高中数学第二章平面向量2.5向量的应用1课时训练含解析苏教版必修420170630165.doc

§2.5向量的应用(一)课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，ab_.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos _.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_.2直线的方向向量和法向量(1)直线ykxb的方向向量为_，法向量为_(2)直线AxByC0的方向向量为_，法向量为_一、填空题1.如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_2在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的长是_3已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5.则···_.4点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足···，则点O是ABC的_(从重心、垂心、外心、内心中选择)5已知直线l1：3x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是_6若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是_三角形7设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(2)·()0，则ABC的形状一定是_三角形8已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中_.9已知非零向量与满足·0且·，则ABC的形状是_三角形10在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的角平分线上且|2，则_.二、解答题11在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的角平分线的方程12P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形求证：PAEF且PAEF.能力提升13已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，···，则点O，N，P依次是ABC的_重心、外心、垂心； 重心、外心、内心；外心、重心、垂心； 外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)14求证：ABC的三条高线交于一点1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2在直线l：AxByC0(A2B20)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(R且0)也是直线l的方向向量所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线同理，与直线l：AxByC0(A2B20)垂直的向量都叫直线l的法向量一条直线的法向量也有无数多个熟知以下结论，在解题时可以直接应用ykxb的方向向量v(1，k)，法向量为n(k，1)AxByC0(A2B20)的方向向量v(B，A)，法向量n(A，B)§2.5向量的应用(一)知识梳理1(1)abx1y2x2y10(2)a·b0x1x2y1y20(3)(4)2(1)(1，k)(k，1)(2)(B，A)(A，B)作业设计12解析O是BC的中点，()，(1).又，存在实数，使得，即化简得mn2.2.解析BC中点为D，|.325解析ABC中，B90°，cos A，cos C，·0，·4×5×16，·5×3×9.···25.4垂心解析··，()·0.·0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为垂心545°解析设l1、l2的方向向量为v1，v2，则v1(4，3)，v2(1，7)，|cosv1，v2|.l1与l2的夹角为45°.6直角解析|，|2|，|，四边形ABDC是矩形，且BAC90°.ABC是直角三角形7等腰解析(2)·()()()·()()·()22|2|20，|，ABC是等腰三角形83解析如图所示，由题知ABC30°，AEC60°，CE，3，3.9等边解析由·0，得A的角平分线垂直于BC.ABAC.而·cos，又，0°，180°，BAC60°.故ABC为正三角形10.解析已知A(0,1)，B(3,4)，设E(0,5)，D(3,9)，四边形OBDE为菱形AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，|3，.(x1，y1)×(3,9)，即.11解(3,4)，(8,6)，A的角平分线的一个方向向量为：.A的角平分线过点A.所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得7xy290.12.证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|，则A(0,1)，P，E，F，于是，.|，同理|，|，PAEF.·0，.PAEF.13解析如图，0，.依向量加法的平行四边形法则，知|N|2|，故点N为ABC的重心··，()··0.同理·0，·0，点P为ABC的垂心由|，知点O为ABC的外心14证明如图所示，已知AD，BE，CF是ABC的三条高设BE，CF交于H点，令b，c，h，则hb，hc，cb.，(hb)·c0，(hc)·b0，即(hb)·c(hc)·b整理得h·(cb)0，·0AHBC，与共线故ABC的三条高线交于一点7