自控02.ppt

第 2 章,控制系统的数学模型,自动控制原理,孙 韬,2012.9,为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。 本章主要讲什么内容? 首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计控制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、动态结构图。使读者了解机理建模的基本方法，着重了解这些数学模型之间的相互关系。,本章导读,系统 (机械，电气， 过程等),建模方法,机理或实验,数学模型,性能分析,稳定性、 动态性能、 鲁棒性等等,若性能 不满足要求 对系统进行校正,校正方法（控制器设计方法）,滞后-超前、PID等,数学模型的地位,主要内容,系统数学模型概述 传递函数 动态结构图 控制系统的传递函数 本章小结,系统数学模型概述,数学模型的定义 数学模型是对实际系统的一种数学抽象。它是在一定条件下既反映了实际物理过程的本质特征又忽略了许多次要因素而建立起来的、形式简单且便于应用控制理论分析和设计系统的数学描述。 数学模型是控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式。它是分析和设计自动控制系统的基础。,为什么要建立系统的数学模型？ 首先，我们需要了解系统的具体的性能指标，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。那么，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的； 另一方面，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。,系统数学模型概述,数学模型的种类 在经典控制理论中,所给出的数学模型一种是外部描述(仅反映被控量和输入量之间关系);一种是内部描述(不仅反映被控量和输入量之间关系,而且反映系统内部变量之间以及与被控量和输入量之间的关系). 外部模型微分方程,传递函数,频率特性 内部模型动态结构图(方框图),信号流图， 状态方程,系统数学模型概述,数学模型的种类,系统数学模型概述,连续时间模型与离散时间模型,参数模型与非参数模型,静态模型与动态模型 (静态模型是t时系统的动态模型),各种数学模型之间的关系,线性系统,微分方程,传递函数,频率特性,动态结构图,信号流图,系统数学模型概述,数学模型的建立方法 目前工程上采用的方法主要是 a.分析计算法,根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型适用于简单的系统。,系统数学模型概述,数学模型的建立方法 b.工程实验法系统辨识,是利用系统的输入输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。,系统数学模型概述,微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。,系统数学模型概述,微分方程的建立举例:,RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。,依据：基尔霍夫电压定律,代入并整理得:,系统数学模型概述,微分方程的建立举例:,在图示弹簧阻尼系统中，质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求系统的运动方程。,输出量位移y,输入量外力F,根据牛顿定律,弹簧阻力,阻尼器阻力,系统数学模型概述,微分方程的建立举例:,输出量出水罐液位高度h2,输入量进水量Qin，阀2开度变化引起的流量变化Qf(扰动),C1,C2储罐1，2的容量系数,已知二串联液体储罐，试建立数学模型。,R1,R2阀1，阀2的阻尼系数,Qh液位h2的变化引起的流量变化,Qf阀2开度的变化引起的流量变化,系统数学模型概述,微分方程的建立举例:,系统数学模型概述,列写系统运动方程的步骤 确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式,系统数学模型概述,传递函数,拉普拉斯变换 传递函数的定义 传递函数的性质 传递函数的求取 典型环节的传递函数,拉普拉斯变换复习,1 拉氏变换的定义,（1）阶跃函数,2 常见函数的拉氏变换,（2）指数函数,（3）正弦函数,拉普拉斯变换复习,（1）线性性质,4 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,证明：,0初条件下有：,拉普拉斯变换复习,例2 求,解.,例3 求,解.,拉普拉斯变换复习,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例4 求 Lt=?,解.,例5 求,解.,拉普拉斯变换复习,（4）实位移定理,证明：,例6,解.,令,拉普拉斯变换复习,（5）复位移定理,证明：,令,例7,例8,拉普拉斯变换复习,（6）初值定理,证明：由微分定理,例9,拉普拉斯变换复习,（7）终值定理,证明：由微分定理,例10,（终值确实存在时）,例11,拉普拉斯变换复习,传递函数的定义,定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是,c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入.,传递函数的定义,则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。,传递函数的定义,注意： 零初始条件的含义（1）输入作用在t=0后才作用于系统，因此，系统的输入量及其各阶导数在t=0-时的值均为零。（2）输入信号加于系统之前，系统是相对静止的，所以，系统的输出量及其各阶导数在t=0-时的值均为零。,传递函数的性质,传递函数,1.线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。 2.传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。 3.传递函数是复变量s的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m,传递函数的性质,4.传递函数中的-zi和-pj分别成为系统的零点和极点，它们也与系统的结构和参数有关. 5.物理结构不同的系统可以有相同形式的传递函数. 6.传递函数的拉氏反变换是系统的单位冲激响应。 7.一个传递函数只能表示一个输入量与一个输出量之间的关系，如果是多输入多输出系统,则需要传递函数矩阵表示。 8.传递函数不能表示中间变量的变化对系统的影响。,传递函数的性质,传递函数的求取方法,直接法利用微分方程求拉氏变换,传递函数的求取方法,复阻抗法对电路系统采用复频域模型,二阶电路系统的传递函数,传递函数的求取方法,对于电路系统，用复频域模型求取传递函数,传递函数的求取方法,对于电路系统，用复频域模型求取传递函数,传递函数的求取方法,典型环节的传递函数,概述,系统的传递函数的一般表达式为,概述,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,延迟环节,纯微分环节,典型环节的传递函数,概述,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,典型环节的传递函数,放大环节/比例环节,例1：齿轮传动,例2：晶体管放大器,典型环节的传递函数,惯性环节,!储能元件 ！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入 例1：弹性弹簧 例2：RC惯性环节,典型环节的传递函数,弹性弹簧,典型环节的传递函数,B阻尼器阻尼系数；k弹簧刚度,运动方程式,传递函数,积分环节,！记忆,！积分,输入突然除去 积分停止 输出维持不变,例1：电容充电,例2：积分运算放大器,典型环节的传递函数,积分环节！具有明显的滞后作用,如当输入量为常值 A 时，,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。,！改善系统的稳态性能,典型环节的传递函数,电容充电,典型环节的传递函数,积分运算放大器,典型环节的传递函数,微分环节,例1：测速发电机,例2：RC微分网络,例3：理想微分运放,例4：一阶微分运放,典型环节的传递函数,RC微分网络,典型环节的传递函数,理想微分运算放大器,典型环节的传递函数,一阶微分运算放大器,典型环节的传递函数,振荡环节,不同形式 储能元件 能量转换 振荡,例1：弹簧阻尼系统,例2：RLC串联网络,典型环节的传递函数,弹簧阻尼系统,典型环节的传递函数,RLC串联网络电路,典型环节的传递函数,二阶微分环节,典型环节的传递函数,延滞环节,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,超越函数近似处理,例：水箱进水管的延滞,典型环节的传递函数,延滞环节与惯性环节的区别,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,典型环节的传递函数,动态结构图,动态结构图的概念 动态结构图的建立 动态结构图的等效变换 等效变换举例,动态结构图的概念,什么是动态结构图？ 将系统中的各个部分（环节）用方框表示，方框中标明其传递函数，然后按照系统各部分（环节）之间的连接关系，将其用标有信号流通方向有向连线连接起来，得到的系统的方框图称为系统的动态结构图。,动态结构图的概念,动态结构图的组成： （1）以传递函数来描述信号输入输出关系的传输方块； （2）标有信号流通方向的信号输入输出通路； （3）信号的分支点与综合点。分支点表示信号引出和测量位置，综合点表示各个输入信号进行代数运算位置。,动态结构图的概念,动态结构图的特点： （1）动态结构图是线图方式的数学模型，可以用来描述控制系统的系统结构关系。 （2）动态结构图上可以表示出系统的一些中间变量或者系统的内部信息。这一点不同于仅符合端口关系的传递函数。 （3）动态结构图与代数方程组等价。因此可以通过结构图化简的方法来消去中间变量，化简方程组，将动态结构图化为最简方块，即一个方块，来求得控制系统的传递函数。,动态结构图的建立,建立动态结构图的步骤为： 1) 描述每个环节动态特性的运动方程(在写运动方程时，要考虑元件相互连接后的负载效应)； 2) 根据环节的运动方程式，写出相应的传递函数。 3) 根据传递函数画出相应的函数方框； 4) 按信号流向将函数方框一一连接起来。便构成系统的动态方框图。,动态结构图的建立,举例说明：,如图：以Ur为输入,UC为输出,求系统的动态结构图和传递函数。,解：由KVL可得：,对方程组求拉氏变换,动态结构图的建立,动态结构图的建立,连接各方框,得到动态结构图,动态结构图的建立,电路的传递函数可直接由分压公式写出,动态结构图的建立,例2.双T网络,解：根据基尔霍夫定律列出下列微分方程组,动态结构图的建立,拉氏变换,动态结构图的建立,方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：,动态结构图的建立,按图中关系联接各个方框,传递函数可由方程组消去中间变量得到,动态结构图的建立,注意:双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：,动态结构图的等效变换,对动态结构图进行等效变换，需遵循一定的基本原则，也就是要保证变换前后的数学关系不变。即 (1) 变换前后，前向通道的传递函数的乘积必须保持不变； (2) 变换前后，回路传递函数的乘积必须保持不变。,动态结构图的等效变换,(1)串联连接的传递函数,结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。,推广：n环节串联，传递函数等于n个环节传函之积。,动态结构图的等效变换,(2)并联连接的传递函数,结论：二环节并联的等效传函等于二环节传函之和(差)。,推广：n环节并联的等效传函等于n个环节传 函之和(差)。,动态结构图的等效变换,(3)反馈回路传递函数,动态结构图的等效变换,(3)反馈回路传递函数,动态结构图的等效变换,例题分析,求图示系统的传递函数,动态结构图的等效变换,结构图三种基本形式,串 联,并 联,反 馈,动态结构图的等效变换,(4)分支点和综合点的变换 实际系统一般较复杂，在系统的动态结构图中常出现传输信号的交叉，即很多信号的综合点以及信号的分支点。我们需要对分支点和综合点进行等效变换(等效移动)。去掉结构图中的信号交叉，再利用上述的基本形式对系统的结构图进行简化。 分支点和综合点变换应遵循的原则： 变换前和变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变； 变换前和变换后回路中的传递函数的乘积必须保持不变。,动态结构图的等效变换,相加点等效移动规则,(1) 相加点前移,相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,(2) 相加点后移,相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框,动态结构图的等效变换,分支点等效移动规则,(1) 分支点前移,分支点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的方框,(2) 分支点后移,分支点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数倒数方框,动态结构图的等效变换,分支点和综合点的变换小结,1.三种典型结构可直接用公式,2.相邻综合点可互换位置,3.相邻引出点可互换位置,注意事项,1 不是典型结构不可直接用公式,2 引出点综合点相邻，不可互换位置,引出点移动,a,b,动态结构图的等效变换,综合点移动,动态结构图的等效变换,等效变换举例,例：用结构图化建的方法， 求图示动态结构图的传递函数.,解：把分支点a(b)移至b(a)可得：,双TRC网络,等效变换举例,等效变换举例,练习：用结构图化建的方法， 求图示动态结构图的传递函数,控制系统的传递函数,控制系统传递函数的概念 控制系统传递函数的求取,控制系统传递函数的概念,概述,C(s)输出信号,R(s)输入信号,E(s)误差信号,B(s)反馈信号,N(s)扰动信号,G1(s)G1(s)前向通道传递函数,H(s)反馈通道传递函数,前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路,反馈通道：C (s)到B(s)的信号传递通路,控制系统传递函数的概念,概述,系统闭环传递函数：反馈回路接通后,输出量与输入量的比值。,系统对控制量R(s)的闭环传递函数,系统对拢动量N(s)的闭环传递函数,概述,控制系统传递函数的概念,系统的开环传递函数,定义：反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比,结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)的乘积。,系统工作在开环状态,反馈通路断开。,控制系统传递函数的概念,推广到一般情况：,K闭环系统的开环放大系数(又叫开环放大倍数或开环增益)，是影响系统性能的重要参数。当反馈传递函数H(s)=1时,开环传递函数和前向传递函数相同，均等于G(s).,控制系统传递函数的概念,系统的闭环传递函数,定义：系统的主反馈回路接通以后，输出量与输入量之间的传递函数，通常用R(s)表示：,假设扰动量N(s)=0,控制系统传递函数的概念,系统的闭环传递函数,控制系统传递函数的概念,系统的扰动传递函数,设输入量R(s)=0,控制系统传递函数的概念,R(s) N(s)同时作用时：,控制系统传递函数的概念,误差传递函数,以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或拢动量N(s)为输入量的闭环传递函数。,控制系统传递函数的概念,在控制量作用下系统的误差传递函数,1) 假设N(s)0,控制系统传递函数的概念,在扰动量作用下系统的误差传递函数,2) 假设R(s)0,控制系统传递函数的概念,误差传递函数,3) 在输入量和扰动量共同作用下系统的误差为：,控制系统传递函数的概念,比较：,系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式,1+G1(s)G2(s)H(s),控制系统传递函数的概念,控制系统传递函数的求取,求取方法： 微分方程拉氏变换求取 动态结构图等效变换求取,了解元件和系统微分方程建立的一般方法； 牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；掌握系统动态结构图的绘制。 熟悉典型环节及其传递函数； 正确理解并利用动态结构图求取系统的传递函数。,本章教学基本要求,本章习题：p.37 2-1 2-3 2-6 2-8 2-9 2-12,