2018版高中数学第三章概率章末分层突破学案新人教B版必修320170718287.wps

第三章 概率 自我校对 P(A)P(B) P(A)P(B)1 A包含的基本事件的个数/基本事件的总数 随机事件的概率 1.有关事件的概念 (1)必然事件：在条件 S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S的必然事件，简称必 然事件. (2)不可能事件：在条件 S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S的不可能事件， 1 简称不可能事件. (3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S的确定事件，简称确定事件. (4)随机事件：在条件 S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S的随机事件， 简称随机事件. (5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母 A，B，C，表示. 2.对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验. (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 A的概率. (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小. (5)必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，故 0P(A)1. 对一批 U 盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数 a 50 100 200 300 400 500 次品件数 b 3 4 5 5 8 9 b 次品频率 a (1)计算表中次品的频率； (2)从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少？ (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售 2 000 个 U 盘，至少需进货多少个 U 盘？ 【精彩点拨】 结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率. 【规范解答】 (1)表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04,0.025, 0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数 a越来越大时，出现次品的频率在 0.02 附近摆动，所以从这批 U 盘中任抽 一个是次品的概率约是 0.02. (3)设需要进货 x个 U 盘，为保证其中有 2 000 个正品 U 盘，则 x(10.02)2 000，因为 x是正整数， 所以 x2 041，即至少需进货 2 041 个 U 盘. 再练一题 1.某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 (1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射击了 300 次，则击中靶心的次数大约是多少？ (3)假如该射击运动员射击了 300 次，前 270 次都击中靶心，那么后 30 次一定都击不中靶 心吗？ 2 (4)假如该射击运动员射击了 10 次，前 9 次中有 8 次击中靶心，那么第 10 次一定击中靶 心吗？ 【解】 (1)由题意，击中靶心的频率分别为 0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次 数越来越大时，击中靶心的频率在 0.9附近摆动，故概率约为 0.9. (2)击中靶心的次数大约为 300×0.9270(次). (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后 30 次中，每次击 中靶心的概率仍是 0.9，所以不一定击中靶心. (4)不一定. 互斥事件与对立事件 1.对互斥事件与对立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外， 还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 对立事件是互斥事件的特殊情况. (2)利用集合的观点来看，如果事件 AB，则两事件是互斥的，此时 AB的概率就可 用加法公式来求，即为 P(AB)P(A)P(B)；如果事件 AB，则可考虑利用古典概型的 定义来解决，不能直接利用概率加法公式. (3)利用集合的观点来看，如果事件 AB，ABU，则两事件是对立的，此时 AB 就是必然事件，可由 P(AB)P(A)P(B)1 来求解 P(A)或 P(B). 2.互斥事件概率的求法 (1)若 A1，A2，An两两互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). (2)利用这一公式求概率的步骤：要确定这些事件彼此互斥；这些事件中有一个发生； 先求出这些事件分别发生的概率，再求和.值得注意的是：、两点是公式的使用条件， 不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的. 3.对立事件概率的求法 P()P(AA)P(A)P(A)1，由公式可得 P(A)1P(A)(这里A是 A的对立事件， 为必然事件). 4.互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较 为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同的题目.其中，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【精彩点拨】 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式. 【规范解答】 把 3 个选择题记为 x1，x2，x3,2 个判断题记为 p1，p2. 3 总的事件数为 20. “”甲抽到选择题，乙抽到判断题 的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)， (x3，p1)，(x3，p2)，共 6 种； “”甲抽到判断题，乙抽到选择题 的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)， (p2，x2)，(p2，x3)，共 6 种； “”甲、乙都抽到选择题 的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)， (x3，x2)，共 6 种； “”甲、乙都抽到判断题 的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种. 6 3 (1)“”甲抽到选择题，乙抽到判断题 的概率为 ， 20 10 6 3 “”甲抽到判断题，乙抽到选择题 的概率为 ， 20 10 3 3 3 “”故 甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题 的概率为 . 10 10 5 2 1 (2)“”甲、乙两人都抽到判断题 的概率为 “，故 甲、乙两人至少有一人抽到选择 20 10 1 9 ”题 的概率为 1 . 10 10 再练一题 2.某服务电话，打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1；响第 2 声时被接的概率是 0.2； 响第 3 声时被接的概率是 0.3；响第 4 声时被接的概率是 0.35. (1)打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少？ 【解】 (1)设事件“电话响第 k声时被接”为 Ak(kN N)，那么事件 Ak彼此互斥，设“打 进的电话在响5 声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)P(A1A2A3A4) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.10.20.30.350.95. (2)“事件 打进的电话响 4 声而不被接”是事件 A“打进的电话在响 5 声之前被接”的对立 事件，记为A.根据对立事件的概率公式，得 P(A)1P(A)10.950.05. 古典概型与几何概型 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出 现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在 m 应用公式 P(A) 时，关键是正确理解基本事件与事件 A的关系，求出 n，m.但列举时必须按 n 某一顺序做到不重复、不遗漏. 几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非 常重要的位置.我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的 4 m 无限性 和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A) 求解，而 n 需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想. 甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机 到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率. 【精彩点拨】 甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是 6 小时，当两船到达泊位的时间差不超 过 6 小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待. 【规范解答】 设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为 x、y. 则Error!作出如图所示的区域. 本题中，区域 D的面积 S1242，区域 d的面积 S2242182. d的面积 242182 7 P . D的面积 242 16 7 即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为 . 16 再练一题 3.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba的概 率是( ) 4 3 A. B. 5 5 2 1 C. D. 5 5 【解析】 当 b1 时，没有满足条件的 a值； 当 b2 时，a1； 当 b3 时，a可以是 1，可以是 2，共 3 种情况. 而从1,2,3,4,5中随机取一个数 a，再从1,2,3中随机取一个数 b，共有 3×515种不 同取法， 3 1 ba的概率为 . 15 5 【答案】 D 概率与统计的综合问题 统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与 概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在 5 解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息， 排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的. 随机抽取某中学甲、乙两班各 10名同学，测量他们的身高(单 位：cm)，获得身高 数据的茎叶图如图 31 所示. 图 31 (1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm的同学，求身高为 176 cm 的 同学被抽中的概率. 【导学号：00732104】 【精彩点拨】 (1)“”根据 叶 上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求 解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解. 【规范解答】 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 cm179 cm 之间，而乙班身高集 中于 170 cm179 cm 之间.因此乙班平均身高高于甲班； 158162163168168170171179179182 (2)x 10 170(cm). 1 甲班的样本方差 s2 (158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168 10 170)2 (170 170)2 (171 170)2 (179 170)2 (179 170)2 (182 170)2 57.2(cm2). (3)设“身高为 176 cm的同学被抽中”为事件 A，从乙班 10名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)， (179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共 10个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事 件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)， 4 2 P(A) . 10 5 再练一题 4.某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 “习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族”“，否则称为 非低 6 碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25,30) 120 0.6 第二组 30,35) 195 p 第三组 35,40) 100 0.5 第四组 40,45) a 0.4 第五组 45,50) 30 0.3 第六组 50,55 15 0.3 图 32 (1)补全频率分布直方图并求 n，a，p的值； (2)从年龄段在40,50)“”的 低碳族 中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动， 其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率. 【解】 (1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)×50.3，所以高为 0.3 0.06.频率分布直方图如下： 5 120 第一组的人数为 200，频率为 0.04×50.2， 0.6 200 所以 n 1 000. 0.2 195 由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 000×0.3300，所以 p 300 0.65. 第四组的频率为 0.03×50.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15150，所以 a 150×0.460. (2)因为40,45)“岁年龄段的 低碳族”与45,50)“岁年龄段的 低碳族”的比值为 6030 21， 7 所以采用分层抽样法抽取 6 人，40,45)岁中有 4 人，45,50)岁中有 2 人. 设40,45)岁中的 4 人为 a，b，c，d，45,50)岁中的 2 人为 m，n，则选取 2 人作为领队 的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)， (c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共 15种；其中恰有 1 人年龄在40,45) 岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共 8 种. 8 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率为 . 15 数形结合思想 数形结合思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用.在古典概型中，基本事 件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数.在几何概型中，把基本事件转化到 与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比. 设点(p，q)在|p|3，|q|3 中按均匀分布出现，试求方程 x22pxq210 的两根都是实数的概率. 【精彩点拨】 试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域 为圆的外部. 【规范解答】 基本事件总体的区域 D的度量为正方形面积， 即 D的度量为 S正方形6236， 由方程 x22pxq210 的两根都是实数， 得 (2p)24(q21)0， p2q21. 当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时， 方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域 d的度量为 S正方形S圆36， 36 原方程的两根都是实数的概率为 P . 36 再练一题 5.三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从 A发球算起，经 4 次 传球又回到 A手中的概率是多少？ 【解】 记三人为 A、B、C，则 4 次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图： 8 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为 16，而又回到 A 手中的事件个数为 6 个， 6 3 根据古典概型概率公式得 P . 16 8 1.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 5 10 20 【解析】 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1,2,3)， (1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)， 1 其中勾 股数只有(3,4,5)，所以概率为 .故选 C. 10 【答案】 C 1 2.在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log 1(x2 )1”发生的概率为( ) 2 【导学号：00732105】 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 3 4 1 1 1 1 【解析】 不等式1log 1(x 1 可化为 log 2log 2 )log 1 ，即 x 2 ) 1 1(x 2 2 2 2 2 2 3 0 1 3 2 3 2，解得 0x ，故由几何概型的概率公式得 P . 2 2 20 4 【答案】 A 3.某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 9 【解析】 如图，7：50至 8：30之间的时间长度为 40 分钟，而小明等车时间不超过 10 分钟是指小明在 7：50 至 8：00 之间或 8：20 至 8：30 之间到达发车站，此两种情况下的时间 20 1 长度之和为 20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为 P .故选 B. 40 2 【答案】 B 4.如图 33，矩形 ABCD 中， 点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且 点 C 与点 D 在函数 f(x) Error!的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) 图 33 1 1 3 1 A. B. C. D. 6 4 8 2 【解析】 因为 f(x)Error!B 点坐标为(1,0)，所以 C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为( 1 3 2,2)，A 点坐标为(2,0)，故矩形 ABCD 的面积为 2×36，阴影部分的面积为 ×3×1 ， 2 2 3 2 1 故 P . 6 4 【答案】 B 5.从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)， (x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得 到的圆周率 的近似值为( ) 4n 2n 4m 2m A. B. C. D. m m n n 【解析】 因为 x1，x2，xn，y1，y2，yn 都在区间0,1 内随机抽取，所以构成的 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn) 都在正方形 OABC 内(包括边界)，如图所示.若两数的平方和小于 1， 则对应的数对在扇形 OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)故， S 扇形 m 在扇形 OAC 内的数对有 m 个.用随机模拟的方法可得 ，即 S 正方形 n 4 m 4m ，所以 . n n 【答案】 C 6.某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50之间到校， 10 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _.(用数字作答) 【解析】 设小王到校时间为 x，小张到校时间为 y，则小张比小王至少早到 5 分钟时满 足 xy5.如图，原点 O表示 7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的 平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为 400，小张比小王至少早到 5 分钟对应的 225 1 225 2 9 图形(图中阴影部分)的面积为 ×15×15 ，故所求概率 P . 2 2 400 32 9 【答案】 32 7.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球 B的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2和 2 个白球 b1，b2的乙箱中，各随机 摸出 1 个球.若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖. (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正 确吗？请说明理由. 【导学号：00732106】 【解】 (1)所有可能的摸出结果是 A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B， a1，B，a2，B，b1，B，b2. (2)不正确.理由如下： 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2 个球都是红球的结果为A1，a1，A1， 4 1 1 2 1 a2，A2，a1，A2，a2，共 4 种，所以中奖的概率为 ，不中奖的概率为 1 ，故 12 3 3 3 3 这种说法不正确. 8.A，B，C 三个班共有 100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部 分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时): 【导学号：00732107】 A 班 6 6.5 7 7.5 8 11 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记 为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从 A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单 位：小时).这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均 数记为 0，试判断 0和 1的大小.(结论不要求证明) 【解】 (1)由题意知，抽出的 20名学生中，来自 C 班的学生有 8 名.根据分层抽样的方 8 法， 估计 C 班的学生人数为 100× 40. 20 (2)设事件 Ai“为 甲是现有样本中 A 班的第 i个人”，i1,2，5， 事件 Cj“为 乙是现有样本中 C 班的第 j个人”，j1,2，8. 1 由题意可知，P(Ai) ，i1,2，5； 5 1 P(Cj) ，j1,2，8. 8 1 1 1 P(AiCj)P(Ai)P(Cj) × ，i1,2，5，j1,2，8. 5 8 40 设 事 件 E 为 “ 该 周 甲 的 锻 炼 时 间 比 乙 的 锻 炼 时 间 长 ”. 由 题 意 知 ， E A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4. 因此 P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3) 1 3 P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15× . 40 8 (3)10. 12