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课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,第一章 随机事件及其概率,1.1 基本概念,1.1.1 随机现象,1.1.2 随机现象的统计规律性,1.1.3 样本空间,1.1.4 随机事件及其运算,生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质 上只是概率的问题 . -拉普拉斯,我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢， 力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未 必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的， 是在乎当时的机会. -传道书,第一章 随机事件及其概率,概率论是研究随机现象的规律性的数学 分支，为了对随机现象的有关问题作出明确 的数学描述，像其它数学学科一样，概率论 具有自己的严格的体系和结构。本章重点介 绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率。,1.1 基本概念,1.1.1 随机现象,客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。,在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)，由二阶微分方程 来描述，其中g为 重力加速度，这是确定的，必然的。,随机现象 掷一枚硬币,观察向上的面; 下一个交易日观察股市的指数上升情况; 某人射击一次,考察命中环数; 从一批产品中抽取一件,考察其质量; ,确定性现象 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其关系; ,1.1.2 随机现象的统计规律性,虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先 预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在,上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充其,量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能的结,果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。,进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特点：,（1） 可重复性：试验原则上可在相同条件下 重复进行; （2） 可观察性：试验结果是可观察的，所有 可能的结果是明确的； （3） 随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。,由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果,出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。,表1.1抛掷硬币试验,试验者,抛硬币次数,出现正面次数,出现正面频率,Buffon,De Morgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovskii,4040,4092,10000,12000,24000,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。,上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。,1.1.3 样本空间,随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与 表示样本点与样本空间。,.w,样本点w,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,例1.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即 =（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。这里，比如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。,例1.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2, , 样本空间为=0次，1次，2次, ,例1.1.4 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时， 样本空间为：,例1.1.3 连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以“1”表示命中。则样本空间 =1，01，001， 0001， ,写出下列各个试验的样本空间: 1 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况； 3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C,有2 个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？,课堂练习,4.在掷骰子试验中，观察掷出的点数。 5.从自然数 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次就取三个呢？ 6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？ 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。,1.1.4 随机事件及其运算,我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称事件。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，那么事件A发生当且仅当 时发生。由于样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次,试验中 都会发生，故称 为必然事件。相反，空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称 为不可能事件。,1.事件的包含,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一 个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或 称事件A包含于事件B。记作,2.事件相等,如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则 称事件A与B相等。记作 A=B。,3.事件的并,“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作 事件A与B的并，记作 ,4. 事件的交,“ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作 或 。,5. 事件的差,“ 事件A发生而B不发生”这一事件称作 事件A与B的差, 记作 A-B .,事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件,即AB=空集则称A与B是互不相容事件.,6. 互不相容事件,7. 对立事件,“事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，记作 ，易见， .,为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：,完备事件组,推广:,注:,1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|,B=x-a(0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,课堂练习,A与B对立,A与B互斥,思考题: 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现.,解答:,Application 1,Question What is the probability of rolling an even number with one dice? a number greater than 3 with one dice?,Solution The sample space for rolling one dice is S = 1,2,3,4,5,6. Lets say event A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= 2,4,6 and B= 4,5,6 a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3,Application 2,Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosing a white ball? (event A) two red balls? (event B) a white ball and three red balls? (event C),Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7,Check your understanding!,Q.1 What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? () Q.2 There are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. ( ) Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? ( ),Q.4 There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? ( ) Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3, a4, ,a10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) () LETS FIND OUT THE ANSWERS!,Answer Key,Q.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 Q.2 There are 36 outcomes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18,Q.3 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 Q.5 The total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of a4, a5, a6.a10 , and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of a4, a5, a6.a10 . Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8,