2018年中考数学真题分类汇编第一期专题23直角三角形与勾股定理试题含解.doc

精选 word 版 下载编辑打印 1 直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 一、选择题一、选择题 1（2018山西3 分） “算经十书”是 指汉唐一千多年间的十部著名数学著 作， 它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝 聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我 国古代数学著作的是 （ ） A.九章算术B. 几何原本 C. 海岛算经 D. 周髀算经 【答案 】 B 【考点 】数学文 化 【解 析】几何原本的作者是欧几里得 2 （2018山东滨州3 分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5B6C7D8 【分析】直接根据勾股定理求解即可 【解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4， 弦为=5 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定 等于斜边长的平方 3. （20182018·湖北省孝感湖北省孝感·3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=10，BD=24，则菱形 ABCD 的周长为（ ） 精选 word 版 下载编辑打印 2 A52B48C40D20 【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长 【解答】解：菱形 ABCD 中，BD=24，AC=10， OB=12，OA=5， 在 RtABO 中，AB=13，菱形 ABCD 的周长=4AB=52， 故选：A 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质， 属于中考常考题型 4. （2018·山东青岛·3 分）如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=90°，点 E 为 AB 中 点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F已知 EF=，则 BC 的长 是（ ） ABC3D 【分析】由折叠的性质可知B=EAF=45°，所以可求出AFB=90°，再直角三角形的性 精选 word 版 下载编辑打印 3 质可知 EF=AB，所以 AB=AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的长 【解答】解： 沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合， B=EAF=45°， AFB=90°， 点 E 为 AB 中点， EF=AB，EF=， AB=AC=3， BAC=90°， BC=3， 故选：B 【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求 出AFB=90°是解题的关键 5. （2018·四川自贡·4 分）如图，若ABC 内接于半径为 R 的O，且A=60°，连接 OB、OC，则边 BC 的长为（ ） ABCD 【分析】延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则BCD=90°，D=A=60°；又 BD=2R，根据锐角 三角函数的定义得 BC=R 【解答】解：延长 BO 交O 于 D，连接 CD， 则BCD=90°，D=A=60°， CBD=30°， BD=2R， DC=R， BC=R， 故选：D 精选 word 版 下载编辑打印 4 【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形 30°角的性质、勾股定理，注意：作直 径构造直角三角形是解决本题的关键 6. （2018·台湾·分）如图 1 的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上，今以 BE 为折线将 A 点 往右折，如图 2 所示，再作过 A 点且与 CD 垂直的直线，交 CD 于 F 点，如图 3 所示，若 AB=6，BC=13，BEA=60°，则图 3 中 AF 的长度为何？（ ） A2B4C2D4 【分析】作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3在 RtABH 中，解 直角三角形即可解决问题； 【解答】解：作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 在 RtAHB 中，ABH=30°， BH=ABcos30°=9， CH=BCBH=139=4， AF=CH=4， 故选：B 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 7. （2018·台湾·分）如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有 一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 L 与 y 轴的交点若 A、B、C 的坐标分别为 （a，0） ， （0，4） ， （0，5） ，其中 a0，则 a 的值为何？（ ） 精选 word 版 下载编辑打印 5 A2B2C8D7 【分析】连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答 案 【解答】解：连接 AC， 由题意得，BC=OB+OC=9， 直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直， 直线 L 是线段 AB 的垂直平分线， AC=BC=9， 在 RtAOC 中，AO=2， a0， a=2， 故选：A 【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论 是解题的关键 8.（2018湖北黄冈3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD= A.2 B.3 C.4 D.23 精选 word 版 下载编辑打印 6 （第 5 题图） 【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 CE=AE=5，又知 AD=2，可得 DE=AE-AD=5-2=3，在 RtCDE 中，运用勾股定理可得直角边 CD 的长。 【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90°，CE 为 AB 边上的中线， CE=AE=5， 又AD=2， DE=AE-AD=5-2=3， CD 为 AB 边上的高 CDE=90°， CDE 为 Rt CD= DECE 22 = 35 22 =4 故选 C. 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出 DE 的长是解题的关 键。 9. （2018广西桂林3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 的边上，且 DM=1，AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称，将 ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得 到 ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：连接 BM.证明AFEAMB 得 FE=MB，再运用勾股定理求出 BM 的长即可. 精选 word 版 下载编辑打印 7 详解：连接 BM，如图， 由旋转的性质得：AM=AF. 四边形 ABCD 是正方形， AD=AB=BC=CD，BAD=C=90°, AEM 与 ADM 关于 AM 所在的直线对称， DAM=EAM. DAM+BAM=FAE+EAM=90°, BAM=EAF, AFEAMB FE=BM. 在 RtBCM 中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2, BM= FE=. 故选 C. 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 10 （2018 四川省泸州市 3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国 古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼 成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab=8，大正 方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9B6C4D3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知 精选 word 版 下载编辑打印 8 数据即可求出小正方形的边长 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab， 每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4， 4×ab+（ab）2=25， （ab）2=2516=9， ab=3， 故选：D 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属 于基础题型 二二. .填空题填空题 1.（2018湖北黄冈3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离 杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的 点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计） . （第 13 题图） 【考点】平面展开-最短路径问题 【分析】将圆柱体侧面展开，过 B 作 BQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AB 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出 AQ，BQ，根据勾股 定理求出 AB 即可 精选 word 版 下载编辑打印 9 【解答】解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH，过 B 作 BQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AB 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， AE=AE，AP=AP， AP+PB=AP+PB=AB， BQ= 2 1 ×32cm=16cm，AQ=14cm-5cm+3cm=12cm， 在 RtAQB 中，由勾股定理得：AB= 1216 22 =20cm. 故答案为：20. 【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理 进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 2. （2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 的等边中， ， 分别为，的中点， 于点 ， 为的中点，连接，则的长为_ 精选 word 版 下载编辑打印 10 【答案】 【解析】分析：连接 DE，根据题意可得 DEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解 DG 的长. 详解：连接 DE， D、E 分别是 AB、BC 的中点， DEAC，DE= AC ABC 是等边三角形，且 BC=4 DEB=60°,DE=2 EFAC，C=60°,EC=2 FEC=30°，EF= DEG=180°-60°-30°=90° G 是 EF 的中点， EG=. 在 RtDEG 中，DG= 故答案为：. 点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和 熟练运用性质是解题的关键. 3 （2018·天津·3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，的顶点 ， ， 均在格点上. 精选 word 版 下载编辑打印 11 （1）的大小为_（度） ； （2）在如图所示的网格中， 是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点 逆时针旋转，点 的对应点为 .当最短时，请用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明 点 的位置是如何找到的（不要求证明）_ 【答案】 (1). ； (2). 见解析 【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图，取格点 ， ，连接交于点 ；取格点， ，连接交延长线于点 ； 取格点 ，连接交延长线于点 ，则点 即为所求. 详解：（1）每个小正方形的边长为 1， AC=，BC=，AB=, ABC 是直角三角形，且C=90° 故答案为 90； （2）如图，即为所求. 点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解 决问题，学会用转化的思想思考问题. 4. （2018·四川自贡·4 分）如图，在ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到 精选 word 版 下载编辑打印 12 ABD，则四边形 ADBC 的形状是 菱 形，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点，则 PE+PF 的最小值是 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可 【解答】解：ABC 沿 AB 翻折得到ABD， AC=AD，BC=BD， AC=BC， AC=AD=BC=BD， 四边形 ADBC 是菱形， 故答案为菱； 如图 作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，此时 PE+PF=ME， 过点 A 作 ANBC， ADBC， ME=AN， 作 CHAB， 精选 word 版 下载编辑打印 13 AC=BC， AH=， 由勾股定理可得，CH=， ， 可得，AN=， ME=AN=， PE+PF 最小为， 故答案为 【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事 实分析出最短路径是解题的关键 5.（2018·山东青岛·3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得BAE=D=90°， 然后利用“边角边”证明ABEDAF 得ABE=DAF，进一步得AGE=BGF=90°，从 而知 GH=BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， BAE=D=90°，AB=AD， 在ABE 和DAF 中， ， ABEDAF（SAS） ， 精选 word 版 下载编辑打印 14 ABE=DAF， ABE+BEA=90°， DAF+BEA=90°， AGE=BGF=90°， 点 H 为 BF 的中点， GH=BF， BC=5、CF=CDDF=52=3， BF=， GH=BF=， 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等 知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键 6. （2018江苏盐城3 分）如图，在直角 中， ， ， ， 、 分别为边 、 上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是直角三角形，则 _ 16.【答案】或 【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：当BPQ 是直角三角形时，有两种情况：BPQ=90 度，BQP=90 度。 在直角 中， ， ， ，则 AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )当 BPQ=90 度，则BPQBCA，则 PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5， 设 PQ=3x，则 BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x， 精选 word 版 下载编辑打印 15 此时AQP 为钝角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ， 则 10-5x=3x，解得 x= ， 则 AQ=10-5x= ； （ 2 ）当BQP =90 度，则BQPBCA，则 PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5， 设 PQ=3x，则 BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x， 此时AQP 为直角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ， 则 10-4x=3x，解得 x= ， 则 AQ=10-4x= ； 故答案为： 或 【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确 定当APQ 是等腰三角形时，再讨论BPQ 是直角三角形可能的情况；或者先确定BPQ 是 直角三角形，再讨论APQ 是等腰三角形的情况；此题先确定BPQ 是直角三角形容易一些： BPQ 是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到BQP 与BCA 相似，可得 到BQP 三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论APQ 是等腰三角形时，是哪两 条相等，构造方程解出未知数即可，最后求出 AQ。 三三. .解答题解答题 1、 （20182018·湖北省宜昌湖北省宜昌·8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF=AE，连接 FB，FC （1）求证：四边形 ABFC 是菱形； （2）若 AD=7，BE=2，求半圆和菱形 ABFC 的面积 【分析】 （1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻 边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设 CD=x，连接 BD利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】 （1）证明：AB 是直径，AEB=90°，AEBC，AB=AC， 精选 word 版 下载编辑打印 16 BE=CE，AE=EF，四边形 ABFC 是平行四边形， AC=AB，四边形 ABFC 是菱形 （2）设 CD=x连接 BDAB 是直径， ADB=BDC=90°，AB2AD2=CB2CD2， （7+x）272=42x2，解得 x=1 或8（舍弃）AC=8，BD=， S菱形 ABFC=8 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股 定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题，属于中考常考题型 2. （2018湖南省永州市10 分）如图，在ABC 中，ACB=90°，CAB=30°，以线段 AB 为边向外作等边ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F （1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形； （2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积 【分析】 （1）在 RtABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE=AB，BE=AB，得到 BCE=EBC=60°由AEFBEC，得AFE=BCE=60°又D=60°，得 AFE=D=60 度所以 FCBD，又因为BAD=ABC=60°，所以 ADBC，即 FDBC，则 四边形 BCFD 是平行四边形 （2）在 RtABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题； 【解答】 （1）证明：在ABC 中，ACB=90°，CAB=30°， ABC=60° 在等边ABD 中，BAD=60°， BAD=ABC=60° 精选 word 版 下载编辑打印 17 E 为 AB 的中点， AE=BE 又AEF=BEC， AEFBEC 在ABC 中，ACB=90°，E 为 AB 的中点， CE=AB，BE=AB CE=AE， EAC=ECA=30°， BCE=EBC=60° 又AEFBEC， AFE=BCE=60° 又D=60°， AFE=D=60° FCBD 又BAD=ABC=60°， ADBC，即 FDBC 四边形 BCFD 是平行四边形 （2）解：在 RtABC 中，BAC=30°，AB=6， BC=AB=3，AC=BC=3， S平行四边形 BCFD=3×=9 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性 质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于 中考常考题型 3. （2018 年江苏省泰州市12 分）对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE 折 叠，使点 B 落在 CD 边上（如图），再沿 CH 折叠，这时发现点 E 恰好与点 D 重合（如图 ） 精选 word 版 下载编辑打印 18 （1）根据以上操作和发现，求的值； （2）将该矩形纸片展开 如图，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将该矩形纸片 展开求证：HPC=90°； 不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的 P 点，要求只 有一条折痕，且点 P 在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由） 【分析】（1）依据BCE 是等腰直角三角形，即可得到 CE=BC，由图，可得 CE=CD， 而 AD=BC，即可得到 CD=AD，即=； （2）由翻折可得，PH=PC，即 PH2=PC2，依据勾股定理可得 AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出 AP=BC，再根据 PH=CP，A=B=90°，即可得到 RtAPHRtBCP（HL），进而得到 CPH=90°； 由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC，故沿着过 D 的直线翻折， 使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；由BCE=PCH=45°，可得 BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，进而得到 CP 平分BCE，故沿着 过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P 【解答】解：（1）由图，可得BCE=BCD=45°， 又B=90°， BCE 是等腰直角三角形， =cos45°=，即 CE=BC， 由图，可得 CE=CD，而 AD=BC， CD=AD， =； 精选 word 版 下载编辑打印 19 （2）设 AD=BC=a，则 AB=CD=a，BE=a， AE=（1）a， 如图，连接 EH，则CEH=CDH=90°， BEC=45°，A=90°， AEH=45°=AHE， AH=AE=（1）a， 设 AP=x，则 BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即 PH2=PC2， AH2+AP2=BP2+BC2， 即（1）a2+x2=（ax）2+a2， 解得 x=a，即 AP=BC， 又PH=CP，A=B=90°， RtAPHRtBCP（HL）， APH=BCP， 又RtBCP 中，BCP+BPC=90°， APH+BPC=90°， CPH=90°； 折法：如图，由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC， 故沿着过 D 的直线翻折，使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P； 折法：如图，由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH， 由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH， 又DCH=ECH， BCP=PCE，即 CP 平分BCE， 故沿着过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P 精选 word 版 下载编辑打印 20 【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角 形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，对应边和对应角相等解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴 对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理 列出方程求出答案 4. （2018·天津·10 分）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点， 点.以点 为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点 ， ， 的对应点分 别为 ， ， . （）如图，当点 落在边上时，求点 的坐标； （）如图，当点 落在线段上时，与交于点 . 求证； 求点 的坐标. （）记 为矩形对角线的交点， 为的面积，求 的取值范围（直接写出结果 即可）. 【答案】 （）点 的坐标为.（）证明见解析；点 的坐标为.（） . 【解析】分析：（）根据旋转的性质得 AD=AO=5,设 CD=x，在直角三角形 ACD 中运用勾股 定理可 CD 的值，从而可确定 D 点坐标； （）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可； 精选 word 版 下载编辑打印 21 由知，再根据矩形的性质得.从而，故 BH=AH，在 RtACH 中，运用勾股定理可求得 AH 的值，进而求得答案； （）. 详解：（）点，点， ，. 四边形是矩形， ，. 矩形是由矩形旋转得到的， . 在中，有， . . 点 的坐标为. （）由四边形是矩形，得. 又点 在线段上，得. 由（）知，又， . 由，得. 又在矩形中， . 设，则，. 在中，有， .解得. 点 的坐标为. 精选 word 版 下载编辑打印 22 （）. 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识， 灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键. 5. （2018·四川自贡·8 分）如图，在ABC 中，BC=12，tanA=，B=30°；求 AC 和 AB 的长 【分析】如图作 CHAB 于 H在 Rt求出 CH、BH，这种 RtACH 中求出 AH、AC 即可解决 问题； 【解答】解：如图作 CHAB 于 H 在 RtBCH 中，BC=12，B=30°， CH=BC=6，BH=6， 在 RtACH 中，tanA=， AH=8， AC=10， AB=AH+BH=8+6 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 精选 word 版 下载编辑打印 23 6. （2018·四川自贡·10 分）如图，在ABC 中，ACB=90° （1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的O（要求：用尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若O 的直径为 5，BC=4； 求 DE 的长 （如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问） 【分析】 （1）作ABC 的角平分线交 AC 于 E，作 EOAC 交 AB 于点 O，以 O 为圆心，OB 为 半径画圆即可解决问题； （2）作 OHBC 于 H首先求出 OH、EC、BE，利用BCEBED，可得=，解决问题； 【解答】解：（1）O 如图所示； （2）作 OHBC 于 H AC 是O 的切线， OEAC， C=CEO=OHC=90°， 四边形 ECHO 是矩形， OE=CH=，BH=BCCH=， 在 RtOBH 中，OH=2， EC=OH=2，BE=2， EBC=EBD，BED=C=90°， BCEBED， 精选 word 版 下载编辑打印 24 =， =， DE= 【点评】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股 定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型 7. （2018·台湾·分）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在 5×5 的方格棋盘上从 A 点行走至 B 点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径 R1，R2，R3，其 行经位置如图与表所示： 路径编号图例行径位置 第一条路径 R1_ACDB 第二条路径 R2AEDFB 第三条路径 R3AGB 已知 A、B、C、D、E、F、G 七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无 法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别 为何？请写出你的答案，并完整说明理由 【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得 【解答】解：第一条路径的长度为+=2+， 第二条路径的长度为+1+=+1， 第三条路径的长度为+=2+， 2+2+1， 最长路径为 AEDFB；最短路径为 AGB 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求得每条线段的长 度 精选 word 版 下载编辑打印 25 8.（2018·广东·9 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的O 经过点 C， 连接 AC，OD 交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC=2，证明：DA 与O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长 【分析】 （1）连接 OC，证OADOCD 得ADO=CDO，由 AD=CD 知 DEAC，再由 AB 为 直径知 BCAC，从而得 ODBC； （2）根据 tanABC=2 可设 BC=a、则 AC=2a、AD=AB=，证 OE 为中位线知 OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得 DE=2a，再AOD 中利用勾股定理逆定理 证OAD=90°即可得； （3）先证AFDBAD 得 DFBD=AD2，再证AEDOAD 得 ODDE=AD2，由得 DFBD=ODDE，即=，结合EDF=BDO 知EDFBDO，据此可得=，结合 （2）可得相关线段的长，代入计算可得 【解答】解：（1）连接 OC， 在OAD 和OCD 中， ， OADOCD（SSS） ， ADO=CDO， 又 AD=CD， DEAC， AB 为O 的直径， ACB=90°， 精选 word 版 下载编辑打印 26 ACB=90°，即 BCAC， ODBC； （2）tanABC=2， 设 BC=a、则 AC=2a， AD=AB=， OEBC，且 AO=BO， OE=BC=a，AE=CE=AC=a， 在AED 中，DE=2a， 在AOD 中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2， AO2+AD2=OD2， OAD=90°， 则 DA 与O 相切； （3）连接 AF， AB 是O 的直径， AFD=BAD=90°， ADF=BDA， AFDBAD， =，即 DFBD=AD2， 又AED=OAD=90°，ADE=ODA， AEDOAD， =，即 ODDE=AD2， 由可得 DFBD=ODDE，即=， 又EDF=BDO， EDFBDO， BC=1， AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=， =，即=， 精选 word 版 下载编辑打印 27 解得：EF= 【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形 的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点 9.（2018·广东·9 分）已知 RtOAB，OAB=90°，ABO=30°，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如题图 1，连接 BC （1）填空：OBC= 60 °； （2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动， N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 【分析】 （1）只要证明OBC 是等边三角形即可； （2）求出AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可； （3）分三种情形讨论求解即可解决问题：当 0x时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运 动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E当x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运 动 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G 【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60°， OBC 是等边三角形， OBC=60° 故答案为 60 （2）如图 1 中， 精选 word 版 下载编辑打印 28 OB=4，ABO=30°， OA=OB=2，AB=OA=2， SAOC=OAAB=×2×2=2， BOC 是等边三角形， OBC=60°，ABC=ABO+OBC=90°， AC=2， OP= （3）当 0x时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于 点 E 则 NE=ONsin60°=x， SOMN=OMNE=×1.5x×x， y=x2 x=时，y 有最大值，最大值= 当x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 精选 word 版 下载编辑打印 29 作 MHOB 于 H则 BM=81.5x，MH=BMsin60°=（81.5x） ， y=×ON×MH=x2+2x 当 x=时，y 取最大值，y， 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G MN=122.5x，OG=AB=2， y=MNOG=12x， 当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2， 综上所述，y 有最大值，最大值为 【点评】本题考查几何变换综合题、30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、 三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 10.（2018广西桂林10 分）如图 1，已知O 是 ADB 的外接圆，ADB 的平分线 DC 交 AB 于点 M，交O 于点 C，连接 AC，BC. （1）求证：AC=BC； （2）如图 2，在图 1 的基础上做O 的直径 CF 交 AB 于点 E，连接 AF，过点 A 作O 的切 线 AH，若 AH/BC，求ACF 的度数； （3）在（2）的条件下，若 ABD 的面积为，ABD 与 ABC 的面积比为 2：9，求 CD 的长. 精选 word 版 下载编辑打印 30 【答案】 （1）证明见解析；（2）30°；（3） 【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解； （2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交O 于 J,由 AH 是O 的切线且 AHBC 得 AIBC，易证 IAC=30°，故可得ABC=60°=F=ACB，由 CF 是直径可得ACF 的度数； （3）过点 D 作 DGAB ，连接 AO，知 ABC 为等边三角形，求出 AB、AE 的长，在 RtAEO 中，求出 AO 的长，得 CF 的长，再求 DG 的长，运用勾股定理易求 CD 的长. 详解：（1）DC 平分ADB ADC=BDC AC=BC （2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交