20192015世纪金榜理科数学(广东版)3.7.ppt

第七节 正弦定理和余弦定理,【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,abc,2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况,一解,两解,一解,一解,无解,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比; 在ABC中,若sinAsinB,则AB; 在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素; 正弦定理对钝角三角形不成立; 余弦定理对任意三角形均成立. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C. 错误. 由正弦定理知abc sin Asin Bsin C. 正确.由正弦定理知 由sin Asin B 得ab，即AB. 错误.当已知三个角时不能求三边. 错误.正弦定理对任意三角形都成立. 正确.由余弦定理的推导过程可知对任意三角形均成立.,2.已知ABC的三个内角之比为ABC=321，那么对应的 三边之比abc=( ) 【解析】选D.由ABC=321及A+B+C=180°， 可解得A=90°，B=60°，C=30°， 所以abc=sin Asin Bsin C= 即abc=,3.(2014·珠海模拟)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A，B， C所对的边，若 A+C=2B，则sin A=( ) 【解析】选A.因为在ABC中，A+C=2B，所以B=60°, 由正弦定理得 所以,4(2014·长春模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c，若 则ABC一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选A.因为a=2Rsin A，b=2Rsin B，所以 可化为sin A·cos B=cos A·sin B，即sin(A-B)=0. 又因为-A-B，所以A-B=0，即A=B.,5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A B30°，b2，则边c_. 【解析】依题意得， 即 根据余弦定理 可得b2a2c22accos B，即 解得c 2. 答案：2,6.(2014·枣庄模拟)一等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值为 . 【解析】设底边长为x，则两腰长为2x，则顶角的余弦值 cos = 答案：,考点1 正弦定理的简单应用 【典例1】(1)在ABC中，A=60°, b=2,那么满足条件 的ABC( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定,(2)(2014·庆阳模拟)如图，在ABC中，AB=AC=2， 点D在BC边上，ADC=75°，则AD的长为_. (3)在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若 A=2B，则cos B=_.,【解题视点】(1)通过具体计算的方法或数形结合的方法求解. (2)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B，再利用正弦定理求解. (3)由两边之比联想用正弦定理，化为两角的正弦值之比，再利用二倍角公式化简.,【规范解答】(1)选A.方法一：因为 又A=60°，且ab，所以B60°，故B45°，所以有一个解. 方法二：结合草图，因为A60°,a=6,b=2所以ab,故三角形 有一个解.,(2)过点A作AEBC，垂足为E， 则在RtABE中， 故B=30°. 在ABD中，ADB=180°-ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得 答案：,(3)由正弦定理得 又A=2B， 所以 所以 答案：,【互动探究】把本例(3)条件改为“在锐角ABC中，a,b,c分 别是三个内角A,B,C的对边，A=2B”,试求 的取值范围. 【解析】由正弦定理得 因为ABC是锐角三角形， 所以 且 所以 且 即 所以 所以 即 的取值范围是,【易错警示】注意角的范围的确定 本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时，要注意应保证三个内角都是锐角，否则易出现范围过大的情况.,【规律方法】 1.正弦定理的应用技巧 (1)求边：利用公式 或其他相应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相应变形公式求解. (3)相同的元素归到等号的一边：即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,2.判断解的个数的两种方法 (1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数. 提醒：利用正弦定理解三角形时，要注意解的个数的判断.,【变式训练】 1.已知在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若三角 形有两解，则x的取值范围是( ) 【解析】选C.由题设条件可知x2且xsin 45°2， 所以,2.(2014·揭阳模拟)在ABC中，若a=3， 则C的大小为_. 【解析】在ABC中，利用正弦定理 可得 所以 再利用三角形内角和为，可得 答案：,【加固训练】 1.在ABC中，a=10，B=60°,C=45°,则c等于( ) 【解析】选B.A=180°(BC)=180°(60°+45°)=75°. 由正弦定理，得,2.在ABC中，若B=2A， 则A=_. 【解析】因为 所以 即 所以 故A=30°. 答案：30°,考点2 余弦定理的应用 【典例2】(1)(2014·青岛模拟) 已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( ),(2)(2013·安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( ) 【解题视点】(1)根据锐角三角形三边关系,并结合余弦定理求解. (2)将条件统一为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.若a是最大边，则 所以 若3是最大边，则 所以 当a=3时符合题意， 综上 故选B.,(2)选B.由题设条件可得 由余弦定理， 得 所以,【规律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步骤,2.利用余弦定理解三角形的注意事项 (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,要充分利用方程思想“知三求一”. (2)已知三边及一角求另两角的两种方法：利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断.,【变式训练】在ABC中，若abc=357,则这个三角形 中最大内角为( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x0)，则c为最大边，角C为 三角形中最大内角， 由余弦定理，得 所以C=120°.,【加固训练】 1.在ABC中，若a=c=2,B=120°,则边b=( ) 【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B= 所以,2.在ABC中，C=60°，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则 =_.,【解析】因为C=60°,所以a2+b2-c2=ab， 所以a2+b2=ab+c2， 等式两边都加上ac+bc，整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)， 所以 答案：1,考点3 正、余弦定理的综合应用 【考情】正、余弦定理的应用很广泛，也比较灵活.在高考中三种题型都有可能出现，主要考查边角的计算、三角形形状的判断等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013·陕西高考)设ABC的内角A, B, C所对的 边分别为a, b, c, 若bcos C+ccos B=asin A, 则ABC的形状 为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 (2)(2013·山东高考)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c， 若B=2A，a=1， 则c=( ),【解题视点】(1)利用正弦定理将边的关系化为角的关系来判 断三角形的形状. (2)根据角的关系结合正弦定理求出角A，然后求出角B，C后再 求解. 【规范解答】(1)选A.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦 定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sin A=sin2A,sin A=1,即 所以三角形ABC是直角三角形.,(2)选B.由B=2A,则sin B=sin 2A，由正弦定理知 即 所以 所以 所以 所以c2=a2+b2=1+3=4， 故c=2.,【通关锦囊】,【关注题型】,【特别提醒】在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种情况的可能.,【通关题组】 1.(2014·潍坊模拟)在ABC中， (a，b，c分别为 角A，B，C的对边)，则ABC的形状为( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形,【解析】选B.因为 所以 所以 所以 所以c2a2b2. 所以ABC为直角三角形.,2.(2012·湖北高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acos A，则sin Asin Bsin C为( ) A.432 B.567 C.543 D.654,【解析】选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,所以 整理得：7b2-27b-40=0，解得b=5或 (舍去), 可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.,3.(2014·厦门模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c，若acos B+bcos A=csin C, 则角B= _.,【解析】由 得 所以A=30°. 由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C， 即sin(A+B)=sin Csin C=sin C， 解得sin C=1(sin C=0舍去)， 所以C=90°，所以B=60°. 答案：60°,4.(2014·湛江模拟)在ABC中，cos A= AC=3AB，则cos B =_. 【解析】如图，设AB=c，则AC=3c， 在ABC中，由余弦定理得： BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A =(3c)2+c2-2·3c·c× =10c2-2c2=8c2, cos B= 答案：0,【加固训练】 1.(2014·贵阳模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c,B= . (1)若b2=ac，求角A，C的大小. (2)求sin A+sin C的取值范围.,【解析】(1)由已知B= ，在ABC中，根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos =a2+c2-ac，由已知b2=ac，所以a2+c2- ac=ac，即(a-c)2=0，所以a=c，所以A=C，而A+C=- 所以A=C= . (2)由已知得sin A+sin C=sin A+ 因为A 所以 所以 所以 即sin A+sin C的取值范围为,2.(2014·长沙模拟)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对 边，求证： 【证明】方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B， 所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B. 整理，得 由正弦定理，得 即,方法二：右边 左边. 故,【规范解答5】正、余弦定理在三角形中的应用 【典例】(12分)(2013·江西高考)在ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小. (2)若a+c=1，求b的取值范围.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)在ABC中， 因为ABC， 所以-cos(A+B)+cos Acos B sin Acos B=0 即sin Asin B- sin Acos B=0, 因为sin A0， 所以sin B- cos B=0,4分,，2分,cos B0，所以 又0B， 所以 6分,(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B， 因为a+c=1, 所以c=1-a，代入上式整理得 9分 又因为c=1-a， 由0c1得0a1, 所以 即 综上，b的取值范围是 12分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练，能力迁移 (2014·杭州模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为 a,b,c， (1)求 (2)若 求B,【解析】(1)由正弦定理得， 即 故 所以,(2)由余弦定理和 得 由(1)知b2=2a2，故 可得 又cos B0， 故 所以B=45°,