(Y) D(aX+bY) = a² D(X) + b² D(Y) P91【例3.19】,第四章 抽样方法与抽样分布,目的和要求： 了解抽样目的和抽样方法，及每种方法的应用。掌握两个重要的抽样分布和应用。 第一节 抽样那个作用与抽样方法 一、几个名词： 1. 总体（是随机变量 X） 2.个体（具体数据） 3. 样本（总体的一部分，n个个体） 二、四种抽样方法及特点（可以自学）P106-111。,第二节 总体与样本的关系 一、假设 设总体为 X，共有N个个体（数据）。多数情况下是正态分 布，即 X N ( 、 ²)。样本：x1、x2、xn，容量为 n 。 二、关系 样本的n个数据其实就是总体X的n次取值，所以，样本也是 随机变量。显然，这个随机变量应该相似于X。统计学已证明： 当 n 足够大时，样本分布逼近总体分布。这就有可能通过样本来 揭示总体的某些特征（如 或² ）。,三、样本均值 它的值显然和样本一一对应，所以它也是随机变量。中心极 限定理：当 n 30 时，无论总体分布如何， 。 几点解释： 1. 的分布称“均值的抽样分布”： 2. n 30 为大样本， n 30 为小样本； 3. 、 ²和总体一致；,四、引例 4 北京人身高为 X（总体 ），人口1200万（N），随机抽取 100人的身高为样本，由引例3知：X N(170、 6²) 。根据中心极 限定理： 其中：=170 ， ²=6²和总体一致。 P125【例4.13】,第五章 参数估计 （难点）,目的和要求： 通过样本计算来估计总体的或²的值。以及给出一个给 定置信度的置信区间。根据给定的条件，确定样本容量 n 。 第一节 参数估计的概念 总体分布已知（多为正态分布），其中参数（ 或² ）未 知。根据样本提供的信息（数据）： x1、x2、xn ，对未知的 总体参数进行估计。,第二节 点估计 根据数理统计的原理，点估计结果如下： 一、 评价：无偏、有效、一致。 二、² 评价：无偏。S² 称为样本方差,第三节 区间估计 一、一个总体 （一） 根据数理统计的原理， 总体的数学期望（均值）的置 信度 为(1-)的置信区间如下： 一般情况， 几点解释： 1、总体为正态分布，或大样本（n 30 ）上式都适用； 2、如未知，用s代替。 P143【例5.1、2】,特殊情况： 正态总体、² 未知、小样本（三个条件缺一不可）时，总体的数学期望（均值）的置信度 为(1-)的置信区间如下： 其中： 可由 t 分布表查得。 P145【例5.3、4】,（二） 当总体为两点分布，即：X B（1，P），且参数P时未 知， 则P（也是其数学期望）的置信度 为(1-)的置信区间如下： 其中：p 是样本比例，要求是大样本（n30）。 P148【例5.6】,二、两个总体 （一）问题：两个正态总体 X1、X2，其中 1 、2都未知。 给出（1 -2）的置信度为(1-)的置信区间如下： 一般情况， 如果两个未知，则用两个s代替。 P152【例5.9】,特殊情况： 两个正态总体、 两个² 未知、两个都是小样本 （这三个条件缺一不可）时，（1 -2）的置信度为 (1-)的置信区间要用 P153-式（5.9） P153【例5.10】,（二） 当两个总体都为两点分布即：X1 B（1，P1）， X2 B（1，P2）时，且两个参数P1，P2均未知， 则(P1 P2)的 置信度 为(1-)的置信区间见 P155-式（5.11） 其中：1、P1, P2分别是两个 样本比例； 2、要求是两个大样：n130，n2 30 。 P155【例5.12】,第四节 样本容量 n 的确定 问题：抽取样本要有代价，所以在满足要求（置信度和区间 宽度）的条件下，n 越小越好。 一、相关概念 1.允许误差（置信区间宽度的一半）： 2.允许误差和 n成反比， 3.总体方差²和 n成正比， 4.置信度(1-) 和 n成正比。,二、n 的确定 1.重复抽样或 n « N 时， P158 【例5.13】 2.有限总体不重复抽样（n/N ）0.05时， P159 【例5.15】,3. 当总体为两点分布，即：X B（1，P）时，且参数P未知， 则由P 148 -式（5.6）可得： 1.重复抽样或 n /N0.05 时， P160 【例5.16】 2.有限总体不重复抽样时， P161【例5.17】,第六章 假设检验 （难点）,目的和要求： 根据题意提出假设，或选择假设。明确检验的四个步 骤，进行检验。 第一节 假设检验的概念 总体 X分布已知（多为正态分布），其中参数（ 或² )未 知。根据样本提供的信息（数据）： x1、x2、xn ，对假设的 H0：和0（一个已知数）的大小关系，根据“小概率原理”，按 程序（三个步骤）检验其真伪。,第二节 假设检验的步骤 1. 提出假设 H0： 2. 计算统计量（一般情况）： 如未知，用s代替。 3. 根据显著性水平，确定拒绝域 4. 决策 ：若统计量落入拒绝域，则在显著性水平下拒绝H0。,第三节 假设检验 一、一个总体的假设检验 （一）总体为正态分布或大样本 一般情况，P170【例6.1、2】 特殊情况，正态总体、 ² 未知、小样本（三个条件缺一不可）。 其中：临界值 可由 t 分布表查得。其余步骤和 一般情况相同。 P173【例6.3】,（二） 当总体为两点分布，即：X B（1，P）时，且 参数P未知，P的检验步骤: H0： 统计量： 其余步骤和一般情况相同。 P175【例6.4】,二、两个总体均值之差的假设检验 问题：两个正态总体 X1、X2，其中 1 、2都未知。对假设 的 H0 ： 1 和2的大小关系检验其真伪。 和一个总体检验的区别： 1. 2. 计算统计量： P177-式（6.5a、b） P177【例6.5、6】,第七章 相关与回归分析 （重点）,目的和要求： 会计算简单相关系数和一元线性回归方程中的回归系数，并 能解释其意义。进行相关分析、拟合度分析和预测。 第一节 概念 给定 n 对数据(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn),在坐标系中描出 散点图。若这些散点集中在一条直线附近，则可以给出一元线性 回归方程。并进行相关分析和预测。 P204【例7.1】 P206图7.2,第二节 简单线性相关 r 的意义：两个变量x、y之间线性相关关系的度量。 r 的性质： 1. -1 r 1 2. r 0, x、y之间呈正相关； r = 0，x、y之间无线性关系，但可有非线性关系。 P206【例7.2】 P205图7.1,第三节 一元线性回归 设 一元线性回归方程 其中：b1表示x每变动一个单位时，y的平均变动值的估计值。 根据最小二乘法： P211【例7.3】、图7.3,第四节 回归直线的拟合度 -直线与散点的接近程度 一、判定系数 r² = (r)² = 其中：SST = SSR + SSE,r² 的意义：在 SST 中有（r²×100）%是由x、y之间的线性关系来解释。 r ² 的性质： 0 r² 1 。 r²越大，直线和散点拟合的就越好。 P214【例7.4】,二、估计标准误差 Sy = Sy的 意义： 1. Sy越小，直线与散点的接近程度越好（散点与直线越近）。 2. Sy = 0 和 r² = 1 (r =±1) 等价。 P215【例7.5】,第五节 回归分析中的显著性检验 一、线性相关的检验（F检验） 1、H0：X、Y之间线性关系不显著。 2、计算统计量： 3、根据显著性水平，确定拒绝域：FF（1，n-2）。 F（1，n-2）可由 F分布表查得(或题目给出)。 4、若统计量落入拒绝域，则在显著性水平下拒绝H0。 即：认为X、Y之间线性关系显著，回归方程有效。 P217【例7.6】,二、回归系数的检验（t检验） 1、H0: b1 = 0 (即x对y没有约束意义) 。 2、计算统计量： 是b1 标准差。 3、根据显著性水平，确定拒绝域： 4、若统计量落入拒绝域，则在显著性水平下拒绝H0。 即：认为X、Y之间线性关系显著，回归方程有效。 P218【例7.7】,第六节（点估计）预测 设 x = x0 ，代入到线性回归方程中，可以得到对应 y 0的平均 值的一个估计值： = bo + b1 × x0 。 P211【例7.3续】 求所有月收入2000元家庭的月平均储蓄额。 解：令 x = 20，可有 = -0.328 + 0.377×20 = 7.226（百元）。,第七节 多元线性回归 一、概念 有的问题影响自变量的因素不仅一个（例7.10），这就要做多元线性回归分析。 设 多元线性回归方程 其中 ：b0、b1、b2bk 的意义同于一元线性回归。,二、要点 （一）拟合度 1、复相关系数 2、估计标准误差 （二）显著性检验 F检验统计量： 其中：R²、Sy的意义同于一元线性回归，k为自变量的个数。 P225【例7.10】,第八章时间数列分析 （重点）,目的和要求： 设时间数列：Y1，Y2，Yn ， 能对时间数列进行对比分析和简单的构成分析。 第一节 时间数列的分类 P232表8.1,第二节 对比分析 一、水平分析 1. 平均数 一定要注意识别时间数列的类型！ P233【例8.1、2、3、4】,2. 增长量和平均增长量 注意：这里数列从Y0开始：Y0，Y1，Yn,共有 n+1 项。 P236【例8.5、6】,二、速度分析 1. 发展速度和平均发展速度 注意，这里数列从Y0开始：Y0，Y1，Yn,共有 n+1 项。 P270【习题8.3】,2. 增长速度与平均增长速度 环比发展速度-1 =环比增长速度， 定基发展速度-1 =定基增长速度， 平均发展速度-1 =平均增长速度。 P239【例8.8】,第三节 构成分析 一、时间数列每一项的构成要素 ： Yi = Ti×Si×Ci×Ii 其中：Ti 长期趋势；Si 季节变动；Ci 循环波动；Ii 不规则波动。 二、趋势分析 长期趋势Ti是现象在较长时期内发展变化的一种趋向。是时 间数列的主要构成要素。重点是线性趋势的分析。 1. 移动平均法 P244-式（8.21）【例8.11】,2. 线性模型法 设 Y = a + b t 其中：Y-趋势值 T； t-时间标号（一般 t = 1开始最简便）； a、b就是线性回归中的 b0、b1 。 P247【例8.12】,三、季节变动分析 “季节变动”是现象发展的周期性变化规律，是时间数列又 主要构成要素。就是求季节指数:S1、S2、S3、S4。 1. 按月（季）平均法 P262-式（8.47） 【例8.17】 2. 移动平均趋势剔除法 P264 【例8.18】,第九章 指数 （重点）,目的和要求： 计算8大指数，对总量指数进行分解并给出经济解释。 第一节 指数概念 指数就是经济量的比值。为了使比值更合理、科学，需 要加权。数量以质量为权，质量以数量为权。 必备概念：,第二节 加权综合指数 （9.1） 1.基期加权 （拉氏指数） （9.2） P278【例9.1】,2.报告期加权 （9.3） （帕氏指数） （9.4） P280【例9.2】,第三节 加权平均指数 （9.5） 1.基期加权 （9.6） P282【例9.4】,（9.7） 2.报告期加权 （9.8） P284【例9.5】,第四节 指数体系 1. 个体总量指数及分解 P286【例9.6】,2 . 加权综合指数体系分解 相对分解：P287-式（9.12） 绝对水平分解： P287-式（9.13 ） （注意，单位：人民币元）。 P287【例9.7】,3. 加权平均指数体系分解 相对分解：P288-式（9.14） 绝对水平分解： P288-式（9.15）,第五节 几种常用的重要指数 一、零售价格指数 反映城乡商品零售价格变动趋势的经济指数。 二、消费价格指数 一定时期内城乡居民所购买的生活消费品价格和服务项目价格的变动趋势和程度的一种相对数。,三、股票价格指数 其中：1、p0、p1分别为第i只股票基期、报告期发行价。 2、qi为第i只股票的报告期发行量。 P297【例9.10】,结 束 语： 由于数量方法属于数学课程，所以和其它课程相比难度大一些，这就要求同学们付出的更多一些。书山有路勤为径。 相信：艰辛的努力一定会获得幸福的回报。 祝同学们成功！,
