2017-2018学年高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析课件 北师大版选修2-3.ppt

§3.1 回归分析,一,二,三,一、回归分析 1.函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.,一,二,三,2.散点图形象地反映了各对数据的密切程度.根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系,可直观地判断并得出结论. 3.如果样本数据对应的点具有线性相关关系,从回归直线方程来看,当系数b0时,单调递增,此时这两个变量正相关;当b0时,单调递减,此时这两个变量负相关.,一,二,三,做一做1 某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ) A.y=-10x+200 B.y=10x+200 C.y=-10x-200 D.y=10x-200 解析由于销售量y与销售价格x成负相关,故排除B,D.又当x=10时,A中y=100,而C中y=-300,C不符合题意,故选A. 答案A,一,二,三,二、相关系数 假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则变量间线性相关系数r的计算公式为,变量之间线性相关系数r的取值范围为-1,1,|r|值越大,误差Q越小,变量之间的线性相关程度越高,|r|值越接近于0,Q越大,变量之间的线性相关程度越低.当r0时,b0,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关;当r0时,b0,一个变量增加,另一个变量有减少的趋势,称两个变量负相关;当r=0时,称两个变量线性不相关.,一,二,三,名师点拨相关关系与函数关系的区别和联系 (1)区别. 函数关系是变量之间的一种严格、完全确定的关系,即一个变量的数值完全由另一个(或一组)变量的数值所决定、控制.函数关系通常可以用数学公式确切地表示出来. 变量间的相关关系一般不是完全确定的关系.变量间既存在着密切的关系,但又不能由一个或几个变量的数值精确地求出另一个变量的值(这个变量实际上就是随机变量).因此,相关关系难以像函数关系那样,用数学公式去准确地表达.,一,二,三,造成这种情况的原因是:影响一个变量的因素是很多.其中有些因素是属于人们一时还没有认识和掌握的,也有一些因素是已经认识,但暂时还无法控制和测量的.另外,有些因素虽然可以控制和测量,但在测量这些变量的数值时,或多或少地都会存在误差.所有这些偶然因素的综合作用造成了变量之间的不确定性关系,所以相关关系与函数关系是有区别的. (2)联系. 相关关系与函数关系也是有联系的.由于客观上常会出现观察或测量上的误差等原因,函数关系在实际问题中往往通过相关关系表现出来.当人们对某些现象内部规律有较深刻的认识时,相关关系可能变为函数关系.为此,在研究相关关系时,又常常使用函数关系作为工具,用函数关系表现相关关系的数量联系.,一,二,三,【做一做2】 若线性回归方程中的回归系数b=0,则相关系数为( ) A.r=1 B.r=-1 C.r=0 D.无法确定 解析由r,b可知,r与b的分子相同,故当b=0时,r=0. 答案C,一,二,三,三、可线性化的回归分析 通过变换先将非线性函数转化成线性函数,利用最小二乘法得到线性回归方程,再通过相应变换得到非线性回归方程.,一,二,三,名师点拨在实际问题中,有时两个变量之间的关系并不是线性关系,这就需要我们根据专业知识或散点图,对某些特殊的非线性关系,选择适当的变量代换,把非线性方程转化为线性回归方程,从而确定未知参数.下面列举出一些常见的曲线方程,并给出相应的化为线性回归方程的换元公式. (2)y=axb,令y'=ln y,x'=ln x,a'=ln a,则有y'=a'+bx'. (3)y=aebx,令y'=ln y,x'=x,a'=ln a,则有y'=a'+bx'. (5)y=a+bln x,令y'=y,x'=ln x,则有y'=a+bx'.,一,二,三,【做一做3】 下列有关回归分析的说法正确的是 ( ) A.任意的两个变量之间都存在着线性相关关系 B.若两个变量之间的回归方程为y=1.2-3.6x,则说明当x=2时,y一定等于-6 C.若两个变量之间线性不相关,则这两个变量一定不存在线性回归方程 D.有的变量虽然线性不相关,但经过转化后可以进行线性回归分析 解析A中,变量之间还存在函数关系和非线性相关关系;B中,y的估计值不一定等于真实值;C中,任意两个变量,都可以利用公式求出线性回归方程.故选D. 答案D,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“×”. (1)由数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)得到的线性回归方程y=a+bx一 (2)如果变量x,y之间的线性相关系数为r1,变量s,t之间的线性相关系数为r2,且r1r2,一定能说明x,y之间的线性相关程度比s,t之间的线性相关程度高. ( ) (2)当相关系数r=±1时,两变量之间是一次函数关系. ( ) 答案(1) (2)× (3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表:,(1)画出散点图; (2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程; (3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩. 分析先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关,若相关再利用线性回归模型求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 求线性回归方程的基本步骤,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 1弹簧长度y(单位:cm)随所挂物体质量x(单位:g)的变化而变化的情况如下: (1)画出散点图; (2)求y对x的回归直线方程; (3)预测所挂物体质量为27 g时的弹簧长度(结果精确到0.01 cm).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】在英语教学中,为了了解学生的词汇量,设计了一份包含100个单词的试卷,现抽取15名学生进行测试,得到学生掌握试卷中单词个数x与该生实际掌握单词量y的对应数据如下:,(1)对变量y与x进行相关性检验; (2)如果y与x之间具有线性相关关系,求y对x的线性回归方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析解答本题时,应先求出线性相关系数,对x,y的线性相关性作出判断后,再求回归方程. 解(1)列表如下:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)设y对x的线性回归方程为y=bx+a, 即所求的线性回归方程为y=13.506x+1 276.991. 反思感悟 利用公式求出变量之间的线性相关系数r,r的取值范围为-1,1,|r|越大,变量之间的线性相关程度越高;|r|越接近0,变量之间的线性相关程度越低;当r=0时,两个变量线性不相关.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 设两个变量x,y有以下观测数据, 则线性相关系数r= .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】下表为收集到的一组数据.,(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系; (2)建立x与y之间的回归方程; (3)利用所得模型,预测x=40时y的值. 分析作出散点图,确定回归模型,再作适当变换,求出变换后的线性回归方程,求出y与x之间的回归方程,然后利用所得模型求y的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)作出散点图,如图所示.从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识发现样本点分布在某一条指数函数曲线 的周围,其中c1,c2为待定参数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则有变换后的样本点应分布在直线z=bx+a,a=ln c1,b=c2的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为,求得线性回归方程为z=0.272x-3.849, 所以y=e0.272x-3.849. (3)当x=40时,y=e0.272x-3.8491 131.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.解决非线性回归分析的关键是根据散点图选择正确的函数模型. 2.解决非线性回归分析问题的方法步骤 (1)确定变量:确定变量x,y. (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型. (3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题. (4)写出非线性回归方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 已知两个变量近似符合模型y=17-2x3,则当x=3时,y的估计值为 . 解析当x=3时,y=17-2×33=-37. 答案-37,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视回归分析的程序而致误 【典例】 某种产品的广告费x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据: 试对销售额y与广告费x进行回归分析. 易错分析规范求解这类题目的步骤,注意要对所给数据进行相应的分析,明确方法步骤,否则容易出错.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解画出散点图,如图所示. 根据散点图可以发现:变量x与y之间有近似的线性相关关系. 列表如下:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得 1.不清楚回归分析的方法步骤,只是直接用回归系数公式求解了回归直线方程. 2.回归分析的步骤是解题的关键,回归分析的步骤可总结如下: (1)收集数据(xi,yi),i=1,2,n; (2)根据收集到的数据绘制散点图,观察它们之间的关系,是否存在相关关系,若存在,是不是线性相关关系; (3)若是线性相关关系,求回归直线方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表:,求出y与x之间的回归方程. 解根据散点图(如图1)可知y与x呈现出近似的反比例函数关系,设,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由散点图(如图2)也可以看出,这些点基本上分布在一条直线附近,可以认为y与t具有线性相关关系,列表如下:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,4,1.下列结论正确的是( ) 函数关系是一种确定性关系;相关关系是一种非确定性关系;回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法;回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. A. B. C. D. 答案C,1,2,3,4,2.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则y与x之间的回归直线方程为( ) A.y=x+1 B.y=x+2 C.y=2x+1 D.y=x-1 答案A,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,