2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大(小)值与导数学案新人教A版选修1_1201.doc
3.3.3函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)基础·初探教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P96函数最大(小)值与导数P98第一段，完成下列问题.1.函数f(x)在区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.2.求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值.(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.()(2)开区间上的单调连续函数无最值.()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.()(4)函数f(x)在区间1,1上有最值.()【答案】(1)×(2)(3)×(4)×小组合作型求已知函数的最值求下列各函数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5.【精彩点拨】求导列表下结论.【自主解答】(1)f(x)6x212x6x(x2).令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1).在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.1.求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小，才能确定函数的最值.2.若f(x)的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点.再练一题1.(1)函数yxsin x，x的最大值是()A.1B.1C.D.1【解析】y1cos x0，yxsin x在x上单调递增，ymaxsin .【答案】C(2)求下列各函数的最值.f(x)x33x，x，3；f(x)x2(x0). 【导学号：97792048】【解】f(x)33x23(1x)(1x).令f(x)0，得x1或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1,3)3f(x)00f(x)0极小值极大值18所以x1和x1是函数在，3上的两个极值点，且f(1)2，f(1)2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f()0，f(3)18，所以f(x)max2，f(x)min18.f(x)2x.令f(x)0，得x3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)极小值所以x3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(3)27，无最大值.含参数的函数的最值问题已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值.【精彩点拨】求导讨论a的正负判断0,2上的单调性得最值.【自主解答】f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.再练一题2.已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.【解】由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾.求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).(1)当a>0时，且x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当a<0时，同理可得，当x0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.探究共研型与最值有关的恒成立问题探究函数最值和“恒成立”问题有什么联系？【提示】解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值.(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.【精彩点拨】【自主解答】(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，由fab0，f(1)32ab0，得a，b2，经检验，满足题意，f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是，(1，)，递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值.要使f(x)c2，x1,2恒成立，则只需要c2f(2)2c，得c1或c2.所以c的取值范围是(，1)(2，).不等式恒成立问题常用的解题方法再练一题3.已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围. 【导学号：97792049】【解】f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.令g(x)ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，所以g(x)g(1)1.综上可知，a的取值范围是1，).1.函数f(x)x33x(|x|<1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.【答案】D2.连续函数f(x)在(a，b)上有最大值是有极大值的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】连续函数f(x)在(a，b)上有最大值，能推出其有极大值，但有极大值不一定有最大值，故选A.【答案】A3.函数yx(x0)的最大值为_.【解析】y1.令y0，得x.当0<x<时，y>0；当x>时，y<0.x时，ymax.【答案】4.如果函数f(x)x3x2a在1,1上的最大值是2，那么f(x)在1,1上的最小值是_.【解析】f(x)3x23x，令f(x)0，x0或x1.在1,1上有：当x1,0)时，f(x)0，当x(0,1时，f(x)0，x0是f(x)的极大值点，也是最大值点.f(x)maxf(0)a2，f(x)x3x22，f(1)，f(1)，f(x)在1,1上的最小值为.【答案】5.已知函数f(x)ln x，求f(x)在上的最大值和最小值. 【导学号：97792050】【解】f(x).由f(x)0，得x1.在上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln 2极小值0ln 2ff(2)2ln 2(ln e3ln 16)，而e316，ff(2)0.f(x)在上的最大值为f1ln 2，最小值为0.8
