高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数导学案苏教版必修420170824329.wps

3.23.2 二倍角的三角函数 课堂导学 三点剖析 1.二倍角公式应用初步 【例 1】（1）求 cos 12 cos 5 12 的值； （2）求 cos20°·cos40°·cos80°； （3）求 1 3 sin10 cos10 的值. 思路分析：本题主要涉及给角求值问题，应充分利用倍角公式及变形形式，抓住题目中各角之 间的关系. 5 解：（1）cos cos =cos sin 12 12 12 12 1 1 1 = ·2cos sin = sin = . 2 12 12 2 6 4 2 sin 20 cos 20 cos 40 cos80 （2）原式= 2 sin 20 2 sin 40 cos 40 cos80 = 4 sin 20 2 sin 80 cos80 sin160 1 = . 8sin 20 8sin 20 8 （3） 1 3 sin10 cos10 = cos10 3 sin10 sin10cos10 = 1 2( cos10 2 1 2sin10 2 3 sin10 ) 2 cos10 4 sin(3010) = 4. sin 20 温馨提示 5 对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据 、 两角 12 12 5 互余，将 cos 换成 sin ，再配以系数 2 即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间 12 12 具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以 sin20°，便可逆用二倍角 公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角 公式，约分后即可求值. 2.二倍角公式的变形应用 1 5 cos 2x 【例 2】设 sin（ -x）= ,0x ,求 4 13 4 cos( x) 4 思路分析：注意到角之间的关系，2x 是 x 的二倍角， 4 解法 1：0x ,0 -x , 4 4 4 的值. -x与 4 +x 互为余角， 4 是特殊角. cos( 4 -x)= sin ( ) 1 2 x 4 = 5 12 1 ( )2 . 13 13 5 又 cos（ +x）=sin( -x)= 4 4 13 sin2( x) 4 原式= sin( x) 4 2sin( x) cos( x) 4 4 = sin( x) 4 24 =2cos( -x)= . 4 13 , 解法 2：cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)·(cosx-sinx) = 2 sin(x+ )· 2 cos(x+ ) 4 4 =2sin(x+ )cos(x+ ). 4 4 2 sin(x ) cos(x ) 4 4 原式= cos(x ) 4 =2sin(x+ )=2cos( -x). 4 4 后面同解法一. 温馨提示 仔细分析角与角的关系，如 -x 与 +x 互为余角；2x是 x 的倍角，且 cos2x=sin( 4 4 ±2x)=sin2（ ±x）.分析角的关系，往往是解题的突破口. 4 3.二倍角变形应用 2 【例 3】（1）化简 2 1 sin 8 2 2 cos8 ； 2 3 （2）设 （ 2 1 1 1 1 ，2），化简 cos . 2 2 2 2 解：（1）原式=2 1 2 sin 4cos 4 4 cos2 4 =2|sin4+cos4|+2|cos4|. 3 因为 4（， 2 ），所以 sin40,cos40. 故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4 =-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）. 3 （2）因为 （ 2 ，2），所以 cos0，cos 2 0. 1 1 2 1 2 1 故，原式= cos cos cos | cos | cos . 2 2 2 2 2 2 2 温馨提示 （1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三 角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形： 1±sin=（sin ±cos ）2，1±cos=2cos2 . 2 2 2 （2）脱掉根号时要注意符号问题，如 1 cos 2 |cos |，利用 所在的象限，判断 cos 2 的正负，然后去掉绝对值符号. 2 各个击 破 类题演练 1 1 化简. （1）cos72°·cos36°； （2）cos·cos ·cos 2 2 2 ·cos 2 3 ··cos 2 n 1 . 思路分析：对于（1）要注意 72°=2×36°；对于（2）要注意 a a 2 2 2 2 k k 1 （k=1，2， n）.注意到以上的特点，可同乘除一个恰当的因式，然后用倍角公式解之. 2sin 36 cos 36 cos 72 解：（1）cos36°·cos72°= 2sin 36 2 sin 72 cos 72 sin144 1 = = . 4sin 36 4sin 36 4 （2）原式同乘除因式 sin 2 n 1 ，然后逐次使用倍角公式解得原式= sin 2 n 2 sin n1 2 . 变式提升 1 1 已知 （ 5 4 ， 3 2 ），|cos2|= 1 5 ，则 sin 的值是（ ） 3 A. 10 B. 5 10 5 5 C. D. 5 15 5 5 3 思路分析：（ ， ）， 4 2 5 sin0，且 2（ ，3），cos20. 2 1 1 |cos2|= ，cos2= . 5 5 1 cos 2 3 由 cos2=1-2sin2，得 sin2= = ， 2 5 sin= 15 . 5 答案：D 类题演练 2 2 1 已知 sin+cos= ,且 0,求 sin2、cos2、tan2 的值. 3 1 解：sin+cos= , 3 1 sin2+cos2+2sincos= , 9 8 4 sin2=- 且 sincos= 0. 9 9 又0 ,sin0,cos0, sin-cos0. sin-cos= 17 1 sin 2 , 3 cos2=cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)= 1 3 ×( 17 17 )= . 2 9 tan2= sin 2 cos 2 817 17 . 变式提升 2 2 (sin cos 1)(sin cos 1) 化简 . sin 2 (2sin cos 2sin2 )(2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2 解法 1 1：原式= 4 sin cos cos 2 2 2 ) 4 (cos sin )(cos sin ) sin 2 2 2 2 2 = = cos cos 2 (cos2 sin2 ) sin 2 2 2 cos cos 2 cos sin 2 = . tan 2 cos cos 2 sin (1 cos)sin (1 sin 2 解法 2：原式= cos = sin2 (1 cos)2 sin 2 = sin2 1 2 cos cos2 sin = 2 2 cos 2 cos 1 cos 2sin cos sin = 2 2 sin 2 tan 2 sin cos 2 2 2 . 类题演练 3 3 1 cos100 1 cos100 等于( ) A.-2cos5° B.2cos5° C.-2sin5° D.2sin5° 解析：原式= 1 2 cos2 50 1 11 2sin2 50 = 2 cos 50 2 sin 50 2(cos50 sin 50) =2（ 2 2 cos50°- 2 2 sin50°） =2sin（-5°）=-2sin5°，故选 C. 答案：C 变式提升 3 3 已知函数 f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x. （1）求 f（x）的最小正周期； 5 （2）若 x0， 2 ,求 f（x）的最大值、最小值. 解：（1）因为 f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x =cos2x-sin2x= 2 cos（2x+ ）， 4 2 所以 f（x）的最小正周期 T= =. 2 5 （2）因为 0x ，所以 2x+ . 2 4 4 4 当 2x+ 4 = 4 时，cos（2x+ 4 ）取得最大值 2 2 ； 当 2x+ = 时，cos（2x+ ）取得最小值-1. 4 4 所以 f（x）在0， 上的最大值为 1，最小值为 2 . 4 6