2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人教A版必修42017.wps

2.4.22.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点) 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点) 基础·初探 教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材 P106“探究”以下至 P107例 6 以上内容，完成下列问题. 1.平面向量数量积的坐标表示： 设向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a 与 b b 的夹角为 . 数量积 a a·b bx1x2 y1y2 向量垂直 a ab b x1x2 y1y2 0 2.向量模的公式：设 a a(x1，y1)，则|a a| x21y21. 3.两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB x2x12y2y12. 4.向量的夹角公式：设两非零向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a 与 b b 夹角为 ，则 a a·b b x1x2y1y2 cos . |a a|·|b b| x21y21 x2y 2 判断(“正确的打”，错误的打“×”) (1)两个非零向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，满足 x1y2x2y10，则向量 a a，b b 的夹角为 0°.( ) (2)已知 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a ab bx1x2y1y20.( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( ) 【解析】 (1)×.因为当 x1y2x2y10 时，向量 a a，b b 的夹角也可能为 180°. (2)×.a ab bx1x2y1y20. (3)×.因为两向量的夹角有可能为 180°. 【答案】 (1)× (2)× (3)× 1 小组合作型 平面向量数量积的坐标运算 (1)已知向量 a a(1,2)，b b(2，x)，且 a·ba·b1，则 x 的值等于( ) 1 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 2 (2)已知向量 a a(1,21,2)，b b(3,23,2)，则 a·ba·b_，a·a·(a ab b)_. . (3)已知 a a(2 2，1 1)，b b(3,23,2)，若存在向量 c c，满足 a·ca·c2 2，b·cb·c5 5，则向量 c c _. 【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标 运算列出方程(组)来进行求解. 【自主解答】 (1)因为 a a(1,21,2)，b b(2，x)， 所以 a·ba·b(1,2)·(2，x)1×22x1， 3 解得 x . 2 (2)a·ba·b(1,2)·(3,2)(1)×32×21， a·a·(a ab b)(1,2)·(1,2)(3,2)(1,2)·(4,0)4. (3)设 c c(x，y)，因为 a·ca·c2 2，b·cb·c5， 9 4 所以Error!解得Error!所以 c c(， . 7 ) 7 9 4 【答案】 (1)D (2)1 4 (3)( 7 ) ， 7 1.进行数量积运算时，要正确使用公式 a·ba·bx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|a|2 2a·aa·a；(a ab b)(a ab b)|a|a|2 2|b|b|2 2； (a ab b)2 2|a|a|2 22a·b2a·b|b|b|2 2. 2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系. 3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充. 2 再练一题 1.设向量 a a(1，2)，向量 b b(3,4)，向量 c c(3,2)，则向量(a a2b b)·c c( ) A.(15,12) B.0 C.3 D.11 【解析】 依题意可知，a a2b b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a a2b b)·c c( 5,6)·(3,2)5×36×23. 【答案】 C 向量模的坐标表示 (1)设平面向量 a a(1,21,2)，b b(2，y)，若 abab，则|2a|2ab|b|等于( ) A.4 B.5 C.3 5 D.4 5 (2)已知向量 a a(1,21,2)，b b(3,23,2)，则|a|ab|b|_，|a|ab|b|_. . 【精彩点拨】 (1 1)两向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10. (2)已知 a a(x，y)，则|a a| x2y2. 【自主解答】 (1)由 y40 知 y4，b b(2，4)， 2a ab b(4,8)，|2a ab b|4 5.故选 D. (2)由题意知，a ab b(2,4)，a ab b(4,0)， 因此|a ab b| 22422 5，|a ab b|4. 【答案】 (1)D (2)2 5 4 向量模的问题的解题策略： (1)字母表示下的运算，利用|a|a|2 2a a2 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算，若 a a(x，y)，则|a|a| x2y2. 再练一题 2.已知向量 a a(2x3,2x)，b b(3x,2x)(xR R)，则|a|ab|b|的取值范围为 _. 【导学号：00680057】 【解析】 a ab b(x，x2)， |a ab|b| x2x22 2x24x4 2x122 2， 3 |a|ab|b| 2， ). 【答案】 2， ) 探究共研型 向量的夹角与垂直问题 探究 1 设 a a，b b 都是非零向量，a a(x1，y1)，b b(x2，y2)， 是 a a 与 b b 的夹角，那么 cos 如何用坐标表示？ a a·b b x1x2y1y2 【提示】 cos . |a a|b b| x21y21· x2y 2 探究 2 已知向量 a a(1,2)，向量 b b(x，2)，且 a a(a ab b)，则实数 x 等于？ 【提示】 由已知得 a ab b(1x,4). a a(a ab b)，a a·(a ab b)0. a a(1,2)，1x80，x9. (1)已知向量 a a(2,1)，b b(1，k)，且 a a 与 b b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范 围是( ) 1 1 A.(2， ) B.(2，2)(，) 2 C.( ，2) D.(2,2) (2)已知在ABC 中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD|与点 D 的坐标. 【精彩点拨】 (1)可利用 a a，b b 的夹角为锐角Error!求解. (2)设出点 D 的坐标，利用BD与BC共线，ADBC列方程组求解点 D 的坐标. 1 【自主解答】 (1)当 a·ba·b 共线时，2k10，k ，此时 a a，b b 方向相同，夹角为 0°， 2 所以要使 a a 与 b b 的夹角为锐角，则有 a·b0a·b0 且 a a，b b 不同向.由 a·ba·b2k0得 k2，且 1 1 1 k2，即实数 k 的取值范围是(2，2)(，)，选 B. 2 【答案】 B (2)设点 D 的坐标为(x，y)，则AD(x2，y1)，BC(6，3)，BD(x3，y2). D 在直线 BC 上，即BD与BC共线， 存在实数 ，使BDBC， 即(x3，y2)(6，3)， Error! 4 x32(y2)，即 x2y10. 又ADBC，AD·BC0， 即(x2，y1)·(6，3)0， 6(x2)3(y1)0， 即 2xy30. 由可得Error! 即 D 点坐标为(1,1)，AD(1,2)， |AD| 1222 5， 综上，|AD| 5，D(1,1). 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|a| x2y2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式 cos x1x2y1y2 求夹角余弦值. x21y21· x2y2 (4)求角.由向量夹角的范围及 cos 求 的值. 2.涉及非零向量 a a，b b 垂直问题时，一般借助 ababa·ba·bx1x2y1y20 来解决. 再练一题 3.已知 a a(1,2)，b b(1，)，分别确定实数 的取值范围，使得：(1)a a 与 b b 的夹角为 直角；(2)a a 与 b b 的夹角为钝角；(3)a a 与 b b 的夹角为锐角. 【解】 设 a a 与 b b 的夹角为 ， 则 a a·b b(1,2)·(1，)12. (1)因为 a a 与 b b 的夹角为直角，所以 cos 0，所 以 a a·b b0，所以 120，所 以 1 . 2 (2)因为 a a 与 b b 的夹角为钝角， 所以 cos 0，且 cos 1， 所以 a a·b b0且 a a，b b不同向. 1 1 2 由 a a·b b0，得 ，由 a a与 b b同向得 2，所以 的取值范围为 (2， ). 2 ( ，2) 1.已知 a a(1 1，1 1)，b b(2,32,3)，则 a·ba·b( ) A.5 B.4 C.2 D.1 【解析】 a·ba·b(1，1)·(2,3)1×2(1)×31. 【答案】 D 2.已知 a a(2,1)，b b(x，2)，且 abab，则 x 的值为( ) A.1 B.0 C.1 D.2 【解析】 由题意，a·ba·b(2,1)·(x，2)2x20，解得 x1.故选 A. 【答案】 A 3.已知 a a(3，1)，b b(1，2)，则 a a与 b b的夹角为( ) A. B. 6 4 C. D. 3 2 【解析】 a a·b b 3×1 ( 1)×( 2) 5 ，|a a| 32 12 10，|b b| 12 22 5， a a·b b 5 2 故 a a与 b b的夹角为 ，则 cos .又 0， . 10· 5 |a a|·|b b| 2 4 【答案】 B 4.已知 a a(3 3，4 4)，则|a|a|_. 【解析】 因为 a a(3 3，4 4)，所以|a|a| 3 32 2 4 42 25 5. 【答案】 5 5.已知向量 a a(3 3，1 1)，b b(1 1，2 2)， 求：(1 1)a·ba·b；(2 2)(a ab b)2 2；(3 3)(a ab b)··(a ab b). 【解】 (1)因为 a a(3 3，1 1)，b b(1 1，2 2)， 6 所以 a·ba·b3×13×1(1 1)××(2 2)3 32 25.5. (2 2)a ab b(3 3，1 1)(1 1，2 2)(4 4，3 3)， 所以(a ab b)2 2|a|ab|b|2 24 42 2(3 3)2 225.25. (3 3)a ab b(3 3，1 1)(1 1，2 2)(4 4，3 3)， a ab b(3 3，1 1)(1 1，2 2)(2,12,1)， (a ab b)··(a ab b)(4 4，3 3)··(2,12,1)8 83 35.5. 7