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王国利,信息科学与技术学院自动化系,中山大学,http:/human-robot.sysu.edu.cn,系统辨识 (System Identification) 第五讲: 辨识的输入信号,辨识的输入信号,白噪声及其产生方法 - 基本概念 随机变量x：样本空间的函数 随机过程x(t)：随机变量关于时间的函数 平稳过程x(t)：随机变量的概率特性与时间无关 Ex(t)=Ex(t+)=x0 Ex(t)x(t+)=Rx() 例如：x(t)=cos(wt+), 是0,2的均匀分布变量 Ex(t)=0; Ex(t)x(t+)=coswt/2,辨识的输入信号(续),白噪声： w(t)是白噪声,如果,Ew(t)=0; Rw(t)=(t),基本性质：,低通白噪声:,Sw()=FRw(t)=, -,Sw()=FRw(t)=, -00,自相关函数:,Rw(t)=F-1Sw()=, -00,辨识的输入信号(续),白噪声序列： w(k)是离散随机序列,如果,Ew(k)=0; Rw(l)=l(t), l=0,±1 ,±2,功率谱：,Sw()=Rw(l)exp(-jl) =2,注意到: Sw()sin(t)为奇函数,Rw(t)=(1/2)Sw()cos(t)d =(20/)sin(0t)/0t,辨识的输入信号(续),- 白噪声的产生 主要方法:均匀分布/正态分布 均匀分布递推算法的一般形式 i+1=f(i, i-1, 1) 乘同余法： xi+1=Axi mod M M=2k, A=2m+3/2m+5, x0为正奇数 i=xi/M 是循环周期为2k-2的伪随机序列。,辨识的输入信号(续),混合同余法： xi+1=(Axi + c) mod M M=2k, A=2n+1, x0为非负整数, c为正整数 i=xi/M 是循环周期为2k的伪随机序列。,辨识的输入信号(续),正态分布随机数产生： i 为0,1均匀分布的的随机序列 =Ei=1/2 2=vari=1/12 定义新的随机变量 x=(i-N)/(N2)1/2 当N充分大时，x N(0,1) p(x)=exp-x2/2/(2)1/2,辨识的输入信号(续),为了生成具有分布N(, 2)的随机数，定义 = + (i-N/2)/(N/12)1/2 显然 ( - )/( 2)1/2 =(i-N)/(N2)1/2 N(0,1),辨识的输入信号(续),M序列(最大长度线性反馈移存器序列) - 概述 一种具有白噪声统计特性的随机数产生方法 由数字电路产生的周期性伪随机序列 实现电路采用反馈移位寄存器结构,辨识的输入信号(续),实例: 二值四级反馈移动寄存器 (c1,c2,c3,c4 )=(1,0,0,1) 初值: (a3,a2,a1,a0)=(1,0,0,0),输出产生最大周期为 Np=24-1=15,辨识的输入信号(续),由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各级的状态将不断变化，通常移位寄存器的最后一级做输出，输出序列为 ar,ar-1,a1,a0, 输出序列是一个周期序列。其特性由移位寄存器的级数、初始状态、反馈逻辑所决定。 反馈逻辑函数或递推方程 ar=c1ar-1c2ar-2 cra0 当初始状态为全零状态时，移位寄存器输出全 0 序列。为了避免这种情况，需设置全 0 排除电路,辨识的输入信号(续),问题：给定级数r, 如何能够获得最长周期序列 Np=2r-1 归结为配置参数(cr,cr-1,c1,c01)的问题 记 a(i)=ar,ar-1,a1,a0T为i次移位的寄存器状态 a(i+1)=Aa(i) 其中 A=cr,cr-1,c1,c0; 1, 0, ,0 ,0; 0, 1, ,0 ,0; 0, 1, ,1 ,0 矩阵A为状态转移矩阵,辨识的输入信号(续),状态矩阵的特征多项式 F(x)= 1+c1x+c2x2 + + crxr (detA) 若一个r次多项式F(x)满足下列条件 (1) F(x)为既约多项式(即不能分解因式的多项式)； 此时Np可以整除2r-1 若为素数则Np=2r-1; (2) F(x)可整除(xp+1), p=2r-1; (3) F(x)除不尽(xq+1), qp； 则称F(x)为本原多项式。,辨识的输入信号(续),结论：给定级数n, 能够获得最长周期序列的充要条件 F(x)是本原多项式。 以r=4为例来说明M序列产生器的构成 用 4 级线性反馈移位寄存器产生的m序列，其周期为 Np=24-1=15 其特征多项式F(x)是 4 次本原多项式，能整除(x15+1)。 先将(x15+1)分解为既约多项式的因式，再寻找F(x)。 x15+1 = (x+1) (x2+x+1) (x4+x+1) (x4+x3+1) (x4+x3+x2+x+1) 四次本原多项式： x4+x+1 和 x4+x3+1,辨识的输入信号(续), 反馈逻辑函数的设计原则 力求m序列产生器的组成尽量简单 使用项数最少的那些本原多项式 以四级移位寄存器为例 本原多项式最少有三项 只需用一个模2加法器 例如, 4 级线性反馈移位寄存器中 互逆的四次本原多项式： x4+x+1 和 x4+x3+1 可以生成两组m序列,辨识的输入信号(续),辨识的输入信号(续), M序列的性质 1) 均衡性 在m序列的一周期中，“1”和“0”的数目基本相等。 1 的个数为 (p+1)/2=2r-1 0 的个数为(p-1)/2=2r-1-1 在4级移位存储器中, p=15 1 的个数为 8 0 的个数为 7,辨识的输入信号(续),2) 游程分布 序列中取值连在一起的元素合称为一个“游程”。 游程中元素的个数称为游程长度。 例如，四级移位寄存器(r=4)的m序列如下： 000 1111 0 1 0 11 00 1 (Np=2r-1=15） 共有8(2r-1=23)个游程： 长度为r-0=4的游程有一个，为全1； 长度为r-1=3的游程有一个； 长度为r-2=2的游程有两个； 长度为r-3-1的游程有4个。,辨识的输入信号(续),一般地，周期为p=2r-1的m序列中 游程总数为2r-1 长度为 1 的游程个数占游程总数的 1/2 长度为 2 的游程个数占游程总数的1/22=1/4 长度为 3 的游程个数占游程总数的 1/8 长度为k的游程个数占游程总数的 1/2k=2-k 长为(r-1)的游程是连 0 游程 长为 r 的游程是连 1 游程 连 1游程与连 0 游程各占一半,辨识的输入信号(续),3) 移位相加特性 一个m序列an与经迟延移位序列an-模2相加 得到的仍是an 的某次迟延移位序列 例如，3级M序列 1 1 1 0 0 1 0 其1次延迟序列 0 1 1 1 0 0 1 则模加的序列 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 为延迟5次的结果,辨识的输入信号(续),3) 自相关特性 在系统辨识中使用m序列，用+1代表 0，用-1代表 1 m序列an与经迟延移位序列an-分别表示为 an=a1,a2,ap an-=a1 +,a2 +,ap,a1,a m序列an自相关定义为 R()=(a1a1+a2a2+ +ap-ap +apa)/Np =(0的数目1的数目)/Np,辨识的输入信号(续),根据移位相加特性，anan-仍是m序列中的元素 m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差 又由m序列的均衡性可知，0 比 1 的个数少一个 R(0)= 1； R()=-1 /Np,对比白噪声,辨识的输入信号(续),连续型随机信号 m序列可以自然产生连续伪随机信号 将每个离散点的状态保持到下个离散点 周期时间为：Tp=Npt, t为时间间隔 Uk u(t),辨识的输入信号(续),自相关函数： Ruu ()=Eu(t)u(t+) 当=k t, Ruu () 记为 Ruu (k), 在=k t +l处 Ruu (k t +l) = Ruu (k)+ lRuu (k+1)- Ruu (k)/ t 功率谱密度 Suu ()=F-1 Ruu () =()/Np2 +(Np+1)/ Np2 sin(t/2)/ (t/2) i(-i0) 其中0 =2/Tp基波频率。,辨识的输入信号(续),
