今天我们需要什么样的数学题？.ppt

今天我们需要什么样的数学题？,合肥师范学院数学系 张晓贵 zhangxiaoguigmail.com,数学题的角色,在数学教学中，数学题扮演者一个非常重要的角色，即它是为学习数学服务的； 为了学好数学必修做数学题，这是所有数学人的共识； 问题是：什么是学好数学？正确的回答应该是：如果实现了数学教学目标，那么从学生的角度说就是学好了数学。,数学教学目标与数学题,包括做数学题在内的所有的师生活动其实都是为了一个目的即学好数学或实现数学教学目标； 数学教学目标具有动态性，社会发展的需要、对数学的新认识以及对教育的新理解等对会对之产生影响； 当数学教学目标有了变化，数学教学中的所有思想观念和师生行为都需要发生或多或少的变化以与之相对应。,作为数学教学中重要成分之一的数学题自然也应该有一定的变化； 当前的新课程标准中，数学教学目标与传统的数学教学目标有了相当大的差距，很自然，今天的数学题也和传统的数学题有较大的变化。 以下是新课程标准中的数学教学目标：,一、总体目标,获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能； 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识； 体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心； 具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。,二、具体目标,知识与技能 经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。,数学思考 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。 丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。 经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。,解决问题 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。 初步形成评价与反思的意识。,情感与态度 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。,在今天新课程标准的实施中，我们究竟需要什么样的数学题呢？换言之，什么样的数学题能够帮助我们的学生实现数学教学目标呢？ 由于数学目标的多样性，数学题自然也应该是多样的。,数学作业分类1,常规型数学问题作业与非常规型数学问题作业； 常规型数学问题是指学生运用现有的方法就可以解决的问题；非常规型数学问题是指学生在解决当前的问题时没有现成的方法可以使用，需要设计新的方法。,常规型数学作业,传统数学作业中大量的练习和一些简单的应用都属于常规型数学作业； 常规型数学作业对于学生掌握数学基础知识和形成数学基本技能具有重要的作用； 常规型数学作业应该有度。,非常规数学作业,非常规数学作业也就是真正的“问题”； 学生面临着不熟悉的情境，需要设计新的方法； 设计根据：培养学生将所学知识运用到新情境的能力，培养学生的逻辑和非逻辑的思维能力，培养学生创新能力。,例1,棋盘有8×8=64个格，假定有32个长方形棋子，每个棋子的大小相当于两个格的面积，显然，32个棋子可以盖满64个格。如果砍去对角上的两个黑格，试问能否用31个长方形棋子把所有剩下的62个格盖满?,例2,新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？,数学作业分类2,数学运用型作业和现实运用型作业； 数学运用型作业是指不涉及到数学以外的现实世界，所解决的是纯数学的问题。而现实运用型作业是指将数学知识运用到现实世界中解决有关问题的作用； 现实世界中的问题可以是真实的问题也可以是拟真实的问题。,传统数学学习中的作用一般来说都是纯数学作业，一些表面上看来是现实性的问题并没有多少现实意义； 现实运用型作业的设计根据：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。通过现实运用型作业还可以使得学生理解数学与现实的关系，提高学习数学的兴趣。,例1,某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利03元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低01元，那么商场平均每天多售出300张商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元?,例2,你家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米，一天你骑自行车到商场买学习用品后再到学校，结果比平时步行直接到学校迟了20分钟。已知骑车速度为步行速度的25倍，买学习用品的时问为10钟，求步行速度.,例3,在运动时人的心跳速率和人的年龄有关。如果一个人的年龄用a表示，正常情况下这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数用b表示，那么b=08(220-a)。 正常情况下，一个16岁的学生在运动时能承受的每分心跳的最高次数是多少? 在运动时一个50岁的人10秒心跳的次数为2O次，他有危险吗?,例4,在20022003赛季意大利足球甲级比赛的九轮比赛中，尤文图斯队保持不败，共积分25分，按比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，问：该队共胜了几场球?,例5,用字母表示数 1结合你的生活经验对a-b作出解释； 2现代营养学家用“身体质量指数”来判断人体的健康状况，这个指数等于人体质量(千克)与人体身高(米)平方的商一个健康人的身体质量指数应在2025之间，身体质量指数低于18，属于不健康的瘦，身体质量指数高于30，属于不健康的胖一个人的身体质量为w千克，身高为h米，那他的健康状况如何呢?请关注一下你父母的健康状况,例6,整式乘法 我将要迁新居，家里的住房结构如图，现在我打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮老师算一算，我至少需要买多少平方米的地板? A12xy B10xy C8xy D6xy,例7,假如我们班36人去天柱山游览，门票每人9O元，4O人以上可以享受八折优惠，你认为怎样买票花钱最少，最少是多少钱? 第一种方案：全班36人不够4O人，不能享受八折优惠，所以买36张共花90X36=3240元 第二种方案：因为40张可以享受八折优惠，所以就40张，需要花9O×4Ox8O %=2880元，比第一种少花360元 第三种方案是买40张花去2880元，然后把剩下的4张卖给其他游客，可以得到360元，相当于买36张只花了2520元。,例8,中国共产党第十七次全国代表大会于2007年1O月15日至21日在北京召开下表是中共十七届中央领导机构成员的姓名和出生年月 问题1 根据上表，分别计算出28位中央领导机构成员的年龄，填写以下年龄频率分布表： 问题2 估计中央领导机构成员中年龄在65岁以下的约占百分之几? 问题3 绘制这28位中央领导机构成员的年龄频率分布直方图,例9,根据下表提供的20022003赛季和20032004赛季姚明平均每场打球的相关数据，请你分析，姚明进步了吗?,数学作业分类3,操作性作业和非操作性作业； 操作性作业是指需要涉及到动手对一些材料进行操作，非操作性作业则不涉及到操作操作； 一些可以在头脑中通过空间想象的方式进行操作的也属于操作性作业； 操作性作业还包括通过现实中的操作活动从而得到一定数学结果。,操作性作业,操作性作业在传统的数学教学中是少见的； 在数学学习中使用操作性材料是非常有意义的，它可以帮助学生发现数学规律。即使是数学家在数学创造过程中也经常使用操作性材料来帮助自己发现数学； 发达国家在数学教育中对于操作性材料是非常重视的； 那种认为数学学习中不需要操作性材料或操作性材料仅限于小学低年级的观点是不准确的。,例1,将一正方形纸片沿图1、2的虚线对折，得图3，然后剪去一个角，展开铺平后的图形如图4所示，则图中沿虚线的剪法是( ),例2,根据书本中所学的棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积的计算公式，请自由使用各种材料设计制作棱柱、棱锥、棱台和球，并计算出它们的表面积和体积制成后，在班上开个展览会，比较一下哪位同学的作品最漂亮，哪位同学的计算最正确,例3,一池塘的边缘有A,B两点，设计量种方案测量AB之间的距离，可以用到的器材包括测角仪和卷尺。,数学作业分类4,封闭型作业和开放型作业； 封闭型作业是指条件和结论确定的，开放型作业则是指条件和结论都不确定的作业。 把通过阅读一定的数学材料从而体会数学的价值（文化、应用）的活动也归为开放型作业。这种作业对于培养学生的数学情感态度上是有作用的。,开放性作业,传统的数学作业通常都是封闭型的； 开放型数学作业近年来在国内外的数学教育中都受到极大的重视； 设计依据：培养学生非逻辑思维能力，培养学生创造性地运用所学知识的能力。,例1,学习了二次函数后，为了巩固二次函数的图像 与a、b、c之间的关系。给学生一道题目：让函数的图像开口向下。对称轴为直线X=4并且顶点坐标在第一象限，那么a、b、c应取何值?你确定的函数关系式是:,例2,已知三角形ABC，将它分成面积相等的三个多边形(由若干首尾相连的线段所围成的平面封闭图形)，你能给出几种不同的答案。,例3,我们班的两位同学小明和小李，他们的家分别离学校5千米和10千米，问这两位同学的家相距几千米?,数学作业分类5,个体型作业和合作型作业； 由个体独立完成的作业是个体型作业，而那些必须要有数人在一起才能完成的作业才是合作型作业。,合作型数学作业,传统的数学作业通常是个体型作业； 合作型学习在近年的数学教育中受到很大的重视，这有很多原因包括学习心理上的原因和科技发展甚至社会的原因，作为数学学习一部分的数学作业自然地也把合作型作业作为其一个部分； 设计依据：培养学生的合作意识和习惯，也有利于学生的数学学习。,例1,结合解直角三角形的学习，设计实践活动，将班级学生分成若干组，每组45人，测量学校旗杆高度、树高、河宽等。,例2,在制作统计图课时，设计这样一道作业题：提前一周布置学习任务：以学习小组为单位(6人为一个学习小组)，通过各种渠道制作一张有关我班学生零用钱统计图；要求制作形象统计图，各小组撰写制作感受，以备上课交流。,例3,淮河污染严重，有人就这一问题写了一篇文章“哭泣的淮河”请同学们用数据来说明为什么淮河会哭泣?分组进行研究，要设法认识和接触一些环境组织，并到一些相关的部门了解情况，综合各方面的调查资料，写一个有数据、图表和图象的报告，总结调研情况 针对淮河的污染问题，安徽省政府已开展 “淮河治污”专题调研，同学们做完调查后，综合调查的资料，将你们组的调查报告以及有关的建议交给省 政府，为淮河的治污工作贡献力量,例4,以小组为单位，调查本校课桌椅的使用情况，通过问卷、个案访谈等多种形式进行调查，总结出本校学生对课桌椅的满意程度根据调查的结果，写一篇有说服力的短文，向有关部门就如何改进课桌椅提出自己的看法,例5,以本地区今年3月春季气温变化情况为课题，采用小组合作的方式进行数据的 收集整理、研究方法的选择、研究现象的分析并展示研究结果 1从哪里搜集到有关的数据?( ) 2今年3月本地区气温情况统计表： 3用什么样的统计图表现最鲜明具体?() 4根据表中数据绘制统计图? 5从统计图中可以分析出哪些情况?,数学作业分类6,短期作业和长期作业； 短期作业是指学生可以在很短时间就可以完成的作用，而长期作业则需要学生经过较长时间才可以完成的作业。,长期作业,学校的学习从一定程度上说就是为了将来的工作和生活做准备，现实中的问题有的可以在很短时间就得到解决，有的则要花较长的时间才能处理好； 要让学生认识到不是所有的问题都能在几分钟内就能解决好的； 传统的数学题是短期的； 设计依据：使学生对数学和数学问题有正确的认识，培养学生坚持不懈的精神。,例1,在学习“一元一次方程的应用”后给学生“一元一次方程应用的调查”的作业，并给出以下建议： 利用方程是分析、解决实际问题的有利工具这一观点去观察和收集日常生活、生产实践中的一些相等关系； 采访周围熟悉的有关人员，也可以去工厂、农村、商店、银行、电信公司等，与有关人员进行交流，收集所需的数据和数量关系； 用所研究的例子，构造一个或几个用一元一次方程解决的问题；汇报本次调查的活动过程、感受和成果。 填写本次调查的活动评价表。,例2,一些对于学生来说难度极大的题目，如 我们将若干个数x，y，z，的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知 a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）。,学习型作业和探究型作业,学习型作业更加强调运用已有的知识，探究型作业强调对新知识的发现。 探究型作业也称为创新型作业。,探究型作业,学习和创新是数学教育中的一对矛盾，比较一致的观点是学习既要学习已有的知识，也要通过教学活动培养学生的创新能力； 数学家的活动就是一种创新活动，学生数学的学习在某种程度上应该和数学家类似； 设计依据：使得学生在一定程度上理解数学创造过程，培养学生的创新能力。,例1,在正方体的侧面展开图这节课后，设计这样一项作业：将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，回答下列问题：能得到哪些平面图形?与同伴交流试试看，你最多能剪出多少种不同的平面展开图?它们有规律可寻吗?得到的平面图形经过折叠能否围成一个正方体？,例2,在一次数学实验探究课中，需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题，某同学完成了以下部分记录单：(单位：cm) (1)请用计算器计算AB·AC的值，并填入上表的相应位置 (2)对半径分别为R、r的两个同心圆，猜 测AB·AC与R、r的关系式，并加以证明,数学作业来源的多样性,来源一,数学作业的最主要来源是教科书和相关的作业册； 教师在使用教科书和相关作业册时需要注意的两点： 第一，要注意作业的量； 第二，要注意选择哪些有价值的题目。,来源二,使用来源一的不足之处：未必满足本班学生的需要；未必能有助于学生全面地实现学习目标； 教师有针对性（学生、目标）自行设计作业，这是教师教学设计的重要部分之一； 教师的作业设计可以分成独立设计和延伸设计，前者是指教师独自地根据学生和教学目标设计作业，后者是指教师对于现有的作业题进行改造而得到的新题目。,来源三,数学作业也可以由学生来设计，学生设计作业与教学目标中的发现问题之间具有密切的联系； 教师可以逐步培养学生设计作业或提出问题的能力，要经过半成品到全成品的过程。,例1,点A，E，F,C在同一直线上，有下面4个论断AD=CB ；AE=CF； B=D；ADBC请用其中3个作为条件，余下一个作为结论，编一道几何证明题，并写出证明过程,例2,数学课上，蒋老师让学生做一道应用题，但题目只写了学校需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天 ，下课铃声就响了，于是蒋老师要求学生把留下的部分补齐，并进行解答，看谁的问题设计得既切合实际，又有深度?”,作业设计的两个补充,趣味性作业设计,数学的抽象性使得许多学生对于数学的学习感到乏味和害怕，因此，在教学中提高学生的学习兴趣是许多教育者提倡的，在作业中加入一些趣味元素也应该是作业设计中需要考虑的； 设计根据：使学生对于数学本身感兴趣是调动学生学习积极性的最重要的方法之一。,例1,完全平方式 请把五组数值 分别输入如图的两个数值转换机，比较两个输出结果，你发现了什么?这说明了什么?,例2,一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的右岸，只有一条小船可供使用，这条小船一次只能承载两个儿童或一个士兵 (1)这队士兵怎样渡到右岸呢? (2)你能用语言表述解决这个问题的过程吗? (3)你能将上述问题的解题过程用流程图来描述吗?,例3,有一只老鼠在园湖的岸边上碰见一只猫，它想跑回洞已经来不及了，只好跳入湖中企图逃走，但猫在岸上等着它，假若猫在奔跑时的速度是老鼠在湖中游泳速度的4倍，请你仔细想一想，这只老鼠有没有办法逃掉?,例4,(1)一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：“你们不是说若 X= Y且Y=Z ，则Y=Z 吗!那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢哕?!”数学家想了一下反问道：“那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧!因为它们平均不过是五十度而已!” (2)古希腊哲学家芝诺号称“悖论之父”，他有四个数学悖论一直传到今天他曾讲过一句名言：“大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习” 请根据以上的材料，利用我们已学习过的数学知识，自己创作一些幽默的数学故事或数学比喻届时评选出一些优秀的作品，并录入本校的校刊中,例5,国王要奖赏国际象棋的发明者，国王问他有什么要求，发明者说，请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到第64个格子，请问，他总共要求国王给他的麦粒有多少?,作业设计中的因材施教,作为数学教学一个部分的作业，因材施教是非常重要的，实际上它可能是因材施教的最主要的体现； 教师在设计数学作业时要考虑到不同学生的能力，针对不同层次的学生设计不同的作用。,例1,甲、乙、丙、丁四名打字员承担一项打字任务，若由这四人巾的某一人单独完成全部打字任务，则甲需要24小乙需要20小时丙需要16小时，丁需要12小时问： A组：如果甲、乙、丙、丁四人同时打字，那么多少时间完成? B组：如果按甲、乙、丙、丁的次序轮流打字，每一轮中每人各打1小时，那么需要多少时间完成? C组：能否把B档题中所说的甲、乙、丙、丁的次序作适当调整其余都不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时?,例2,A 组： 1在ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DEBC，请写出图中的比例式 2如果D、E分别在BA、CA 的延长线上，且DEBC ，邡么上述结论还成立吗?,B 组： 3在ABC 中，点D、E分别在边AB 和AC ，且DEBC，如果AD=2，DB=4，AE=3，那 么EC=？ 4如图，在平行四边形ABCD中，E 是CD 延长线上的一点，BE交AD 于F，ED：DC=1：2，则AF ：FD 的值为？,5. 在ABC中，点D、E分别在线段AB、AC的延长线上，DEBC，AB=1，BD=3，AC=2，那么AE=？ 6如图2，小丽的身高为16米，她沿着树影BA 由B向A 走去，当走到C点时，发现自己影子的顶端正好与树影子的顶端重合，此时，恰好D、E、A 三点在同一直线上测得BC=42米CA=08米树高为多少米？,7如图3，路灯(P点)距地 8米，身高16米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA 所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了? 变长或变短了多少米?,C组： 如图，三角形ABC中，E是AC上一点过点E的直线交AB 于 点D，交BC的延长线于 点F AE：EC=1：2，BC：CF=3:2, 求DE:EF 变式1：求AD：DB的值； 变式2：如果AD：DB= 1：3，DE：EF=1:2，求 AE：EC 的值,例3：点到直线的距离,A组 ：求点(3，4)到直线2x+y-10=0的距离 B组：求点(3，4)到直线2x=9的距离 C组：求点(3，4)到直线xcos +ysin +8=0的距离的最大值和最小值,例4：平面上两点之间的距离,A组： 1已知点M(a，一5)，N(0，10)问的距离为17，则a等于？ 2 在等腰AOB 中，AO=AB，点O(0，0)，A(1，3)若点B在X轴的正半轴上，则直线AB的方程为？ 3若两点P，Q的横坐标分别为2，-3，且直线 PQ的斜率为2，则PQ=？ 4点A(一3，4)关于直线4x-y-1=0的对称点的坐标为? 5已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，试求 D点坐标，使四边形ABCD为等腰梯形,B组： 6证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 C组： 7解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，反过来，能否用几何方法研究代数问题呢?,2006 年苏州 中考题：如图，平行四边形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 边上的一点 若再增加一 个条件，就可推得BE DF.,