怎样粗线条地描述rv的特性.ppt
,课件制作 WangWenHao,第四章 随机变量的数字特征,怎样粗线条地描述r.v 的特性,简单明了、特征鲜明、直观实用,随机变量的概率特性,分布函数,密度函数,分 布 律,？,要求,§1 数学期望,§2 方差,§3 协方差及相关系数,§4 矩、协方差矩阵,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,甲：,每枪平均环数为,可见甲的射击水平比乙略好,例,分析,两人的总环数分别为,(环),乙：,(环),甲：,乙：,(环),(环),实际背景,某班级某课程考试的平均成绩,电子产品的平均无故障时间,某地区的日平均气温和日平均降水量,某地区水稻的平均亩产量,某地区的家庭平均年收入,怎样定义 r.v 的平均值概念,平均值的概念广泛存在,例如,某国家国民的平均寿命,？,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,即平均环数为,例,进一步分析,记甲每枪击中的环数为 因为射击次数,较多,故可认为 的分布律为,则甲射手每枪平均环数为,(期望、均值),定义,设 的分布律为,为 的数学期望,“数学期望”是历史上沿用下来的一个名词，可理解为在数学上对 r.v 进行计算期望得到的值,即平均值,“数学期望”,(Expectation)的由来,解,某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.付款额根据使用寿命 来确定：,例,设出售一台电器的收费额为,分布律为,即,参数为10的指数分布密度函数为,即商店出售一台电器平均收费额为 元,解,例,的分布律为,的均值为,令,解,例,令,特别令 则有,在数学期望的定义中，为什么要求,由高等数学知,？,分析,收敛,且 与 出现的先后位置无关！,注,(期望、均值),定义,设 的分布律为,为 的数学期望,则称,定义,设 的概率密度函数为 若,(期望、均值),为 的数学期望,注,注意离散型和连续型情形的形式一致性,解,例,的密度函数为,其它,从直观上看 ？,解,例,从直观上看 ？,？,奇函数,即该元器件的平均寿命为,解,例,设某元器件的寿命 服从指数分布,其密度为,求 的数学期望,如果某产品的平均寿命为,在航空、航天、军事、医疗等领域，通常要求元器件达 9 级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为,由一万个 9 级元器件组成的电子设备的平均寿命为多少年？,(小时),则称该产品为“ 级”产品,越大(级别越高),失效率 越低,则产品的平均寿命越长, 可靠性越高.,(年),(年),工程背景,设每个铁环能承受的最大拉力分别为,整条铁链能承受的最大拉力为,解,一条铁链由 个相同的铁环构成，铁链两端受到大小相等、方向相反的拉力 设单个铁环不被拉断所能承受的最大拉力为 其密度为,例,试求铁链能承受的平均最大拉力.,其分布函数为,密度函数为,可见 服从参数为 的指数分布,故,即铁链能承受的平均(最大)拉力为,解,例,计算,奇函数 ,对称区间,？,因为,习题：2、3、4、5,飞机机翼受到的压力为,设已知,实际背景,其中 是风速 是常数,问机翼受到的平均压力多大？,则要求,(概率函数),一般地,(普通函数),一般的思路,分析,设 单调增,其反函数为 则,令,有意思的结果,该结果对一般的 分布和函数也成立,定理,设 为普通函数,则,设 为离散型r.v,其分布律为,设 为连续型r.v,其概率密度为,解,例,设风速 设飞机机翼受到的正压力,的密度函数为,其它,即飞机机翼受到的平均正压力为,于是,则,解,例,过平面上点 任作一条直线 求由坐标原点,到直线 的距离 的平均值.,设 与 轴的夹角为,故原点到直线 的平均距离为,？,？,？,一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的市场需求量 (单位:吨),每出售一吨原料,公司可获利1千元,若积压一吨,则公司要损失0.5千元。问公司应该组织多少货源,可以使收益最大?,于是公司的平均获利为,解,例,设公司应组织货源 吨,则应有,又设公司获利 千元,则 是市场需求量 的函数,且,令,，解得,故公司应该组织433.3吨货源,可使平均收益最大.,设 为二元函数,则,设 的联合分布律为,则,推广的定理,注：公式可推广到一般的高维随机变量,求,由推广的定理有,解,例,从直观上看该结果的合理性,对连续型 r.v 进行证明.,设 为r.v，则有,设 为常数,则,设,则,设 相互独立,则有,对连续型 r.v 进行证明.,设,独立,几个推论,设 的密度函数为,试求,例,一般的思路,另一种方法,解,三角形区域,引入r.v,解,一民航客车载有20位旅客自机场开出，沿途有十个停靠站,如达到一个车站时没有乘客下车就不停车.以 表示停车的次数,求 (假定每位旅客在任一车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立).,例,位乘客在第 i 站都不下车,从而,易知,旅游团的 个游客出酒店时都将自己房间的钥匙交给了导游.回到酒店后,每人从导游处任取一把钥匙去开自己房间的门.试问平均有多少人能开打房门。,故能开打房门的平均人数为,则能打开房门的人数为,解,例,令,且,.故,设 件产品中有 件次品,在该批产品中任意取 件,记 表示取出的次品个数,求,解,例,的分布律为,称 服从超几何分布,直接求和很难,解二,令,故,因为,则,从而求得公式,注：无放回取样，且产品件数不一定很大,构造适当的概率模型求复杂公式的值是常用的数学技巧,怎样利用r.v的分解方法求解？,有3只球，4只盒子，盒子编号为1,2,3,4.将球逐个独立随机地放入4只盒子中去. 以 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码，试求,解,例,的分布律为,问,解二,依次对 计数,掷一颗骰子直到所有点数全部出现为止，求所需投掷次数 Y 的数学期望.,问,研,究,的,题,从直观上看,猜想,6,？,END,习题,7、8、9、13,
