2018版高中数学第一章立体几何初步章末综合测评含解析新人教B版必修22017071211.doc

(一)立体几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行.【答案】D2.下列说法不正确的是()A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确.易知当直线与平面垂直时，过这条直线有无数个平面与已知平面垂直.选D.【答案】D3.已知平面与平面相交，直线m，则()A.内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D.内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【解析】作两个相交平面，交线为n，使得直线m，假设内一定存在直线a与m平行，因为m，而am，所以直线a，而a，所以，这与平面与平面相交不一定垂直矛盾，所以内不一定存在直线a与m平行，因为直线m，n，又n，所以mn，所以在内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直，故选C.【答案】C4.设a、b为两条直线，、为两个平面，则正确的命题是()A.若a，b，则abB.若a，b，则abC.若a，b，ab，则D.若a，b，则ab【解析】A中，a、b可以平行或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，、可以平行或相交.【答案】D5.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足 m，n，则()A.ml B.mnC.nlD.mn【解析】利用线面垂直的性质进行分析.l，l.n，nl.【答案】C6.设l为直线，是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l，l，则B.若l，l，则C.若l，l，则D.若，l，则l【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得，故选项C错误；选项D，l与的位置不确定，故选项D错误.故选B.【答案】B7.如图1所示，ADB和ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且BAC60°，下列说法中错误的是()图1A.AD平面BDCB.BD平面ADCC.DC平面ABDD.BC平面ABD【解析】由题可知，ADBD，ADDC，所以AD平面BDC，又ABD与ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以ABAC，BDDCAB.又BAC60°，所以ABC为等边三角形，故BCABBD，所以BDC90°，即BDDC.所以BD平面ADC，同理DC平面ABD.所以A、B、C项均正确.选D.【答案】D8.如图2所示，在三棱锥V-ABC中，VABVACABC90°，下列结论不正确的是()图2A.平面VAC平面ABCB.平面VAB平面ABCC.平面VAC平面VBCD.平面VAB平面VBC【解析】AVBA，VAAC，BAACA，VA平面ABC，易知A、B正确，BCAB，平面VAB平面ABCAB，BC平面VAB，易知D正确，故选C.【答案】C9.将正方形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，M为CD的中点，则AMD的大小是()A.45° B.30°C.60°D.90°【解析】如图，设正方形边长为a，作AOBD，则AMa，又ADa，DM，AD2DM 2AM 2，AMD90°.【答案】D10.在矩形ABCD中，若AB3，BC4，PA平面AC，且PA1，则点P到对角线BD的距离为()A. B.C.D.【解析】如图，过点A作AEBD于点E，连接PE.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，BD平面PAE，BDPE.AE，PA1，PE.【答案】B11.如图3所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()图3A.17 B.18C.20D.28【解析】由三视图还原为直观图后计算求解.由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图.设球的半径为R，则R3×R3，解得R2.因此它的表面积为×4R2R217.故选A.【答案】A12.正方体ABCD­A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A.点H是A1BD的垂心B.AH平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.AHBB1【解析】因为AH平面A1BD，BD平面A1BD，所以BDAH.又BDAA1，且AHAA1A.所以BD平面AA1H.又A1H平面AA1H.所以A1HBD，同理可证BHA1D，所以点H是A1BD的垂心，A正确.因为平面A1BD平面CB1D1，所以AH平面CB1D1，B正确.易证AC1平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合.故C正确.因为AA1BB1，AA1与AH显然不垂直，AH与BB1也不垂直，故D错误.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.设平面平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面，之间，AS8，BS6，CS12，则SD_.【解析】由面面平行的性质得ACBD，解得SD9.【答案】914.如图4所示，四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：_时，SC平面EBD.图4【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点.又E是SA的中点，OE是SAC的中位线.OESC.SC平面EBD，OE平面EBD，SC平面EBD.【答案】E是SA的中点15.如图5所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_. 【导学号：45722065】图5【解析】B1C1平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，B1C1MN，又B1MN为直角，B1MMN，而B1MB1C1B1.MN平面MB1C1，又MC1平面MB1C1，MNMC1，C1MN90°.【答案】90°16.已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是_.(写出所有正确结论的序号)【解析】(图略)由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCD·PD，SPABAB·PA，由ABCD，PD>PA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图6所示，已知ABC中，ACB90°，SA平面ABC，ADSC，求证：AD平面SBC.图6【证明】ACB90°，BCAC.又SA平面ABC，SABC，SAACA，BC平面SAC，BCAD.又SCAD，SCBCC，AD平面SBC.18.(本小题满分12分)如图7所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点.图7(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.【证明】(1)C1C平面ABC，C1CAC.AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.19.(本小题满分12分)某几何体的三视图如图8所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点.(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD面AGC；证明：面PBD面AGC.图8【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OGPD.连接PO，由三视图知，PO平面ABCD，所以AOPO.又AOBO，所以AO平面PBD.因为AO平面AGC，所以平面PBD平面AGC.20.(本小题满分12分)如图9所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.图9(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.【证明】(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG，EFCG，EFCG1，四边形CEFG为平行四边形，又CEEF1，CEFG为菱形，EGCF.在正方形ABCD中，ACBD.正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，BD平面CEFG.BDCF.又EGBDG，CF平面BDE.21.(本小题满分12分)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点.图10(1)求证：PA平面BDE；(2)平面PAC平面BDE.【解】(1)证明：连接OE，如图所示.O、E分别为AC、PC的中点，OEPA.OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.(2)PO平面ABCD，POBD.在正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD平面PAC.又BD平面BDE，平面PAC平面BDE.22.(本小题满分12分)如图11所示，三棱台DEF­ABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.图11(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.【解】(1)证法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEF­ABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点.又H为BC的中点，所以MHBD.又MH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.证法二：在三棱台DEF­ABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.10