高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理教案北师大版必修4201.wps

2.3.22.3.2 平面向量基本定理 整体设计 教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面 内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起, 那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也 就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定 理的一个原因. 三维目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际 问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 重点难点 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路1.1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解 的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到 向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力 G G,可分 解为使物体沿斜面下滑的力 F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力 F F2.我们知道飞机在起飞时 若沿仰角 的方向起飞的速度为 v v,可分解为沿水平方向的速度 v vcos 和沿竖直方向的速度 v vsin.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在 两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果 e e1、e e2是同一平面内 的两个不共线的向量,a a.是这一平面内的任一向量,那么 a a 与 e e1、e e2之间有什么关系呢？在不共 线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量 正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底, 是否会给我们带来更方便的研究呢？ 思 路2.2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一 起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表 示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑 板上给出图像进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任 意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？ 推进新课 新知探究 提出问题 给定平面内任意两个不共线的非零向量 e e1、e e2,请你作出向量 3e e1+2e e2、e e1-2e e2.平面内的任一 向量是否都可以用形如 1e e1+2e e2的向量表示呢? 图 1 1 如图 1,设 e e1、e e2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作 图研究 a a 与 e e1、e e2之间的关系. 活动:如图 1,在平面内任取一点 O,作 OA =e e1,OB =e e2,OC =a a过点 C 作平行于直线 OB 的直线, 与直线 OA.交于点 M;过点 C 作平行于直线 OA.的直线,与直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性 质 可 知 , 存 在 实 数 1 、 2, 使 得 OM =1e e1,ON =2e e2. 由 于 OC =OM +ON , 所 以 a a=1e e1+2e e2.也就是说,任一向量 a a.都可以表示成 1e e1+2e e2的形式. 由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e e1、e e2表示 出来.当 e e1、e e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的 方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果 e e1、e e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a a,有且只有 一对实数 1、2,使 a a.=1e e1+2e e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量 e e1、e e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a a.在给出基底 e e1、e e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 讨论结果:可以. a a=1e e1+2e e2. 提出问题 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？ 活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样 的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对 回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向 量的夹角,我们规定: 图 2 已知两个非零向量 a a 和 b b(如图 2),作 OA =a a,OB =b b,则AOB=(0°180°)叫作向 量 a a.与 b b 的夹角. 显然,当 =0°时,a a.与 b b 同向;当 =180°时,a a.与 b b 反向.因此,两非零向量的夹角在区 间0°,180°内. 如果 a a 与 b b 的夹角是 90°,我们说 a a.与 b b 垂直,记作 a a.b b. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量 a a.,均可以分解为不共线的两个向量 1a a1 和 2a a2,使 a a=1a a1+2a a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫作把向量正交分解.如上,重力 G G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量 分解中常见的一种情形. 2 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 讨论结果: 存在夹角且两个非零向量的夹角在区间0°,180°内;向量与直线的夹角不一 样. 可以. 应用示例 思路 1 1 例 1 如图 3, ABCD 中, AB =a a.,AD =b b,H、M 是 AD、DC 之中点,F使 BF= 1 3 BC,以 a a.,b b 为基底 分解向量 AM 与 HF 图 3 活动: :教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生 到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给 予提示和鼓励. 解: :由 H、M、F 所在位置,有 AM = AD + DM = AD + 1 2 DC = AD + 1 2 AB =b b+ 1 2 a a HF =AF - AH = AB +BF - AH = AB + 1 BC - 3 1 2 AD = AB + 1 3 AD - 1 2 AD =a a- 1 6 b b 点评: :以 a a.、b b 为基底分解向量 AM 与 HF ,实为用 a a.与 b b 表示向量 AM 与 HF . 变式训练 已知向量 e e1、e e2(如图 4),求作向量-2.5e e1+3e e2. 图 4 作法: :(1)如图,任取一点 O,作 OA =-2.5e e1,OB =3e e2. (2)作 OACB. 故 OC 就是求作的向量. 例 2 如图 5,质量为 10kg 的物体 a a.沿倾角 =30°的斜面匀速下滑,求物体受到的滑动摩擦力 和支持力.(g=10m/s2) 3 图 5 解: :物体受到三个力:重力 AG ,斜面支持力 AN ,滑动摩擦力 AM .把重力 AG 分解为平行于 斜面的分力 AF 和垂直于斜面的分力 AE .因为物体做匀速运动,所以 AN =-AE , AM =-AF . 因为|AG |=10(kg)×10(m/s2)=100(N), | AF |=|AG |·sin30°=100× 1 2 =50(N)， | AE |=|AG |·cos30°=100× 3 2 =50 3 (N), 所以| AM |=|AF |=50N,|AN |=|AE |=50 3 N. 答：物体所受滑动摩擦力大小为 50N,方向与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为 50 3 N, 方向与斜面垂直向上. 例 3 下面三种说法: 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;一个平面 内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底; 零向量不可以作为基底中的向量,其 中正确的说法是( ) A B. C. D. 活动: :这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向 量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内 的两个不共线的向量都可以作为基底. 解析: :平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所 有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所 述, 正确. 答案:B 点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解. 变式训练 (2007 上海春季高考,13) 如图 6,平面内的两条相交直线 OP 和 1 OP 将该平面分割成四个部 2 分 、 、(不包括边界).若 OP =a a. OP +b bOP ,且点 P落在第部分,则实数 a a.、b b 满 1 2 足.( ) 图 6 4 A.a.0,b0 B.a.0,b0 C.a.0,b0 D.a.0,b 0 解析: :点 P落在第部分, OP 在直线 OP 上的分向量与OP 同向,在直线OP 上的分向量与OP 反向.a.0,b0. 1 1 2 2 答案:B 思路 2 2 例 1 如图 7,M是A.BC 内一点,且满足条件 AM +2BM +3CM =0 0,延长 CM 交 A.B于 N,令 CM =a a.,试用 a a.表示CN . 图 7 活动: :平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平 面向量基本定理,可得到下面两个推论: 推论 1:e e1与 e e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数 1、2,使得 1e e1+2e e2=0 0,则 1=2=0. 推论 2:e e1 与 e e2 是同一平面内的两个不共线向量, 若存在实数 a.1,a.2,b1,b2, 使得 a 1 a=a1e e1+a2e e2=b1e e1+b2e e2,则 a 2 b , 1 b . 2 解: : AM =AN +NM , BM =BN +NM , 由 AM +2BM +3CM =0 0,得(AN +NM )+2(BN +NM )+3CM =0 0. AN +3NM +2BN +3CM =0 0.又A.、N、B 三点共线,C、M、N 三点共线, 由平行向量基本定理,设 AN = BN ,CM = NM , BN +3NM +2BN +3 NM =0 0.(+2) BN +(3+3) NM =0 0. 由于 BN 和 NM 不共线, 2 0, . 3 3 0. 2, 1. CM =-NM =MN.CN =CM +MN=2CM =2a a. 点评: :这里选取 BN ,NM 作为基底,运用化归思想,把问题归结为 1e e1+2e e2=0 0 的形式来解决. 变式训练 设 e e1与 e e2是两个不共线向量,a a.=3e e1+4e e2,b b=-2e e1+5e e2,若实数 、 满足 a a+b b=5e e1-e e2,求 、 的值. 解: :由题设 a a+b b=(3e e1+4e e2)+(-2e e1+5e e2)=(3-2)e e1+(4+5)e e2. 5 又 a a+b b=5e e1-e e2. 由平面向量基本定理,知 3 4 2 5 5, 1. 解之,得 =1,=-1. 例 2 如图 8,A.BC中,A.D为A.BC边上的中线且 A.E=2EC,求 AG GD 及 BG GE 的值. 图 8 活动: :教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形 中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解: :设 AG GD =, BG GE =. BD = DC ,即 AD - AB = AC - AD , AD = 1 2 ( AB + AC ). 又 AG =GD =( AD - AG ), AG = 1 AD = 2(1 ) AB + 2(1 ) AC . 又 BG =GE ,即 AG - AB =( AE - AG ), (1+) AG = AB + AE , AG = 1 1 AB + 1 AE . 又 AE = 2 3 1 AC , AG = 1 AB + 2 3(1 ) AC . 比较, AB 、 AC 不共线, 2(1 2( 1 ) ) 1 1 2u 3(1 , ) 4, AG BG 3 解之,得 , . 4 3 4 3 . GD GE 2 2 点评: :本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得 到一实数方程组,从而进一步求得结果. 变式训练 过OA.B 的重心 G 的直线与边 OA.、OB 分别交于 P、Q,设 OP =hOA ,OQ =kOB ,试 证: 1 1 =3. h k 证明: :设 OA =a a.,OB =b b,OG 交 A.B 于 D,则 OD = 1 2 (OA +OB )= 1 2 (a a.+b b)(图略). 6 OG = 2 3OD = 1 3(a a+b b),QG = OG-OQ = 1 3(a a.+b b)- kb b= 1 3 1 3k a a+ 3 b bQP =OP -OQ =ha a- kb.b. P、G、Q 三点共线,QG =QP . 1 3 1 3k a a+ 3 1 h, 3 b b=ha a.-kb b 1 3k 3 k. 两式相除,得 1 h k+h=3hk, 1 3k k 1 =3. 1 h k 知能训练 已知 G 为A.BC 的重心,设 AB =a a.,AC =b b,试用 a a.、b b 表示向量 AG . 图 9 解答: :如图 9,AG = 2 3 AD , 而 AD = AB + BD = AB + 1 2 BC =a a+ 1 2 (b b-a a)= 1 2 a a+ 1 2 b b, AG = 2 3 A D = 2 3 ( 1 2 a a + 1 2 b b ) = 1 3 a a . + b b . 点评: :利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向 量的正交分解,平面向量的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几 何作图. 作业 课本习题 235、6. 设计感想 1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理平面向量基本定理.教科书首先通 过“”思考 :让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向 量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如 1e e1+2e e2的向量表示. 2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理 “”解 化归 思想对解题的帮助,“”也要让学生善于用 数形结合 的思想来解决这部分的题. 3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习 为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数 学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而 简捷. 备课资料 7 一、三角形三条中线共点的证明 如图 13所示,已知在A.BC 中,D、E、L 分别是 BC、CA.、A.B的中点,设中线 A.D、BE 相交于 点 P. 图 13 求证:A.D、BE、CL 三线共点. 分析: :欲证三条中线共点,只需证明 C、P、L 三点共线. 证明: :设 AC =a a.,AB =b b,则 AL = 1 2 b b,CL = AL - AC =-a a+ 1 2 b b. 设 AP =mAD , 则AC +CP =m(AC +CD), CP =(-1+m)AC +mCD=(-1+m)a a.+m 1 2 (b b-a a)=(-1+ 1 2 m)a a+ 1 2 mb b. 又设 EP =nEB ,则CP -CE =n(EC +CB ), CP =(1-n)CE +nCB =- 1 2 (1-n)a a+n(b b-a a.)=(- 1 2 - 1 2 n)a a+nb b. 由，得 1 1 m 2 1 m n. 2 1 2 1 2 n, 解之,得 2 m , 3 1 n . 3 CP =- 2 3 a a + 1 3 b b = 2 3 ( - a a . + 1 2 b b) = 2 3 C L C、P、L 三点共线.A.D、BE、CL三线共点. 二、备用习题 1.如图 14所示,已知 AP = 4 3 AB , AQ = 1 3 AB ,用 OA 、OB表示OP ,则 OP 等于( ) 图 14 A1 OA + 3 4 OB B.- 3 1 OA + 3 4 3OB C.- 1 OA - 3 4 3 OB D. 1 3 OA - 4 3O B 2.已知 e e1,e e2是两非零向量,且|e e1|=m,|e e2|=n,若 c c=1e e1+2e e2(1,2R R),则|c c|的最大值为 ( ) A1m+2n B.1n+2m C.|1|m+|2|n D.|1|n+|2|m 3.已知 G1、G2分别为A.1B1C1与A.2B2C2的重心,且 A1 A2 =e e1, B1B2 =e e2,C1C2 =e e3,则 G1G2 等 8 于( ) A 1 2 (e e1+e e2+e e3) B. 1 3 (e e1+e e2+e e3) C. 2 3 (e e1+e e2+e e3) D.- 1 3 (e e1+e e2+e e3) 4.O 是 平 面 上 一 定 点 ,A. 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 OP =OA +( AB AC ),0,+),则 P 的轨迹一定通过A.BC的( ) | AB | | AC | A外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5.已知向量 a a.、b b 且 AB =a a.+2b b, BC =-5a a.+6b b,CD =7a a.-2b b,则一定共线的三点是( ) AA.、B、D B.A.、B、C C.C、B、D D.A.、C、D 6.(2007 浙江高考,15)如图 15,平面内有三个向量OA、OB、 OC ,其中与OA与OB的夹角为 120°,OA与 OC 的 夹 角 为 30°, 且 |OA|=|OB|=1,|OC |=23, 若 OC =OA+OB (,R R),则 + 的值为_. 图 15 参考答案:1.B 2.C 3.B 4.B 5.A. 6.6 9