江苏省2019高考数学二轮复习专题一三角1.1小题考法_三角函数解三角形讲义含解析201905231.wps

专题一 三角 江苏卷 5 年考情分析 小题考情分析 大题考情分析 1.三角化简求值(5年 2 考) 新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着 常考 2.三角函数的性质(5年 3 考) 求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主， 点 3.平面向量的数量积(5年 5 考) 可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性 质更为重要三角变换的基本解题规律是：寻找 联系、消除差异 三角考题的花样翻新在于条件变化，大致 偶考 1.平面向量的概念及线性运算 有三类：第一类是给出三角函数值(见 2014年、 点 2.正、余弦定理 2018年三角解答题)，第二类是给出在三角形中 (见 2015年、2016年三角解答题)，第三类是给 出向量(见 2017年三角解答题). 第一讲 小题考法三角函数、解三角形 考点(一) 主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题 三角化简求值 多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式 . 题组练透 1计算：sin 50°(1 3tan 10°)_. 解析：sin 50°(1 3tan 10°)sin 50°( 1 3 cos 10° 3sin 10° sin 50°× cos 10° sin 10° cos 10°) 1 3 2( sin 10°) cos 10° 2 2 sin 50°× cos 10° 2sin 50°cos 50° sin 100° cos 10° 1. cos 10° cos 10° cos 10° 答案：1 1 1 2已知 ，(0，)，且 tan() ，tan ，则 2 的值为_ 2 7 1 1 1 tantan 2 7 1 解析： tan tan() 0， 1tantan 1 1 3 1 × 2 7 00， 1tan2 1 4 1(3 ) 2 00， 2 ( 2k 4 得 k0， 1 5 所以 4 . ， 2 1 5 答案： ，4 2 5 4已知函数 f(x)2sin( sin 3)， x ，则函数 f(x)的值域为_ x 6) (x 6 12 3 1 3 1 解析：依题意，有 f(x)2 sin x2cos x·( sin x cos x)sin xcos x 2 2 2 3 2 1 3 5 (cos2xsin2x) sin 2x 2 cos 2xsin( 3)，因为 x ，所以 02x 2x 2 6 12 3 2 ，从而 0sin( 1，所以函数 f(x)的值域为0,1 2x 3 ) 答案：0,1 方法技巧 1对于 f(x)Asin(x)的图象平移后图象关于 y 轴或原点对称的两种处理方法 (1)若平移后所得函数解析式为 yAsin(x)，要关于原点对称，则 k；要关于 y 轴对称，则 k . 2 4 (2)利用平移后的图象关于 y轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用 ysin x的对 称性去求解 2求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：求形如 yAsin(x)(或 yAcos(x)(A， 为常数，A0 ，0)的单调区间时，令 xz，则 yAsinz(或 yAcosz)，然后由复合函数的单 调性求得 (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间 3求解三角函数的值域的三种方法 在研究三角函数值域时，首先应将所给三角函数化归为 yAsin(x)，y 化归法 Acos(x)或 yAtan(x)的形式，再利用换元 tx，从而转化 为求 yAsin t，yAcos t或 yAtan t在给定区间上的值域 对于无法化归的三角函数，通常可以用换元法来处理，如 ysin xcos xsin 换元法 xcos x，可以设 sin xcos xt来转化为二次函数求值域 导数法 对于无法化归和换元的三角函数，可以通过导函数研究其单调性和值域 考点(三) 主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的 正、余弦定理 边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形 . 题组练透 1在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2bcosA2c 3a，则角 B的大 小为_ b2c2a2 解析：法一：因为 2bcos A2c 3a，所以由余弦定理得 2b· 2c 3a， 2bc a2c2b2 3 即 b2a2c2 3ac，所以 cos B ，因为 B(0，)，所以 B . 2ac 2 6 法二：因为 2bcos A2c 3a，所以由正弦定理得 2sin Bcos A2sin C 3sin A 2sin(AB) 3sin A2sin Acos B2cos Asin B 3sin A，故 2cos Bsin A 3sin A， 3 因为 sin A0，所以 cos B ，因为 B(0，)，所以 B . 2 6 答案： 6 a2b2 2在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 tanA7tanB， 3，则 c 5 c_. sin A 7sin B 解析：由 tan A7tan B 可得 ， cos A cos B 即 sin Acos B7sin Bcos A， 所以有 sin Acos Bsin Bcos A8sin Bcos A， 即 sin (AB)sin C8sin Bcos A， b2c2a2 a2b2 由正、余弦定理可得：c8b× ，即 c24b24c24a2，又 3， 2bc c 所以 c24c，即 c4. 答案：4 3(2018·江苏高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120° ，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_ 解析：如图，SABCSABDSBCD， 1 1 1 ac·sin 120° c×1×sin 60° a×1×sin 60°， 2 2 2 1 1 acac. 1. a c 1 1 c 4a c 4a 4ac(4ac)( 52 59， c ) · a a c a c c 4a 当且仅当 ，即 c2a 时取等号 a c 故 4ac 的最小值为 9. 答案：9 4(2018·常熟高三期中)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，D 为 AB 的 中点，若 bacos Ccsin A 且 CD 2，则ABC 面积的最大值是_ 解析：因为 bacos Ccsin A，所以由正弦定理得 sin Bsin Acos Csin Csin A， 即 sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Csin A，因为 sin C0，所以 cos Asin c2 A，即 tan A1，因为 A(0，)，所以 A ，在ACD 中，由余弦定理得 CD2b2 4 4 c 4 2b· cos ，即 2 2bc4b2c284bc8，所以 bc 42 2，当且仅当 2bc 2 4 2 2 1 1 2 时等号成 立，所以 SABC bcsin A · bc 1. 2 2 2 2 答案： 21 方法技巧 1利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法 (1)“”“”“”解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将 边 统一为 角 ，将 角 统一 6 为“”边 当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为 边在应用这两个原则时要注意：若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定 理进行转化；若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化 (2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个， 因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已 知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几 何知识的应用 2与面积、范围有关问题的求解方法 (1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积， 1 1 1 求其他量解题时主要应用三角形的面积公式 S absin C bcsin A acsin B，此公式 2 2 2 既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来 求解另外，还要注意用面积法处理问题 (2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理， 将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域 的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b c| 0或向右 0，0) 横坐标变为原来的 ysin x ysin x 纵坐标不变 向左 0或向右 0，0) 横坐标不变 4三角函数的单调区间 y sin x的 单 调 递 增 区 间 是 2(k Z Z)， 单 调 递 减 区 间 是 2k ，2k 2 3 2 2k ，2k (kZ Z)； 2 ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ Z)，单调递减区间是2k，2k (kZ Z)； ytan x的递增区间是( (kZ Z) k ，k 2 ) 2 5三角函数的奇偶性与对称性 yAsin(x)，当 k(kZ Z)时为奇函数；当 k (kZ Z)时为偶函数； 2 对称轴方程可 由 xk (kZ Z)求得 2 yAcos(x)，当 k (kZ Z)时为奇函数；当 k(kZ Z)时为偶函数； 2 对称轴方程可由 xk(kZ Z)求得 yAtan(x)，当 k(kZ Z)时为奇函数 6正弦定理及其变形 a b c 在ABC中， 2R(R为ABC的外接圆半径) sin A sin B sin C a 变形：a2Rsin A，sin A ， 2R abcsin Asin Bsin C等 8 7余弦定理及其变形 在ABC 中，a2b2c22bccos A. b2c2a2 变形：b2c2a22bccos A，cos A . 2bc 8三角形面积公式 1 1 1 SABC absin C bcsin A acsin B. 2 2 2 (二)二级结论要用好 1sin cos 0的终边在直线yx上方(特殊地，当在第二象限时有 sin cos 1) 2sin cos 0 的终边在直线 yx 上方(特殊地，当 在第一象限时有 sin cos 1) b 3辅助角公式：asin bcos a2b2sin()( a). 其中tan 4在ABC 中，tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C. 5ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B . 3 6ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列，且 a，b，c 成等比数列 abc 7SABC (R 为ABC 外接圆半径) 4R 课时达标训练 A组抓牢中档小题 1sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°_. 解析：sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 1 10°sin(20°10°)sin 30° . 2 1 答案： 2 1 x 2(2018·苏北四市期末)若函数 f(x)sin( 6)(0)的最小正周期为 ，则 f 5 1 (3 ) 的值为_ 2 1 解析：因为 f(x)的最小正周期为 5，所以 10，所以 f(x)sin( 6)， 10x 1 10 19 1 所以 f(3 )sin( 6)sin sin . 3 6 6 2 1 答案： 2 3(2018·盐城期中)在ABC 中，已知 sinAsinBsinC357，则此三角形的 9 最大内角的大小为_ 解析：由正弦定理及 sin Asin Bsin C357 知，abc357，可设 a a2b2c2 9k225k249k2 3k，b5k，c7k，且角 C 是最大内角，由余弦定理知 cos C 2ab 2 × 3k × 5k 1 ，因为 0°a，所以 B 或 . 2 3 3 2 答案： 或 3 3 6(2018·南京、盐城一模)将函数 y3sin( 的图象向右平移 2x 3) (0 0,00，0，| 的部分图象 2 如图所示，若 x1，x2( ，且 f(x1)f(x2)，则 f(x1x2) 3 ) ， 6 _. T 2 解析：由图象可得 A1， 6 )，解得 2，所以 f(x)sin(2x)， 3 ( 2 2 2 2 2 将点( ，0)代入函数 f(x)可得 0sin( )，所以 k，所以 k (k 3 3 3 3 Z Z)，又| ，所以 3 ，所以 f(x)sin( 3).因为( ，0)，( ，0)的中点坐 2x 2 6 3 标为( ，0)，又 x1，x2( ，且 f(x1)f(x2)，所以 x1x2 ×2 ，所以 f(x1 ， 3 ) 12 6 12 6 3 x2)sin( . 2 × 3 ) 6 2 答案： 3 2 5在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a2b22c28，则ABC 面 积 S 的最大值为_ 1 1 解析：由 S absin C，得 S2 a2b2(1cos2C) 2 4 1 a2b2c2 4 1( a2b2 2ab )2， a2b22c28， a2b282c2， 1 a2b2c2 S 24a2b21( 2ab )2 1 83c2 a2b2 1( 2ab )2 4 1 83c22 a2b2 4 16 a2b22 83c22 5c4 c2， 16 16 16 当且仅当 a2b2时等号成立， 14 8 4 2 5 由二次函数的性质可知，当 c2 时，S2取得最大值，最大值为 ，故 S 的最大值为 5 5 5 . 2 5 答案： 5 6.(2018·南通基地卷)将函数 y 3 sin( x )的图象向左平移 3 个 4 单位长度，得到函数 y 3sin x(|)的图象如图所示，点 M、N 分别是函数 f(x)图 4 象上 y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON，则 tan()的值为_ 解析：将函数 y 3 sin( 的图象向左平移 3 个单位长度，得到函数 y sin x ) 3 4 3 3 ( 4 ) x ，所以 ，M(1， 3)，|OM|2，N(3， 3)，ON2 3，|MN|2 7，由余弦定 4 4 41228 3 5 3 5 理 可 得 ， cos ， 6 ，tan( ) tan( 6 ) 2 × 2 × 2 3 2 4 3 5 tan tan 4 6 2 3. 3 5 1tan ·tan 4 6 答案：2 3 15 16