高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教案3北师大版选修2_220170927368.wps

导数的实际应用（三） 一、教学目标： 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用； 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问 题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题 （二）、新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： 1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问 题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并 确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关 系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一 个有力的工具 利用导数解决优化问题的基本思路： 用函数表示的数学问题 优化问题 建立数学模型 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 （三）、典例分析 - 1 - 例 1 1、磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和 扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上 的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1，这个基本单元通常 被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ，每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。 为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域 （1）是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的 磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 m ，且最外面的磁道不存 R r 储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量， m 2r 最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量 n f r R r ( ) r(R r) 2r 2 × m n mn （1）它是一个关于 r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 r 越小，磁盘的存储量 越大 （2）为求 f (r) 的最大值，计算 f (r) 0 f (r) 2 R 2r mn 令 f (r) 0，解得 R r 当 2 R r 时， f (r) 0；当 2 R r 时， f (r) 0 2 因此 R r 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 2 mn R 2 4 例 2 2、汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L）与汽车的速度 v （单位：km/h）之间有一定的关系， 汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2“） 汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果 用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么G w ，其中， w 表示汽油消耗量（单位：L）， s s - 2 - 表示汽油行驶的路程（单位：km）这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的 最小值的问题 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平 均消耗率 g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度 v （单位：km/h） 之间有如图所示的函数关系 g f v 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽油平 均消耗率 g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度 v （单位：km/h） 之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题 解：因为 G w w t g s s v t 这样，问题就转化为求 g v 的最小值从图象上看， g v 表示经过原点与曲线上点的直线的斜 率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为 90km / h 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时 的车速约为 90km / h 从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即 f 90，约为 L 例 3 3、在经济学中，生产 x 单位产品的成本称为成本函数同，记为 C(x)，出售 x 单位产品的收 益称为收益函数，记为 R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为 P(x)。 （1）、如果 C(x)10 6 x3 0.003x2 5x 1000 ，那么生产多少单位产品时，边际C(x) 最 低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果 C(x)=50x10000，产品的单价 P1000.01x，那么怎样定价，可使利润最大？ 变式：已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函 1 数关系式为 p 25 q 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？ 8 分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润 解：收入 R q p q 25 1 q 25q 1 q2 8 8 ， - 3 - 利润 25 1 2 (100 4 ) 1 2 21 100 L R C q q q q q 8 8 (0 q 100) 1 L q 4 21 令 L 0，即 1 21 0 q ，求得唯一的极值点 q 84 4 答：产量为 84时，利润 L 最大 （四）、课堂练习：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的 同侧，乙厂位于离河岸 40 km的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边 合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解析根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km,则BD=40,AC=50x, BC= BD2 CD2 x2 402 又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y=30(5ax)+5a x2 402 (0x50) y=3a+ 5ax x 2 40 2 ,令 y=0,解得 x=30 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的 意义， 函数在 x=30(km)处取得最小值，此时 AC=50x=20(km)供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省 （五）回顾总结：1利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 用函数表示的数学问题 优化问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究 相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工 具。 （六）布置作业：1 1、一书店预计一年内要销售某种书 15 万册，欲分几次订货，如果每次订 货要付手续费 30元，每千册书存放一年要耗库费 40 元，并假设该书均匀投放市场，问此书店 分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？ - 4 - 【解】假设每次进书 x 千册，手续费与库存费之和为 y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库 x 150 x 4500 存量为批量之半，即 ，故有 y ×30 ×40，y 20， 2 x 2 x 2 9000 令 y0，得 x 15，且 y ，f(15)0，所以当 x 15 时，y 取得极小值，且极 x 3 150 小值唯一，故 当 x 15 时，y 取得最小值，此时进货次数为 10（次） 15 即该书店分 10次进货，每次进 15000 册书，所付手续费与库存费之和最少 2 2、有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸 40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距 50 千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500元和 700 元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？ 【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米，总费用为 y 元， 则 CD x2 402 y 500 （ 50 x ） 700 x2 1600 25000 500 x 700 x2 1600 ， y500700 · 1 2 1 (x 21600) 2 · 2 x500 700x x2 1600 ，令 y0，解得 x 50 3 650 6 答：水厂距甲距离为 50 千米时，总费用最省 3 【点评】当要求的最大（小）值的变量 y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个 为 x，然后再根据条件 x 来表示其他变量，并写出 y 的函数表达式 f（x） 五、教后反思： - 5 -