初等数论-程耀.ppt
XDU_ACM-初等数论,程耀,素数和合数,算术基本定理：任意正整数n可以写成n=2a1*3a2*5a3*,其中a1,a2,a3等为非负整数 素数的判定： 判定函数 筛法求素数 miller_rabin素性判定,素数的判定,bool Is_prime( int n) int t = (int )sqrt (n); for ( int i =2; i = t ; i +） if(n%i =0) return false; return true; ,筛法求素数,思考：如果一个数是合数，那么它的素因子 都比它小？ 这样说来：如果我们的当前数是 a ,那么所有 a的倍数（当然是2倍以上啦）都不会是素数 ，可以这样看吧？ 于是，我们可以一种新的素数判定方法。,筛法求素数,方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍数。 举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 筛去3的倍数，剩下5 7 11 13 17 19 25 29 。 注意：开头的数一定是素数？,筛法求素数,bool prime maxn ;/时间复杂度O(n)? void init ( ) memset(prime, 0 ,sizeof(prime); for( int i=4;i maxn; i +=2) primei=1; for( int i=3; i maxn; i+=2) if( ! prime i ) for ( int j = i * i ; j maxn;j+=i) prime j =1; ,miller_rabin素性判定,miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定型的。但是，只要运行次数足够多，一般出错的概率是非常小的，一般10次就好了！ 算法复杂度是 O(logn)3) 算法的正确性是基于费马小定理。 费马小定理：对于素数p和任意整数a，有 a(p-1)=1(mod p)。反过来，满足a(p-1)= 1(mod p),p也几乎一定是素数。,miller_rabin算法分析,bool miller_rabin(LL n) if(n2) return false; if(n=2) return true; if(!(n ,witness函数,witness函数用来搜集n是合数的证据。 bool witness(LL a,LL n) LL m=n-1; int t=0; LL y; while(!(m ,快速幂取模,题目：求出mn ( mod p) 的值，其中 m=10000, n=100000000。 分析：如果直接边乘然后边取模，直接导致 TLE！我们需要一个更优的算法。 我们可以发现：这其中包含着大量的重复的子问 题，利用分治的思想可以大大减小运算量。 举个例子：27 = 24 * 22 * 21,而2t到2(2t)只需要累乘就好了。,快速幂取模算法分析,把指数看成一个二进制数，从低位到高位依次判断是否为1。如果是1，就要乘以2t,否则，就不需要乘上2t. 其中，ak等系数只能取0，或者1。如果取1的话，那么要乘以对应的a(2k). 算法复杂度O(log n),快速幂取模代码分析,int quick_mod ( int a , int n ) int t =a , ret =1; while( n ) if( n PS：与快速幂取模类似的还有矩阵快乘，这里不展开,最大公约数（gcd),普通算法：求出c=min( a , b),如果找到c|a ,欧几里得算法的证明,证明：令m是a , b 的公约数，而a可以表示为 a = n*b + r,其中r=0 && rb 那么r = a - n*b,可以知道r 能够被 m 整除。 同理：如果m是r 和 b 的公约数。那么， a=n*b +r,所以，m也能够整除a. 由上面的两条可知：a,b和b,r具有相同的公约数，故欧几里得算法成立。,扩展欧几里得算法,应用：常用来求解形如a*x+b*y=gcd(a,b)的二元一次不定方程 代码如下： void extended_gcd( int a, int b, int ,扩展欧几里得算法分析,证明：令d = gcd( a , b); a*x + b*y=d . b*x1+(a%b)*y1=d 那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。 把两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来 替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;,扩展欧几里得算法的注意事项,形如a*x + b*y = c的方程,如果gcd(a,b)能够整除c,那么此方程有解，否则无解。并且它的特解形式为x=c/gcd(a,b)*x0 , y=c/gcd(a,b)*y0 (其中 x0,y0是用扩展欧几里得算法求出的解） 通解的形式：x=x0 - b/d*t y= y0 + a/d*t 其中：t是整数。,a关于模n的乘法逆元,什么是乘法逆元？ 如果a*b=1(mod n),那么b就是a 关于模n的乘法逆元，此时，也可以称作a与b互为乘法逆元。,乘法逆元的应用,题目：输出C(n,m)%p,其中p是一个素数。n10000. 思考：如果使用边除边模的方法，也会有出现大数，导致精度溢出。 (a/b)%p != (a%p)/(b%p)%p; 解决方案：除以一个数并取模，就相当于是乘以它的逆元然后再取模。,如何求解乘法逆元,上式等价a*x+b*n=1的解，所以可以应用扩展欧几里得算法来求出x的值。 为了保证x是正整数，通常需要加上： x=(x%n+n)%n； int inv(int a , int n) int x,y; extended_gcd(a,n,x,y); x=(x%n+n)%n; return x; ,扩展阅读,AekdyCoin的博客：http:/hi.baidu.com/new/aekdycoin AC神牛被称为数学帝，里面收录了好多数论方面的知识，其中最经典的就是各种大数取模. 笨小孩的博客： http:/hi.baidu.com/sunhaowenprime/item/d7faf6ea35b6dee4fb42ba2a 这个博客收录了各种数论题的分类，有志于做数论专题的同学可以参考。,最后一页,qinz大牛的博客：http:/qinz.maybe.im/ 最值得一看的就是qinz大牛的ACM装逼录， 我已经看了不知道多少遍了，但是，总是感觉百看不厌。强烈推荐大家看看！ 最后的话：可能每个acmer都会怀揣着各自不同的目标。但是，当你沉浸在其中的时候，你发现自己真的爱上了它。算法这个东西真的很奇妙，真的会让你受益一生。,大家多多A题! 天天进步!,thanck you for listening,
