甘肃省兰州市2018届高三数学上学期第二次月考9月试题文201710100222.wps

甘肃省兰州市 20182018 届高三数学上学期第二次月考（9 9 月）试题 文 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 A = x x 1， B = x x m，且 AUB = R ，那么 m 的值可以是 A- 1 B.0 C. 1 D.2 2“若 p : x a ”是“q : x 1或x 3”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 A.a 1 B.a 1 C.a 3 D.a 3 3当 0x1 时，则下列大小关系正确的是 A.x 33xlog3x B.3xx 3log3 x C.log3 xx 33x D.log3 x3xx 3 4. 从一个棱长为 1 的正方体中切去若干部分，得到一个 几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为 7 5 5 3 4 A. B. C. D. 8 8 6 5 数 列 a 满 足 n a ， 1 1 a ， 2 3 a n a 1 (2 ) n n 1 1 1 主视图 1 左视图 （ n 1, 2,L ）， 则 a 等于 3 1 第 4 题 A5 B9 C10 D15 1 俯视图 6.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学 的 代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已 知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三 角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是 A. B. C. D. 2x y 2 0 7设 x ， y 满足约束条件 ，则目标函数 z 3x 2y 的最小值为 x 2y 4 0 x 1 0 A.6 B.4 C.2 D.2 8将函数 y sin 2x 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 f (x) 的图象， 4 则 f ( ) 的值是 2 1 A.1 B.2 B. 1 D.0 9公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形 的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并 创 立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到 小 数点后两位的近似值 3.14“，这就是著名的 徽率”如图是 “利用刘徽的 割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的 值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305） A. 12 B.18 C.24 D. 32 1 10.已知函数 ，则 的图像大致为 x ln x 1 f (x) y f (x) 11. 已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），若 AF 3FB l ，则直线 的斜率为 3 1 A. 3 B. C. D. 2 2 2 x 1 , x 0 12已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， f x a f x x x x x 1, 2 , 3, 4 log x , x 0 2 1 且 ，则 的取值范围是 x x x x x x x 1 2 3 4 3 1 2 2 x x 3 4 A.1, B.1, 1 C.,1 D.1, 1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。 13. 已知b 为实数，i 为虚数单位，若 2 bi 1i 为实数，则b _ 2 14. 已知正项数列 的首项 a1 1，前 n 项和为 S ，若以 ( , )为坐标的点在曲线 a a S n n n n 1 y x(x 1) a 上，则数列 的通项公式为_ n 2 15. 在ABC 中，| AB AC | AB AC |，AB=2，AC=1，E，F 为 BC 的三等分点，则 AE AF =_ 16. 已知函数 y f x, x R 有下列 4 个命题： 若 f (1 2x) f (1 2x) ，则 f (x) 的图象关于直线 x 1对称； y f (x 2) 与 y f (2 x) 的图象关于直线 x 2对称； 若 f (x) 为偶函数，且 f (2 x) f (x)，则 f (x) 的图象关于直线 x 2对称； 若 f (x) 为奇函数，且 f (x) f (x 2) ，则 f (x) 的图象关于直线 x 1对称. 其中正确的命题为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题，共 6060分。 17.17.（本小题满分 1212分） 已知 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c, 且 2acos B ccos B bcosC （1）求角 B 的大小； （2）设向量 m (cos A,cos 2A),n (12,5) ，边长 a 4，求当 m n 取最大值时， ABC 的面积的值 18.18.（本小题满分 1212分） “兰州一中在世界读书日期间开展了 书香校园”系列读书教育活动。为了解本校学生课外 阅读情况，学校随机抽取了 100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制 的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于 60 “分钟的学生称为 读书迷”，低于 60“分钟的学生称为 非读书迷”。 非读书迷 读书迷 合计 男 15 女 45 （1）根据已知条件完成下面 2×2 列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为“读书迷”与 性别有关？ 3 （2）利用分层抽样从这 100“”名学生的 读书迷 中抽取 8 名进行集训，从中选派 2 名参加 兰州市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率。 附： 2 ( ) n ad bc 2 K ,n a b c d, (a b)(c d)(a c)(b d) P ( K k ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2 0 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19.19.（本小题满分 1212分） P 如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， AB 2 ， BAD PA ABCD M,N BC,PC 120 , 平面 ， 分别是 的中点。 , 平面 ， 分别是 的中点。 N （1）证明： AM 平面PAD ； A D （2）若 H 为 PD的中点时， MH 与平面 PAD 所成的角最大， B C M 题（19）图 6 PBC 且所成角 的正切值为 ，求点 A到平面 的距离。 2 20.(20.(本小题满分 1212分) ) x y F 3, 0 A 2 2 已知椭圆 的一个焦点为 ，其左顶点 在圆 C : 1 a b 0 a b 2 2 O : x y 12 2 2 上 （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l : x my 3m 0交椭圆C 于 M , N 两点，设点 N 关于 x 轴的对称点为 N 1 （点 与点 不重合），证明：直线 过 x轴上的一定点，并求出定点坐标 N M N M 1 1 21.(21.(本小题满分 1212分) ) 已知函数 f (x) x2 ax 2ln x （1）当 a =5 时，求 f (x) 的单调区间； 1 1 （2）若 f (x) 有两个极值点 x x ,且 ，求 f x 取值范围（其中 e 1, 2 x x ( ) ( ) 1 f x 1 2 2 3 e 为自然对数的底数） （二）选考题，共 10分。请考生在 22、23题中任选一题作答，并用 2B铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑,安所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分,多答 按所答第一题评分。 22.22.（本小题满分 1010分） 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的倾斜角为 且经过点 P(1, 0) 以原点O为极点，以 x 轴 非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线C 的极坐标 4 方程为 2 6 cos 5 0 （1）若直线l 与曲线C 有公共点，求 的取值范围； （2）设 M (x, y) 为曲线C 上任意一点，求 x y 的取值范围 23.23.（本小题满分 1010分） 设函数 f (x) | ax 1|. （1）若 f (x) 2 的解集为2, 6，求实数 a 的值； （2）当 a=2时，若存在 x R ，使得不等式 f (2x 1) f (x 1) 7 3m 成立，求实数 m 的取值范围. 5 甘肃省兰州一中 20182018届高三 9 9 月份月考 数学参考答案（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6. B 7.B 8.D 9.C 10. A 11.A 12.D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。 13.-2 14.an n 15. 16. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70分。 17.17.（本小题满分 1212分） （ 1 ） 由 题 意 ， 2 sin Acos B sinC cos B sin BcosC，所 以 B 4 .5 分 （2）因为 mvnv A A A ， 12 cos 5cos 2 10(cos ) 3 43 2 5 5 3 cos A= mn 所 以 当 时 ， 取 最 大 值 ， 此 时 ， 5 4 s inA= . 5 9 分 sin B 5 2 7 2 由正弦定理得， b a ,sinC sin(A B) , sin A 2 10 所 以 ， 1 S absinC 7. VABC 2 12 分 18.18.（本小题满分 1212分） （1）2×2 列联表如下： 非读书迷 ”读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 2分 6 易知 K 2 的观测值 k 100(40251520) 2 60405545 8.249. 4分 因为8.249 6.635 ，所以有 99%“”的把握认为 读书迷 与性别有 关. 6 分 （2）利用分层抽样抽取的 8“名 读书迷”中有男生 3 名，女生 5 名，分别设男生和女生为 A (i 1, 2, 3) i 、 B (i 1, 2, 3, 4,5) i ， 8 分 设从8“”名 读书迷 中选派2 名，至少选派一名男生参加比赛的事件为 X , 则基本事件共 有 28种， 其 中 至 少 选 派 一 名 男 生 参 加 比 赛 的 事 件 有 18 种， 10分 9 P(X ) . 所以， 所以，至少有一名男生参加比赛的概率为 14 9 14 .12分 19.19.（本小题满分 1212分） （1）证明：由四边形 ABCD为菱形， ，可得 ， 为正三 BAD ABC 60 120 o ABC 角形. 因为 M 为BC的中点，所以 AM BC. 2分 又 BC / /AD，因此 AM AD. 因为 PA 平面 ABCD， AM 平面 ABCD，所以 PA AM . 而 PA AD A， 所 以 AM 平 面 PAD . 5 分 （2）连接 AH、MH. 由（ ）可知： AM 平面PAD.则MHA为MH与平面PAD所 成的角. 在 RtMAH 中 ， AM 3， 所 以 当 AH最 短 时 ， MHA最 大， 7分 AH PD MHA 即当 时， 最大，此时 AM 3 tanMHA AH AH 6 2 ， P 因此 AH 2.又 AD 2，所以ADH 45o，于是PA 2. 10 分 N H 7 A D 设点 A 到平面PBC的距离为 d， 1 1 则由VAPBC VPABC ，得 S d S PA， PBC ABC 3 3 d 2 21 7 . 所以，点 A 到平面PBC的距离为 2 21. 12分 7 20.(20.(本小题满分 1212分) ) （1）椭圆C 的左顶点 A在圆 x2 y2 12上， a 2 3 又椭圆的一个焦点为 F(3,0) ， c 3 b2 a2 c2 3 椭圆C 的方程为 x 2 12 y 2 3 1 4分 x my 3, （2）设 ( 1, y ), N(x , y ) ，则直线与椭圆 方程联立 M x C 2 2 1 2 2 x y 1, 12 3 化简并整理得 (m2 4)y 2 6my 3 0， 6m ， y y 1 2 2 m 4 3 y y 1 2 2 m 4 8 分 y y 由题设知 1 (x , y ) 直线 的方程为 1 x x N N M y y 1 2 ( ) 2 2 1 1 x x 1 2 令 y 0 得 x x 1 y (x x ) 1 1 2 x y 1 2 y 1 x y 2 1 (my13)y2 y 1 (my 2 y 2 3)y 1 y y 1 2 y 2 6m m 4 2 6m 3 4 直线 过定点 N M 1 m 2 4 P(4,0) . 12 分 21.21.（本小题满分 1212分） （1） f (x) 的定义域为 (0， ) ， 8 ' 2 2x 5x 2 (2x 1)(x 2) 2 f (x) 2x 5 x x x ， 3 分 源:.Com 1 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ) 和 (2,) ， 单 调 递 减 区 间 为 2 1 ( ,2) 2 . 5 分 （2）因为 2 2x ax 2 2 ，令 g(x) 2x2 ax 2 f (x) 2x a x x 若 f (x) 有两个极值点，则方程 g(x)=0有两个不等的正根，所以 a2 16 , 即 a 4 ( 舍 ) 或 a 4时 ， 且 a x x ， 1 2 0 2 x1x2 1 7分 又 1 1 x ，于是， f (x ) f (x ) (x2 ax ln x ) (x2 ax 2ln x ) 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 3 e a x (x x a x x ) x n x ) x x ) a x x 2 1 1 2 ) ( 1 2 2(ln 1 l 2 ( ( ) ln 2 2 1 2 1 2 2 x 2 1 1 (x )(x ) 4ln x 1 1 1 x x 1 1 1 x 4ln x 9 分 2 x 2 1 1 1 1 1 1 h(x) x l x x 2 ( ) ，则 4 n x 3 e 2 2(x 1) 恒成立，h(x) 在 (1 , 1) 2 2 h (x) 0 单 x 3 e 3 调 递 减 ， 1 1 1 80 h( ) h(x) h( )， 即 e2 4 f (x ) f (x ) 4ln3 ， 故 e 3 2 e 9 1 2 f (x ) f (x ) 的 取 值 范 围 为 1 2 1 80 (e 4 4ln 3) 2 ， e 9 2 12 分 22.22.（本小题满分 1010分） （1）将 C 的极坐标方程 2 6 cos 5 0化为直角坐标为 x2 y2 6x 5 0, 直 线 l 的 参 数 方 程 为 x 1 t cos y t sin (t 为参数） . .2 分 9 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入 曲 线 C 的 方 程 整 理 得 t2 8t cos 12 0 ， .3 分 3 3 cos cos 直线与曲线有公共点， 64 cos2 48 0 ，得 或 . 2 2 Q 0,), 的 取 值 范 围 为 5 0, U , 6 6 . .5 分 （2）曲线 C 的方程 x2 y2 6x 5 0化为(x 3)2 y2 4， 其 参 数 方 程 为 x 3 2 cos y 2 sin ( 为参数） ， 7分 Q M (x, y) 为曲线 C 上任意一点， x y 3 2 cos 2 sin 3 2 2 sin 4 4 ， . 9 分 x y 的 取 值 范 围 是 3 2 2,3 2 2 . .10 分 23.23.（本小题满分 1010分） 【 解 析 】 （ ） 显 然 a 0 ， 1分 1 2, 3 6 1 3 当 a 0 时 ， 解 集 为 , ， ， a a a a a 1 2 ； 3 分 3 1 1 6, 3 2 当 a 0 时，解集为 , ，令 ，无解， a a a a 综 上 所 述 ， a 1 2 . .5 分 （ ）当 a 2 时， 令 h(x) f (2x 1) f (x 1) 4x 1 2x 3 10 1 4 2 x 4, x 1 3 6 x 2, x 4 2 3 2 x 4, x 2 7分 1 ( 1 , 3) (3 , ) 由此可知， h(x) 在 ( , ) 单调减，在 和 单调增， 4 4 2 2 1 x h(x) 则 当 时 ， 取 到 最 小 值 4 7 2 ， 8 分 7 7 3m m 由 题 意 知 ， ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 2 7 , 2 . 10 分 11