随机信号ch41.ppt
1,回顾上一讲的主要内容,估计的质量评价 无偏性：无偏估计、有偏估计，渐进无偏估计 有效性：估计的方差，估计的均方误差 一致性：一致估计,随机序列的数字特征估计 均值的估计 方差的估计 自相关函数的估计 互相关函数的估计,2,第四讲,主要内容： 随机过程的功率谱密度 随机序列的功率谱 互功率谱 典型的随机过程 功率谱估计,3,随机过程的功率谱密度 功率谱密度的概念 功率谱的性质 功率谱的计算举例,本节主要内容,4,确定信号的时域和频域,5,随机信号能否进行傅立叶变换？ 随机信号是否存在某种谱特性？,思考：,6,随机信号的时域和频域,7,一、 功率谱密度的概念,频谱：,能谱密度：,回顾确定信号频谱的概念,总能量,能量型信号,8,随机过程的样本函数及其截尾函数,随机信号的样本函数能量是无限的,但功率往往是有限的.,平均功率,功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号,9,随机变量,随机变量,推导：,10,定义随机过程的功率谱密度为：,对平稳和非平稳都适应,11,物理谱定义：,功率谱密度是从频域角度描述随机过程统计特性的重要数字特征,表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值.,缺陷:不含相位信息,12,二、平稳随机过程的功率谱密度,维纳辛钦定理,条件:,平均功率有限,要求均值为零,若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数； 若含有周期分量，则在相应的频率处有函数；,1、定义：,13,14,举例:已知谱密度为 ，求相关函数。,由公式：,15,2、 功率谱密度性质,相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平； 相关性越强，功率谱越陡窄。,对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负的偶函数；,随机过程中总的平均功率等于功率谱密度在整个频率轴 上的积分。,原因？,16,三、 平稳随机序列的功率谱密度,1、随机序列的功率谱密度,对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度,17,Z变换形式：,收敛域,18,2、平稳随机序列功率谱的性质,不论X(n)是实序列还是复序列， 是实函数。 如果X(n)是实序列， 是偶函数。 是非负的，且为 的周期函数，周期为 。,19,例、设平稳时间序列X(n)的自相关函数为 求X(n)的功率谱密度 和 。,解、,20,21,四、平稳随机过程的采样定理,设s(t)为确定性连续限带实信号，频带范围（-c, c ）,确定性信号的采样定理（Shannon采样定理）：,其中T为采样周期,小于等于 。,22,设X(t)为零均值平稳随机过程，功率谱密度满足：,则可将X(t)展开为：,其中T为采样周期,小于等于 。,平稳随机过程采样定理,平稳随机过程的采样定理：,23,功率谱密度采样定理,24,五、 典型的随机过程,1、白噪声过程,白噪声的功率谱密度和自相关函数,平稳白噪声功率谱密度：,25,白噪声样本函数波形,白噪声相关系数：,26,2、正态随机过程,如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布， 则称该随机过程为正态随机过程。,一维分布,特征函数,27,n维分布,特征函数,28,设X(t)是正态随机过程，若有 则X(t)称为广义平稳正态过程。,平稳正态过程,29,性质：,对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价； 不相关与独立等价；,一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。,若平稳正态过程具有均匀的功率频谱密度，则称此 过程为平稳正态白噪声。满足,30,例2、设随机过程 ， 其中A、B 是两个独立的正态随机变量，且有 ， ， 为常数，求此过程的一维概率密度。,解、,显然有：,可知正态过程X(t)是平稳的，其一维概率密度：,31,例3、一零均值高斯过程X(t)，其协方差函数为： 求在时刻t1=0、t2=1、t3=2抽样的三维概率密度。,解、,协方差矩阵为：,代入公式，并令m0，N=3即得三维概率密度。,32,六、 随机过程的功率谱估计,由单个采样函数给出的平稳随机信号的功率谱密度估计称为谱分析。估计是建立在时间平均的方法上，并假定信号为遍历性的。,33,相关法谱估计是以相关函数为媒介来计算功率谱，又称间接法。 其理论基础是维纳辛钦定理。简称BT法。 步骤： 1、由获得的N点数据序列估计自相关函数序列； 2、由自相关函数序列的付立叶变换求功率谱。,1、经典谱估计相关法谱估计：,功率谱估计分为非参数化方法和参数化方法，经典的方法是 非参数化方法，参数化方法属于现代谱估计的研究内容。,34,周期图法是直接将信号的采样数据x(n)进行付立叶变换 求取功率谱密度估计。 步骤： 1、由获得的N点数据序列直接求付立叶变换，得到其频谱； 2、取频谱幅度的平方，并除以N，作为其真实功率谱。,周期图法：,35,周期图法功率谱估计,N=256,N=1024,36,缺陷： 周期图法得到的功率谱估计方差不随着频谱样本长度N的增加 而趋于零。 分辨率问题：将实际频谱展宽，导致功率谱估计分辨率下降； 泄漏问题：强主瓣与矩形窗函数副瓣的卷积会模糊对实际频谱 弱副瓣的估计。,改进： 平均周期图法：方差减小K倍，主瓣增大K倍； 窗函数法：减小泄漏，降低旁瓣。,37,分段周期图法功率谱估计,N=1024,no overlap,half overlap,38,加汉宁窗分段周期图法功率谱估计,N=1024,no overlap,half overlap,39,最大熵法与加窗改进周期图法功率谱估计,N=1024,最大熵法,加窗平均 周期图法,40,假定所研究的随机过程 是由一白噪声序列 激励一因果稳定的可逆线性系统 的输出。 由观测获得的数据记录 估计 的参数。 由 的参数估计 的功率谱。,2、现代谱估计参数模型法谱估计：,主要问题,确定AR模型的阶次p 求解p阶AR模型的p+1个参数,
