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打开建筑之门,之 材料力学 篇 绍兴中专建工学区 祁 黎,建筑力学,第二章 轴向拉伸和压缩,§2-1 轴向拉伸和压缩的概念,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,屋架结构简图,桁架的示意图,受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆,（未考虑端部连接情况）,§2-2 内力·截面法·及轴力图,材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。,. 内力,根据变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。,通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。,. 截面法·轴力及轴力图,FN=F,（1）假想地截开指定截面；,（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；,（3）根据分离体的平衡求出内力值。,步骤：,横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。,轴力背离截面FN=+F,用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,轴力指向截面FN=-F,轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。,例题2-1 试作此杆的轴力图。,等直杆的受力示意图,(a),为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN,为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得 FN1=10 kN(拉力),解：,为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。,FN2=50 kN(拉力),FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力),轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。,思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？,例题2-2：试作此杆的轴力图。,解：,§2-3 应力·拉(压)杆内的应力,.应力的概念,受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力， ，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。,该截面上M点处分布内力的集度为 p，其方向一般 既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。,总应力 p,法向分量,正应力s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,切向分量,切应力t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。,.拉(压)杆横截面上的应力,(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；,(2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等时，可组成通过截面形心的合力轴力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。,为此：,1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s 都相等。,4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。,例题2-3 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50 kN。,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）,解：段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),. 拉(压)杆斜截面上的应力,斜截面上的内力：,变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。=两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。,斜截面上的总应力：,推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。,式中， 为拉(压)杆横截面上(a =0)的正应力。,斜截面上的正应力和切应力,正应力和切应力的正负规定：,思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。,2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？,§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律,拉(压)杆的纵向变形,基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：,纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量）,纵向线应变 （反映变形程度）,纵向线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。,横向变形与杆轴垂直方向的变形,在基本情况下,横向线应变的正负规定：缩短时为正，伸长时为负。,引进比例常数E，且注意到F = FN，有,适用于拉(压)杆。,式中：E 称为弹性模量，由实验测定，单位为Pa； EA 杆的拉伸(压缩)刚度。,胡克定律,工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力,胡克定律的另一表达形式：,单轴应力状态下的胡克定律,低碳钢(Q235)：,低碳钢(Q235)：n = 0.240.28。,亦即,横向变形因数(泊松比),单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e 与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比,2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？,思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。,1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。,位移：,变形：,3. 图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？,(a),§2-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能,. 材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：l = 10d 或 l = 5d(工作段长度称为标距)。,矩形截面试样： 或 。,试验设备 ：,(1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。,(2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。,压缩试样,圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能),正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能),实验装置（万能试验机）,. 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,拉伸图,纵坐标试样的抗力F(通常称为荷载),横坐标试样工作段的伸长量,低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：,(1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，且l与F成线性关系，即此时材料的 力学行为符合胡克定律。,(2) 阶段屈服阶段,在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。,此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线( ，当=±45°时a 的绝对值最大)。,(3) 阶段强化阶段,(4) 阶段颈缩阶段 试样上出现局部收缩，并导致 断裂。,低碳钢的应力应变曲线(s e曲线),为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原长。,低碳钢 se曲线上的特征点：,比例极限sp,弹性极限se,屈服极限ss (屈服的低限),强度极限sb(拉伸强度),Q235钢的主要强度指标：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa,低碳钢拉伸破坏,低碳钢拉伸试件,低碳钢拉伸破坏断口,低碳钢的塑性指标：,伸长率,断面收缩率：,A1断口处最小横截面面积。,Q235钢：y60%,§2-6 强度条件·安全因数·许用应力,. 拉(压)杆的强度条件,强度条件保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：,其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。,. 材料的拉、压许用应力,塑性材料：,脆性材料：许用拉应力,其中，ns对应于屈服极限的安全因数,其中，nb对应于拉、压强度的安全因数,. 关于安全因数的考虑,(1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。,(2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。,安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，,. 强度计算的三种类型,(2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。,(3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=As ，由FN,max计算相应的荷载。,(1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为,例题2-4 试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F =16 kN，s=120 MPa。,2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径,由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。,解:1. 由图中(b)所示分离体的平衡方程得,例题2-5 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求许可荷载F。,解 : 1. 根据结点 A 的受力图(图b)，得平衡方程：,(拉),（压）,解得,2. 计算各杆的许可轴力,先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得,由强度条件 得各杆的许可轴力：,杆AC的横截面面积,杆AB的横截面面积,3. 求三角架的许可荷载,先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：,此例题中给出的许用应力s=170 MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB 实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。,该三角架的许可荷载应是F1 和 F2中的小者，所以,第二章 完,