第4章边界层流动2011.ppt

第四章 边界层流动,本章重点讨论Prandtl边界层、边界层积分动量方程、管道进口段内的流体流动和边界层分离等内容。,第一节 边界层的概念,一、Prandtl 边界层理论的要点 当实际流体沿固体壁面流动时，紧贴壁面的一层流体由于黏性 作用将黏附在壁面上而不滑脱，即在壁面上的流速为零；而由于流 动的Re数很大，流体的流速将由壁面处的零值沿着与流动相垂直的 方向迅速增大，并在很短的距离内趋于定值。 Prandtl 认为，在壁面附近区域存在着一薄的流体层，在该层流体中与流动相垂直的方向上的速度梯度很大。这样的一层流体称为边界层。 在边界层内，惯性力与黏性力量级相同，绝不能忽略黏性力的 作用，即把流动视作黏性流体的有旋流动。 在边界层以外的区域(主流区域)，流体的速度梯度极小，在该 区域中可以忽略黏性力的作用，将其视为理想流体的有势流动。,二、边界层的形成过程 黏性流体沿平板壁面的流动 边界层的形成和发展。 临界距离 xc： 由层流边界层开始转变 为湍流边界层的距离。 xc 的大小与壁面前缘的 形状、壁面的粗糙度、流体 性质以及流速等因素有关。壁面愈粗糙，前缘愈钝，则 xc 愈小。 平板壁面上流动 Re 定义 临界Re 定义 对于光滑的平板壁面，临界Re 范围为 ： 。 通常可取 。,黏性流体通过圆管的流动边界层的形成和发展。 进口段流动：边界层汇合以前的区域中的流动。 充分发展的流动：边界层汇合以后的流动。 管内流动充分发展后的流型和边界层厚度(管的内半径)均保持 不变，判断流动形态的Re定义为 当Re2000时，管内流动维持层流。,三、边界层厚度的定义 按照 Prandtl 边界层理论，当真实流体以大 Re 流过固体壁面 时，将形成理想无旋的主体流动区域，和黏性有旋的边界层区域。 亦即根据壁面法向上的速度梯度对流体流动所作的一种定性的 区域划分。 虽然边界层和主流动区域实际分界线并不存在，但为了有效划 分这两个区域以便于分析、计算，人为规定边界层的外边界，即： 当流体的流速沿壁面的法向达到主体流速的99的位置为边界 层的外边界。 边界层外边界离固体壁面的距离定义为边界层厚度，即 边界层厚度 随流体的性质(密度、黏度)、来流速度 u0 以及流动距离 x 而变化。 通常 约在10-3的量级。,第二节 Prandtl 边界层方程,一、Prandtl 边界层方程的推导 对于不可压缩流体在无限宽平板壁面上的稳态流动，在流体自 平板前缘至临界距离 xc 内形成的二维层流边界层内建立N-S方程。 已知 与惯性力、黏性力相比，忽略重 力的影响，即 依此已知条件，可对不可压缩流 体的N-S方程(2-45)和连续性方程(2-20)进行简化。,x 方向 N-S 方程 简化为 y 方向 N-S 方程 简化为 连续性方程 简化为 式(4-6a)、式(4-6b)和式(4-7)构成二阶非线性偏微分方程组。,依据大 Re 数下边界层流动的两个重要性质: (1)与物体的特征尺寸相比，边界层的厚度要小得多； (2)边界层内的黏性力与惯性力的量级相同。 采用数量级分析方法对式(4-6a)和式(4-6a)作进一步简化。 取 x 为距离的标准量阶，即 x =O(1),外流速度 u0为流速的标准 量阶，即u0 =O(1),且这两个物理量的量阶相当。 取边界层的厚度 为另一个标准量阶，即 =O()。 对式(4-6a)中的各项进行量阶分析如下：,将以上各式代入式(4-6a),可知 故，忽略 x 方向黏性力的变化。即 因，边界层内的黏性力与惯性力的量阶相同，固有 由此可得 这表明，欲获得边界层流动，流体的黏度需要非常低的数值。 压力是在惯性力与黏性力之间起平衡作用的被动力，由式(4-6a)知,对式(4-6b)中的各项进行量阶分析如下： 将以上各式代入式(4-6b),由上式可知 由上述分析可知，式(4-6a)的各项的量阶均为O(1)，而式(4-6b)的 各项的量阶均为 O()，因此可略去式(4-6b)，亦即忽略 y方向的 运动方程。 比较两式的压力项可发现： 即 亦即，在边界层内压力沿物面法线方向的变化很小，即 即，沿流动法线方向流体的压力梯度可忽略，也即，压力可穿过边 界层保持不变。而主流区的压力分布可由势流确定。,综上所述，式(4-6a)与式(4-6b)最终可化简为 不可压缩流体的连续性方程仍为 式(4-9)称为 Prandtl边界层方程。适用于平板壁面上或楔形物面上 的边界层流动。式(4-9)与式(4-7)为二阶非线性偏微分方程组，满 足的边界条件为 边界层厚度的量阶： 因 故得,二、平板层流边界层的精确解 (一)平板层流边界层的 Blasuis 精确解 求Prandtl边界层方程式(4-9)的 Blasuis 精确解。 边界层外的流动可视为理想流体的势流，在边界层外的水平高度上 ，由Bernoulli方程，有 两侧分别对 x 求导，得 u0 为常数，可知 由式 ，即压力可穿过边界层保持不变，可知式 (4-12)在边界层内依然成立。,将式(4-12)代入式(4-9) ，得 连续性方程仍为 对于边界层内的稳态平面流动而言，必然存在一个由式(3-107a)、 式(3-107b)定义的流函数 代入式(4-13),得 该式为三阶非线性偏微分方程。相应的边界条件变为 即边界流函数为常数。,Prandtl边界层方程式(4-14) 的Blasuis 相似性解 相似性基于这样的理解，即认为离平板前缘不同距离处的边界 层内的速度分布是相似的。即在不同的 x 处存在函数 f ，使得 具有这种性质的解称为边界层方程的相似性解。相似性解只依赖于 一个组合变量 y / (x)，如果选此变量为自变量，则原来的偏微分 方程可转化为常微分方程。 研究表明 基于这一认识引入一无量纲变量 ，定义为 根据前面的设定，ux/u0 对 具有相似性，即,因 对式(4-15)求导，代入上式，得 将式(A)代入上式，得 将式(B)积分，得 g(x) 由边界条件确定。,由边界条件式(1)、式(2)知，在壁面流函数 为常数。由于流函数 值只有相对意义，因此可以认为壁面处的流函数值为零。于是边界 条件式(1)、式(2)可写成 当 = 0 时 ，故要使式(C)满足边界条件式(1a)，只有 g(x) = 0，即 令 则有 或写成, ( x , y ) 为一无量纲自变量，流函数 为有量纲变量，其单位 为 m/s · m。由式(4-16)可知 f () 可视为无量纲流函数。 式(4-15)和式(4-16)通常称为相似变换。 为了将式(4-14)转换为无量纲位置变量( x , y )和无量纲流函数 f( )表达的形式，分别计算 的各阶导数：,将式(4-18)式(4-22)代入式(4-14)，简化后得 相应的边界条件为 f ()所满足的方程式(4-23)是一个三阶非线性常微分方程，无法求出严格的解析解。Blasius 给出了级数形式的近似解: 数值解见书82页表4-1。,(二)边界层厚度与曳力系数 应用式(4-24)或表4-1,可求出边界层内的速度分布、边界层厚 度、摩擦曳力和曳力系数。 根据流函数的定义和式(4-18)、式(4-21)可得 对于给定的位置(x,y)，可由式(4-24)或表4-1求出对应的、f 和 f ，再由式(4-25)和式(4-26)求出相应的 ux 和 uy。,边界层厚度的定义为 由表可知 由式(4-15) 可得 或 式(4-28)即为平板壁面上层流边界层厚度的计算式。,流体沿平板壁面流动时产生的摩擦曳力： 壁面处的剪应力s 随流动距离 x 变化，以sx 表示，称为局部剪 应力。根据广义 Newton 粘性定律式(2-42a) 可得 忽略 项，得 由式(4-19),查表，壁面处 y=0，=0，f (0)=0.33206，固有 距平板前缘 x 处的局部摩擦曳力系数为 流过长度为 L、宽度为 b 的平板壁面所受总曳力 。 流过平板时，由于压力在壁面上分布均匀，故忽略形体曳力Fdf，有 平均曳力系数 CD 为,式(4-32) 表明， 而在小Re数的爬流流动中 因此大 Re 的摩擦曳力较大。 式(4-29) 表明， 这是因为在平板下游边界层较厚，壁面的剪应力相应地较小，因此 曳力较前缘小。 Blasuis 精确解的上述结果在层流范围内与实验数据符合得很好。,第三节 边界层积分动量方程,卡门(Von Kármán)边界层积分动量方程的基本思想： 首先对边界层进行微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方 程，然后用一个只依赖于 x 的单参数速度剖面 ux( y )近似地代替真实速度侧形ux( x , y )，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而得到边界层厚度、曳力系数等物理量的表达式。,一、边界层积分动量方程的推导 密度为 、黏度为 的不可压缩流体在光滑壁面上稳态流动 。主流速度 u0，距平板前缘 x 处的边界层厚度为。 在距平板前缘 x 处取一微元控制体 dV = dx ×1(在板的宽度方向取单位宽度)。 将动量守恒原理用于该微元控制体， 得 仅考虑 x 方向的分量则为,考察微元控制体 x 方向上的动量变化 (1)1-2截面。流体由该控制面流入。 取微元截面 ，则 dA 上的质量流率和动量流率为 积分，得通过整个1-2截面的质量流率和动量流率，为 (2)3-4截面。流体由该控制面流出。 (3)1-4截面。无流体质量和动量的流入 与流出。,(4)2-3截面。 根据质量守恒定律，稳态下由此截面流入的质量流率应为 3-4截面 与 1-2截面的质量流率之差，即 由于2-3截面取在边界层的外缘处，此处流体均以u0流入控制体内，故从该截面流入的动量流率为 整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即,考察作用在微元控制体 x 方向上的力(坐标 x 方向为正) (1)作用在1-4截面上的力，为剪应力引起的摩擦曳力，即 (2)作用在1-2截面上的力，为压力，即 (3)作用在3-4截面上的力，为压力，即 (3)作用在2-3截面上的力，因该截面与 理想流体接壤，无剪应力，仅存在流体 的压力，即 因此，作用在整个微元控制体 x 方向上的合外力为,将式(4-36)、式(4-37)代入式(4-35),得 由于推导过程中假定流体仅沿 x 方向流动，故上式可写成常微分的 形式 式(4-39)称为卡门( Von Kármán )积分动量方程,或边界层积分动 量方程。既适用于层流也适用于湍流，还可用于曲面物体边界层。 对于平板壁面的层流边界层，在边界层内 dp/dx = 0，故式(4-39) 变为 若已知 即可求得 s，进而由式(4-40)求得 ，以及 曳力系数等。,二、平板层流边界层的近似解 (一)边界层内速度侧形的确定 实验表明，平板层流边界层内的速度侧形可近似用 n 次多项式 函数逼近，即 ai 为待定系数，可通过速度侧形 ux 在边界层边界上所满足的条件 确定。 (1)速度侧形在 y = 处应满足的条件 (2)速度侧形在壁面上应满足的条件,为了确定 n 次多项式函数式(4-41)中的待定系数ai(i=0,1,2,n), 可以从式(4-42)与式(4-43)中选取 n+1个最重要的边界条件，将其 代入式(4-41)，得到含有 n+1个未知量的代数方程组，求解该方程 组即可得 ai(i=0,1,2,n)。 以下给出以 1次至 4次多项式求得的速度侧形： 1.线性多项式 2.二次多项式 3.三次多项式 4.四次多项式 最常用的是以三次多项式确定所要求得的速度侧形。,(二)平板层流边界层的近似解 以最常用的三次多项式所求得的速度侧形为例，说明边界层积 分动量方程的求解方法。 将式(4-46a)代入式(4-40) ，得 积分，得,式(4-48)右侧的 s 可由牛顿黏性定律及式(4-46a)得到 将式(4-49)代入式(4-48)，化简可得 边界条件为 将式(4-50)积分求解，得 无量纲形式为,确定流体沿平板壁面流动时产生的摩擦曳力 将式(4-51) 代入式(4-49) 可得 距平板前缘 x 处的局部摩擦曳力系数为,流过长度为 L、宽度为 b 的平板壁面所受总曳力Fd，为 平均曳力系数 CD 为 在应用上述公式进行运算时，流体所处的位置应该距平板前缘 足够远，即,第四节 管道进口段内的流体流动,流体在管道内的流动可分为性质截然不同两部分： (1)管道进口段内的流动： 进口段为层流边界层，而后在管中心汇合形成充分发展的层 流流动； 在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流边界 层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流流动； (2)边界层在管中心汇合后充分发展的流动。,不可压缩流体在圆管内做稳态流动，对于进口段为层流边界层 的情况，管道进口段内的边界层为二维流动。 由于流动沿管轴对称，即 重力的影响很小可忽略，则柱坐标系的运动方程式(2-47),可简化为 为一非线性二阶偏微分方程。 Langhaar根据圆管进口段边界层流动特点，并结合实验数据， 将复杂的二维流动近似为仅沿 z 轴向的一维流动，并将式(4-57a) 左侧的惯性力近似为 z 的线性函数，得到圆管进口段边界层流动的 简化方程，即 I0 和I2 分别是第一类贝塞尔函数，r 和ri 分别是距管中心的距离和管 半径，是(z/d)/Re的函数，Re=dub/。,Langhaar给出了计算流动进口段长度的表达式 式中 d 为管内径。式(4-59)与实验结果一致。,范宁摩擦因数 f 在管的进口附近是最高的，其后沿流动方向平 缓地减小，最后趋于流动充分发展后的不变值。 管道进口段摩擦阻力较大的原因： (1)进口附近速度梯度较大，此速度梯度沿流动方向逐渐减小，而 当流动充分发展时变为常数； (2)由于流体流动的连续性，使得边界层外部的流体流速增大。换 言之，边界层外部的流体流速并非一直保持进口处的流速 u0 ，而 是沿轴向逐渐变大。于是由于管 中心流体的加速，会产生一个附 加的流动阻力。 管内湍流边界层的进口段长 度大致出现在距进口端管长至少 50倍管径的位置。,第五节 边界层分离,分离点：是指速度分布曲线在物体表面处的切线变成与表面垂直 的那一点，即 。在分离点左边 ，而在分离点右边 。通常把分离点后下方的流动称作尾流，尾流中的漩涡称作尾涡。 产生边界层分离的必要条件： 1.物面附近的流动区域中，存在逆压梯度； 2.流体的黏性。 此外，还与物体表面的 曲率或逆压梯度的大小有关。,流动的 Re 对分离点位置的影响。 若流体的流速较小或Re较小，在圆柱体表面上形成的边界层可 能为层流边界层。此时，流体的惯性力较小，流体克服逆压和摩擦 阻力的能力较小，则分离点将向上游区移动。 若流体的流速较大或Re较大，在圆柱体表面上形成的边界层可 能为湍流边界层。此时，流体的惯性力较大，流体克服逆压和摩擦 阻力的能力较大，则分离点将向下游区移动。,边界层分离是产生形体曳力 Fdf 的主要原因。 边界层分离时产生大量的漩涡，消耗了流体的能量。分离点越 靠前，形体曳力越大。 在多数情况下，像由圆柱体这样具有凸起形状的物体所产生的 总曳力，主要是由物体前、后的压差引起的形体曳力，也称压差曳 力。只有在Re较低时，因物体表面剪应力引起的摩擦曳力才显得很 重要。 当流体流过流线型物体或平板壁面时，总曳力主要为摩擦曳力 ，而非形体曳力。 流体输送过程中，流体流经管件、阀门、管路突然扩大或突然 缩小以及管路的进出口等局部地方，由于流向的改变和流道的突然 变化等原因，都会出现边界层分离现象。 工程上，为减少边界层分离造成的流体能量的损失，常将物体 做成流线型。,