高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数教案北师大版必修420170825252.wps

1.11.1 周期现象 整体设计 教学分析 本节是三角函数内容的开篇第一节，主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界 中存在着大量的周期现象，为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才来学习三角函数.三 角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值， 是高考的重点考查内容，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性 是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析 式,判断函数的奇偶性、单调性等，对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用. 怎样研究现实中的周期现象呢？本节给出了一个完整的例子潮汐现象.其思考分析过 程为：观察图片，感受周期现象构造一个函数收集相关数据在坐标纸上画出散点图观 察散点图的特征判断实例是否周期性变化.根据这个实例，在教学中要体现三个层次，第一 个层次是感知，在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片，使学生感受周期现象的存在.第二个 层次是领悟、思考，在活动中发现水深和时间的函数，并在坐标纸上画出水深和时间的散点图. 第三个层次观察散点图，从图中可以看出，每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值， 因此水深是周期性变化的. 在教材处理上让学生多举生活中的实例，数学来源于生活，又指导生活.大千世界有很多 的周期现象，让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在.教科书中的 三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象，目的是让学生初步探寻领悟周期 现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量周期现象的实例. 三维目标 通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四 季变化等，让学生感知周期现象.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感 受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学 好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象. 教学难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.让学生各自举出日常生活中存在的周期现象的实例，在生活中处处有数学的氛围 新课感受，从数学的角度来分析研究这些周期现象所蕴含的共同规律，由此自然地展开新课. 思路 2.(情境导入)取出一个钟表,让学生到讲台实际操作，并请学生观察时针、分针和秒 针的关系,经过讨论后得出结论:时针、分针和秒针每经过一周就会重复一次.教师点出，这种 现象在数学上被称为周期现象.然后教师引导学生阅读课本，进而展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 什么是周期现象？每人各自举出 3 个以上周期现象的实例. 周期现象与函数的概念有什么联系？ 如何画出“散点图”？ 如何理解“散点图”？图 1 中横坐标和纵坐标分别表示什么？ 1 活动: :引导学生自主学习本节的相关内容，并思考理解周期现象的数学含义，理解周期现象中 两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如: 对于函数 f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现, 这样的函数我们就叫做周期函数. 课本中的潮汐现象已经给出了相关数据(实际操作中学生应学会自己采集相关数据)，教师 引导学生观察表格中的数据,并发现规律，比如重复出现的几个数据. 指导学生根据散点图中点的位置排列，进一步理解周期现象的含义以及散点图中横、纵坐标表 示的量.当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律，我们可以构造 一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深 H 和时间 t 的关系，那么 H 就是 t 的函数. 下表是某港口在某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据，我们来研究 H(t)这个 函数. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 1:00 5.0 9:00 2.5 17:00 6.2 2:00 6.2 10:00 2.7 18:00 5.3 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.1 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.1 5:00 6.2 13:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.2 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.5 23:00 3.5 8:00 3.1 16:00 7.3 24:00 4.4 根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深 H 与时间 t 关系的散点图(如图 1). 图 1 教师进一步引导学生举出生活中存在周期现象的例子,并结合实例与学生进一步探究、升 华周期现象，丰富学生对周期现象的感知.例如： 实例 1.让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片)，并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河，它 位于浙江省北部，全长 605千米，河域面积五万平方千米，占全省面积的百分之四十三，是我 国东南沿海的一条著名江流.利用课件，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏 伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的？师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会 重复出现，这是一种周期现象. 实例 2.大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海 的向往.众所周知，海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮, 晚潮叫汐，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天刚刚学到的周 期现象.人们根据海水的这一规律，在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头，卸货后, 在落潮时返回海洋，这是人们充分利用周期规律的典型例子. 实例 3.我们平时所说的年、月、日，实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西 落的周期是一日；月亮由圆到缺，又由缺到圆，这就是一月，即周期为一月；冬去春来，循环 往复，这就是一年，即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程. 2 实例 4.太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡， 大多呈近似椭圆形，在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑，但实际上它们的温度高达 4 000 左右.倘若能把黑子单独取出，一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出 现的情况是不断变化的，这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周 期现象，平均活动周期为 11.2年. 实例 5.在医学上，心脏收缩和舒张有规律的交替进行，称为心动周期.心房与心室每收缩 和舒张一次，即为一个心动周期.正常心动周期的顺序为：首先两心房收缩，一般占 0.1 秒(以 每分钟心跳 75 次计算)；继而心房舒张，持续 0.7秒.当心房收缩时，心室处于舒张状态，持 续 0.5 秒；心房进入舒张后不久，心室开始收缩，持续 0.3秒，随即又进入舒张状态.在正常 情况下，左、右心房和左、右心室收缩和舒张活动几乎是同步进行的.另一方面，无论心房或 心室，收缩期均短于舒张期.心动周期的持续时间与心跳频率有关，心率过快，心动周期时间 就过短，心房和心室的舒张时间也过少，这样就会影响心脏内血液充盈程度，降低每次心搏的 输出量. 实例 6.蜕皮(tuipi).昆虫纲和甲壳纲等节肢动物的体表具有坚硬的角质层，虽有保护身 体的作用，但限制动物的生长发育.因此，在胚后发育过程中，必须进行一次或数次脱去旧表 皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮.只有这样，虫体才能得以继续 充分生长发育.显然，蜕皮现象是自然界存在的周期性自然现象.但蜕皮的准备和蜕皮过程是连 续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在 定期蜕皮时脱掉;蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约 2 个月完整地脱落 1 次. 实例 7.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理 学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为 23 天、28 天、33 天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期 的半数为临界日，这就是说 11.5天、14 天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的 临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置)，根据 自己的出生日期，就能绘制出自己的体力、情绪和智力曲线，并总结出自己在什么时候应当控 制情绪，在什么时候应当鼓励自己,在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力，以 便更好地做好工作.这是人们充分利用人体自身的周期规律、顺应自然的又一典例. 实例 8.化学元素的性质取决于核外电子的分布，而核外电子的分布是周期性地重复着类 似的排列，于是,元素的性质也就出现了周期性的变化，根据这些变化科学家制定了元素周期 表,以揭示元素周期性变化规律，最著名的有门捷列夫的元素周期表等.物理学科中这种周期性 运动变化规律更是大量存在，如单摆的简谐运动、交流电的电压变化规律等. 根据以上实例，教师与学生一起归纳提高：在我们生活的周围存在着大量的周期规律，充 分认识这些规律，就能更好地造福于人类、造福于社会，而本章三角函数正是刻画周期现象的 一类重要数学模型.学习中要通过具体现象细心观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现 象的存在，并用学到的数学知识再应用于实践.由此可见，数学来源于生活，又指导生活，学 好数学对我们来说是多么的重要.这也就理解了为什么数学家说“数学不仅是人类语言，也是 ”宇宙语言 的道理. 讨论结果:- 略. 应用示例 1.地球围绕着太阳转(图 2)，地球到太阳的距离 y 随时间 t 的变化是周期性的吗？ 图 2 3 活动: :教师引导学生回忆物理学的相关知识，结合函数的概念进行思考分析. 解: :根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离 y 是唯一确定 的，每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻 t 算起，经过一年时间，地球又回到 原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的. 点评:理解周期现象及相关知识. 2.图 3 是钟摆的示意图.摆心 A 到铅垂线 MN 的距离记为 y，钟摆偏离铅垂线 MN的角记为 .根 据物理知识，y 与 都随时间的变化而周期性变化. 图 3 3.图 4 是水车的示意图.水车上 A 点到水面的距离为 y.假设水车 5min转一圈，那么 y 的值每 经过 5min就会重复出现，因此，距离 y 随时间 t 的变化规律也具有周期性. 图 4 点评: :抓住周期现象与函数的内在联系，从众多变量中找出具有反映周期现象本质的两个量， 其因变量的值随着主变量每隔一定的变化时都会重复出现.培养学生善于从众多复杂现象中迅 速抓住本质的能力. 变式训练 走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动，那么手臂的摆动满足什么规律呢？ 解: :如图 5，以 ON 代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到 OP位置时，设 PON 为摆动的幅 角，y 为 P 点离开直线 ON 的水平距离，r 为手臂的 长度，根据初中平面几何知识可知 y=rsin. 图 5 知能训练 课本习题 11 1、2. 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课都学到了哪些数学知识与数学方法，怎样从杂乱无章的现象中 探寻规律.与学生一起探寻周期性变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生 活都发挥着哪些积极作用.数学的伟大使命在于从混沌中发现规律,让我们借助本节的方法体 4 会整章的风貌，让本章的探究体会为我们今后的学习插上翅膀. 作业 1.课本习题 11 3. 2.从物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中举出周期现象的例子. 设计感想 本课时作为全章第一节开头，有仰望全章、激发探究、投石问路之意，因此在教案设计上 应对教法、学法有一定设计，并对全章略做提点，也算抛砖引玉，以解学生之疑.本节通过创 设一定的教学情境，让学生感知周期现象，并引导学生从数学的角度来分析探究这种现象，目 的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量的周期现象的实例， 以便于进一步学习三角函数的有关知识.本节内容实际上就是引导学生通过大量的类似现象来 寻找规律. 引导学生经历探索规律的过程这一步对学生来说至关重要，一开始不可要求学生机械地套 用课本实例.因为每个问题都有着多种变化因素，每个学生都有着自己独特的体验，有了探索 规律的过程，学生在面对新的现象或问题时，才能主动应用相关的策略，找到解决问题的方法. 所以在教学时不能因为贪图省事而简单地告诉学生这个是周期现象，让学生放弃了自主探索、 合作交流的机会，那才真是捡了芝麻丢了西瓜. 习题详解 习题 11 1.解: :由题意知钟摆的周期为 T=1.8 秒. 1 分钟=1.8×33+0.6 秒,又 钟摆在铅垂线的左边. 1 4 T=0.45, 点拨: :根据钟摆的周期,可知在第一、四个 垂线的右边. 1 4 T 钟摆在铅垂线的左边,在第二、三个 1 4 T 钟摆在铅 2.解: :由题意,知钟摆的周期为 T,则 3 4 T=5,所以 T= 20 3 . 所以第三次经过 M 点需要 20 14 -2= 秒. 3 3 点拨: :根据题意,求出质点的运动周期即可. 3.点拨:由摩天轮的转动周期,得 8 小时内转动 24圈,设每人只坐一圈且每次坐满,则最多乘坐 24×8×4=768 人. 备课资料 一、周期现象 1.植物开花有早有晚，并随光照时间的长短而变化，这是周期现象吗？请解释这一现象. 地球上不同纬度地区，在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同，对植物的开花结实具有明显 的影响，这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同，可分为长日照植物、短日照植物 和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有 12 小时以上的光照时数才能 开花，光照时间越长，开花越早.短日照植物，每天光照时数在 12 小时以下才能开花，在一定 范围内黑暗期越长，开花越早.中间性植物，对光照长短没有严格要求，只要生存条件适宜就 可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中，花期的控制以及引种工作中，研究植物的光周期 现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象，在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类， 很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳 定的周期变化，所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时 间都不会相差几日，如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化，食物的短缺等)都不 5 能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的. 2.流星雨是周期性的现象吗? 流星雨是周期性的现象,每年都有，有三大流星雨最为著名. 英仙座流星雨，英仙座流星雨每年固定在 7 月 17日到 8 月 24 日这段时间出现，它不仅数 量多，而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过，其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星 Swift-Tuttle 是英仙座流星雨之母，1992 年该彗星通过近日点前后，英仙座流星雨大放异彩， 流星数目达到每小时 400颗以上. 天龙座流星雨，天龙座流星雨在每年的 10月 6 日至 10 日左右出现，极大日是 10月 8 日， 该流星雨是全年三大周期性流星雨之一，最高时流量可以达到每小时 120颗，其极大日一般接 近新月，月光影响小，为观测者提供了很好的观测条件， Giacobini-Zinner 彗星是天龙座流 星雨的本源. 天琴座流星雨，天琴座流星雨一般出现于每年的 4 月 19日至 23 日，通常 22日是极大日， 该流星雨是我国最早记录的流星雨，在古代典籍春秋中就有对其在公元前 687年大爆发的 生动记载.彗星 1861I 的轨道碎片形成了天琴座流星雨，该流星雨作为全年三大周期性流星雨 之一,在天文学中占有着极其重要的地位. 二、如何理解周期现象与三角函数的关系 我们是生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时 间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等.研究周期变化 规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经 过一定数量重复原来的变化，即 f(x+k)=f(x)时，函数 y=f(x)是一个周期函数. 在实际教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如 物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现 象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等. 三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它 们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律 都可以由它们直接描述. 传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系” ，传统三角学 的 内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，三角学与三 “”角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化的，是 分析学 的主要内容. 6