2018版高中数学第一章统计1.8最玄乘估计学业分层测评北师大版必修320170717218.doc

1.8 最小二乘估计(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()Ay0.4x2.3By2x2.4Cy2x9.5Dy0.3x4.4【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(，)，将(，)逐个代入验证只有A项符合【答案】A2已知变量x和y满足关系y0.1 x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y负相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y正相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关【解析】因为变量x和y满足关系y0.1 x1，其中0.10，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设zkyb(k0)，则将y0.1x1代入即可得到：zk(0.1x1)b0.1 kx(kb)，所以0.1 k0，所以x与z负相关，综上可知，应选A.【答案】A3在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()Ayx1 Byx2Cy2x1Dyx1【解析】2.5，3.5，因为回归方程过样本中心(，)，故A正确【答案】A4已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y与x线性相关，且y0.95xa，则a()A2.2B2.9C2.8D2.6【解析】2，4.5，又回归直线经过(，)，所以4.50.95×2a，a2.6.【答案】D5有人收集了春节期间平均气温x(单位：)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表：平均气温x()2356销售额y(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程yabx的系数b2.4.则预测平均气温为8 时，该商品的销售额为()A34.6万元B35.6万元C36.6万元D37.6万元【解析】由已知，得4，25，所以ab252.4×(4)15.4，即线性回归方程为y15.42.4 x，当x8时，y34.6.【答案】A二、填空题6某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y0.8x0.1(单位：亿元)预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是_亿元【解析】由题意知，y0.8×150.112.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元【答案】12.17调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y0.254x0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元【解析】0.254(x1)0.3210.254x0.3210.254(万元)【答案】0.2548对一质点的运动过程观测了4次，得到如下表所示的数据，则刻画y与x的关系的线性回归方程为_x1234y1356【解析】2.5，3.75，xiyi46，x30，b1.7，ab0.5.所以所求的线性回归方程为y1.7x0.5.【答案】y1.7x0.5三、解答题9假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系试求： (1)线性回归方程ybxa；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解】(1)制表如下：i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x49162536904，5，x90，xiyi112.3于是有b1.23.ab51.23×40.08.故线性回归方程是y1.23x0.08.(2)根据线性回归方程是y1.23x0.08，当x10(年)时，y1.23×100.0812.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元10从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi80，yi20，xiyi184，x720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程ybxa中，b，ab，其中，为样本平均值【解】(1)由题意知，n10，xi8，yi2，又lxxxn272010×8280，lxyxiyin 18410×8×224，由此得b0.3，ab20.3×80.4.故所求回归方程为y0.3x0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.3×70.41.7(千元)能力提升1某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)2345销售额y(万元)26394954根据上表可得回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元【解析】，42.429.4×a，a9.1，回归方程为y9.4x9.1，当x6时，y9.4×69.165.5(万元)【答案】B2已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ybxa.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()Abb，aa Bbb，aaCbb，aaDbb，aa【解析】b2，a02×12，xiyi04312152458，3.5，.x14916253691，b.a×3.5.bb，aa.【答案】C3期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y60.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差_分【解析】令两人的总成绩分别为x1、x2，则对应的数学成绩估计为y160.4x1，y260.4x2，所以|y1y2|0.4(x1x2)|0.4×5020.【答案】204研究某设备的使用年限x与维修费用y之间的关系，测得一组数据如下(y值为观察值)：年限x(年)23456维修费用y(万元)34.455.66.2由数据可知y与x有明显的线性相关关系，可以用一条直线l的方程来反映这种关系(1)将表中的数据画成散点图；(2)如果直线l过散点图中的最左侧点和最右侧点，求出直线l的方程；(3)如果直线l过散点图中的中间点(即点(4,5)，且使维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小，求出直线l的方程图1­8­1【解】(1)如下图所示(2)因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是(2,3)，(6,6.2)，所以直线l的方程是，即4x5y70.(3)由题意可设直线l的方程为yk(x4)5.则维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和S(k)|3(2k5)|4.4(k5)|5.6(k5)|6.2(2k5)|2|k1|4|k0.6|因为函数S(k)的单调递增区间是(0.6，)，单调递减区间是(，0.6)，所以当k0.6时，S(k)取得最小值0.8，此时直线l的方程是3x5y130.6