江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.1小题考法_立体几何中的计算讲义含解析2019052.wps

专题二 立体几何 江苏卷 5 年考情分析 小题考情分析 大题考情分析 空间几何体的表面积与体积(5 年 3 本专题在高考大题中的考查非 常考点 考) 常稳定，主要是线线、线面、面面的 平行与垂直关系的证明，一般第(1) 偶考点 简单几何体与球的切接问题 问是线面平行的证明，第(2)问是线 线垂直或面面垂直的证明，考查形式 单一，难度一般. 第一讲 小题考法立体几何中的计算 考点(一) 空间几何体的表面积与体积 主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面 积与体积. 题组练透 1现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5cm 的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成 一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为_cm. 解析：因为圆锥底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm，所以圆锥的高为 52324 cm，其 1 4 体积为 ×32×412 cm3，设铁球的半径为 r，则 r312，所以该铁球的半径是 3 9 3 3 cm. 答案：3 9 2(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 2 3 ，则该直四棱柱的侧面积为_ 解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为 2 32222 2，所以该直四棱柱的侧面积 为 Scl4×2×2 216 2. 答案：16 2 3.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心 为顶点的多面体的体积为_ 解析：由题意知所给的几何体是棱长均为 2 的八面体，它是由两个有公 1 共 底面的正四棱锥组合而成的正，四棱锥的高为 1 所，以这个八面体的体积为 2V正四棱锥2× ×( 3 4 2)2×1 . 3 1 4 答案： 3 4(2018·南通、泰州一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正 六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体已知正六棱柱的底面边长、高都 为 4 cm，圆柱的底面积为 9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为 6 cm的正三棱柱零件，则 该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗) 3 解析：由题意知，熔化 前后的体积相等，熔化前的体积为 6× ×42×49 3×460 3 4 3 cm3，设所求正三棱柱的底面边长为 x cm，则有 x2·660 3，解得 x2 10，所以所求边 4 长为 2 10 cm. 答案：2 10 5设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等 V1 3 S1 且 ，则 的值是_ V2 2 S2 解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为 r1，r2，高分别为 h1，h2，则有 2r1h12r2h2， 即 r1h1r2h2， V1 r21h1 V1 r1 r1 3 又 ， ， ， V2 r2h2 V2 r2 r2 2 S1 r21 9 则 . S2 r 4 2 9 答案： 4 方法技巧 求几何体的表面积及体积的解题技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在 求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体 的某一面上 (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何 体以易于求解 考点(二) 简单几何体与球的切接问题 2 主要考查简单几何体与球切接时的表面积、 体积的计算问题，以及将空间几何体的问题 转化为平面几何图形的关系的能力. 题组练透 1(2017·江苏高考)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、 V1 下底面 及线母均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 V2 _ 解析：设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均 V1 R2·2R 3 相切，所以圆柱的底面半径为 R、高为 2R，所以 . V2 4 2 R3 3 3 答案： 2 2(2018·无锡期末)直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABBC，AB3，BC4，BB15， 若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 解析：根据条件可知该直三棱柱的外接球就是以 BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球， 5 2 设其半径为 R，则 2R BA2BC2BB21 324252，得 R ，故该球的表面积为 S4R2 2 50. 答案：50 3已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，且 AB3，BC 3，过点 D 作 DE 垂直于平面 ABCD，交球 O 于点 E，则棱锥 EABCD 的体积为_ 解析：如图所示，BE 过球心 O， BE4，BD 32 322 3， DE 422 322， 1 VEABCD ×3× ×22 . 3 3 3 答案：2 3 4(2018·全国卷改编)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为_. 3 解析：由等边ABC 的面积为 9 3，可得 AB29 3，所以 AB6，所以等边ABC 的外 4 3 接圆的半径为 r AB2 3.设球的半径为 R，球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d， 3 则 d R2r2 16122.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 DABC 3 1 体积的最大值为 ×9 3×618 3. 3 答案：18 3 方法技巧 简单几何体与球切接问题的解题技巧 方法 解读 适合题型 解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决如果内切的是 截面法 球内切多面体或旋转体 多面体，则作截面时主要抓住 多面体过球心的对角面来作 首先确定球心位置，借助外接 的性质球心到多面体的顶 构造 点的距离等于球的半径，寻求 直角 球心到底面中心的距离、半径、 正棱锥、正棱柱的外接球 三角 顶点到底面中心的距离构造成 形法 直角三角形，利用勾股定理求 半径 因正方体、长方体的外接球半 三条侧棱两两垂直的三棱锥， 径易求得，故将一些特殊的几 从正方体或长方体的八个顶点 补形法 何体补形为正方体或长方体， 中选取点作为顶点组成的三棱 便可借助外接球为同一个的特 锥、四棱锥等 点求解 考点(三) 主要考查空间图形与平面图形之间的转化， 平面图形的翻折与空间图形的展开问题 面积、体积以及最值 问题的求解. 典例感悟 典例 (1)如图，正ABC的边长为 2，CD是 AB边上的高，E，F分别为边 AC与 BC的 中点，现将ABC沿 CD翻折，使平面 ADC平面 DCB，则三棱锥 EDFC的体积为_ 4 (2)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC 5，AA13，M 为线段 BB1上 的一动点，则当 AMMC1最小时，AMC1的面积为_ 1 1 3 3 1 1 解析 (1)SDFC SABC4×( × 2 2) ，E 到平面 DFC 的距离 h 等于 AD ， 4 4 4 2 2 1 3 VEDFC ×SDFC×h . 3 24 (2)将侧面展开后可得：本题 AMMC1最小可以等价为在矩形 ACC1A1中求 AMMC1的最小值 如图，当 A，M，C1三点共线时，AMMC1最小 又 ABBC12，AB1，BC2，CC13， 所以 AM 2，MC12 2，又 AC1 95 14， AM2C1M2AC21 2814 1 所以 cosAMC1 ， 2AM·C1M 2 × 2 × 2 2 2 3 所以 sinAMC1 ， 2 1 3 故三角形面积为 S × 2×2 2× 3. 2 2 3 答案 (1) (2) 24 3 方法技巧 解决翻折问题需要把握的两个关键点 (1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量一般情况下，折 “”线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个 不变性 与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； 与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变 (2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折 前的图形 5 演练冲关 1有一根长为 6 cm，底面半径为 0.5 cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈 ，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为_cm. 解析：由题意作出图形如图所示， 则铁丝的长度至少为 6242 361622 942. 答案：2 942 2(2018·南京、盐城、连云港二模)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰 三角形(如图中阴影部分)，折叠成底面边长为 2 的正四棱锥 SEFGH(如图)，则正四棱 锥 SEFGH 的体积为_ 解析：连结 EG，HF，交点为 O(图略)，正方形 EFGH 的对角线 EG2，EO1，则点 E 到 线段 AB 的距离为 1，EB 1222 5，SO SE2OE2 512，故正四棱锥 SEFGH 的体 1 4 积为 ×( 2)2×2 . 3 3 4 答案： 3 3如图所示，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD 2，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球 的体积为_ 解析：如图，取 BD 的中点 E，BC 的中点 O，连接 AE，OD，EO，AO.因 为 ABAD，所以 AEBD. 由于平面 ABD平面 BCD，所以 AE平面 BCD. 6 2 1 3 因为 ABADCD1，BD 2，所以 AE ，EO .所以 OA . 2 2 2 1 3 在 RtBDC中，OBOCOD BC ，所以四面体 ABCD的外接球的球心为 O，半径为 2 2 3 . 2 4 3 3 所以该球的体积 V 3 . 3 (2 ) 2 答案： 3 2 必备知能·自主补缺 (一) 主干知识要牢记 1空间几何体的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 S直棱柱侧ch 直棱柱 c为底面周长 h为高 1 S正棱锥侧 ch 2 c为底面周长 正棱锥 h为斜高 即侧面等腰三角形的高 1 S正棱台侧 (cc)h 2 c为上底面周长 正棱台 c为下底面周长 h为斜高，即侧面等腰梯形的高 S圆柱侧2rl 圆柱 r为底面半径 l为侧面母线长 S圆锥侧rl 圆锥 r为底面半径 l为侧面母线长 7 S圆台侧(r1r2)l r1 为上底面半径 圆台 r2为下底面半径 l为侧面母线长 2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)； 1 (2)V锥体 Sh(S为底面面积，h为高)； 3 1 (3)V台 (S S)h(不要求记忆) SS 3 3球的表面积和体积公式： (1)S球4R2(R为球的半径)； 4 (2)V球 R3(R为球的半径) 3 4立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中 两点距离最短 (二) 二级结论要用好 1长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系 d2a2b2c2；若长方体外接 球半径为 R，则有(2R)2a2b2c2. 针对练 1 设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 2,2 3，4，则其外接球 的表面积为_ 解析：依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为 R，可将题中的三棱锥补形成一个长方 1 体，则 R 222 32422 2，所以该三棱锥外接球的表面积为 S4R232. 2 答案：32 6 6 2棱长为 a的正四面体的内切球半径 r a，外接球的半径 R a.又正四面体的高 h 12 4 6 1 3 a，故 r h，R h. 3 4 4 针对练 2 正四面体 ABCD的外接球半径为 2，过棱 AB作该球的截面，则截面面积的 最小值为_ 解析：由题意知，面积最小的截面是以 AB为直径的圆，设 AB的长为 a， 因为正四面体外接球的半径为 2， 6 4 6 所以 a2，解得 a ， 4 3 2 6 8 故截面面积的最小值为 ( 3 ) 2 . 3 8 8 答案： 3 3认识球与正方体组合的 3 种特殊截面： 一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的 相应轴截面如图所示(正方体的棱长为 a，球的半径为 R) 课时达标训练 A组抓牢中档小题 1. 若圆锥底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积为 _. 解析：由题意，得圆锥的母线长 l 1222 5，所以 S 圆锥侧rl×1× 5 5 . 答案： 5 2已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为_cm3. 解析：设正六棱柱的底面边长为 x cm，由题意得 6x×672，所以 x2，于是其体积 V 3 ×22×6×636 3cm3. 4 答案：36 3 3 3已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 R 2 ，ABACBC2 3，则球 O 的表面积为_ 解析：设ABC 外接圆的圆心为 O1，半径为 r，因为 ABACBC2 3，所以ABC 为 2 3 正三角形，其外接圆的半径 r 2，因为 OO1平面 ABC，所以 OA2OO r2， 12 2sin 60° 3 即 R 2( R ) 222，解得 R216，所以球 O 的表面积为 4R264. 2 答案：64 4.已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为 5cm 的钢球， 则球心到盒底的距离为_cm. 解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为 52324，所以球心 到盒底的距离为 4610(cm) 答案：10 9 2 5(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为 3 且圆心角为 的扇形，则此圆 3 锥的体积为_ 1 2 解析：设圆锥的底面半 径为 r，高为 h，母线为 l，则由 · ·l23，得 l3，又 2 3 2 1 2 2 由 ·l2r，得 r1，从而有 h l2r22 2，所以 V ·r2·h . 3 3 3 2 2 答案： 3 6. 一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等 的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器 当 x6 cm 时，该容器的容积为_cm3. 解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm为边长的正方形，侧面高为 5 6 1 cm，则正四棱锥的高为 5 2( 4 cm，所以所求容积 V ×62×448 cm3. 2 )2 3 答案：48 7已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球 的体积为_ 解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3. 3 设该正方体外接球的半径为 R，则 2R3，R ， 2 4 4 27 9 所以这个球的体积为 R3 × . 3 3 8 2 9 答案： 2 8设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的 V1 3 S1 体积和侧面积分别为 V2，S2，若 ，则 的值为_ V2 S2 1 V1 3 a3 3 解 析：由题意知，V1a3，S16a2，V2 r3，S2 r2，由 ，即 ， 2 3 V2 1 r3 3 S1 6a2 6 3 2 得 ar，从而 . 2r2 2 S2 10 3 2 答案： 9已知正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 BC，DC 的中点，沿 AE，EF，AF 折成一个 四面体，使 B，C，D 三点重合，则这个四面体的体积为_ 解设 ：析B，C，D 三点重合于点 P，得到如图所示的四面体 PAEF.因为 AP PEA，PP FP，EPFP，所以 AP平面 PEF，所以 V 四面体 PAEFV 四面体 APEF 1 1 1 1 ·SPEF·AP × ×1×1×2 . 3 3 2 3 1 答案： 3 10(2018·常州期末)已知圆锥的高为 6，体积为 8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥， 得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为_ 1 解析：设截得的小圆锥的高为 h1，底面半径为 r1，体积为 V1 r21h1；大圆锥的高为 h 3 1 r21h1 1 r1 h1 V1 3 h1 1 6，底面半径为 r，体积为 V r2h8.依题意有 ，V11， r2h (h )3 ， 3 r h V 1 8 3 1 得 h1 h3，所以圆台的高为 hh13. 2 答案：3 11.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90°，AC6，BCCC1 2， P 是 BC1上一动点，则 CPPA1的最小值是_ 解析：连结 A1B，沿 BC1将CBC1展开，与A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结 A1C ，则 A1C 的长度就是所求的最小值 因为 A1C16，A1B2 10，BC12，所以 A1C21BC21A1B2，所以A1C1B90°. 又BC1C45°所，以 A1C1C135°由， 余 弦 定 理得，A1C2A1C21CC212A1C1·CC1·cosA1C1C 11 2 3622×6× 2×( 2 )50，所以 A1C5 ，即 CPPA1的最小值是 5 . 2 2 答案：5 2 12(2018·苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8 倍， 将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)设正四棱柱与正四棱锥 S1 的侧面积分别为 S1，S2，则 的值为_ S2 解析：设正四棱柱的高为 a，所以底面边长为 8a，根据体积相等，且底面积相等，所以 S1 正 四 棱 锥 的 高 为 3a， 则 正 四 棱 锥 侧 面 的 高 为 3a24a2 5a， 所 以 S2 4 × 4 × 8a2 2 . 1 5 × 8a × 5a 2 2 答案： 5 13已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 4 2，过圆锥的两条母线作截面，截面 为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为_ 解析：如图，设底面半径为 r，由题意可得：母线长为 2r.又侧面展开 1 图面积为 × 2r×2r4 2，所 以 r2.又截面三角形 ABD 为等边三角形， 2 故 BDAB 2r，又 OBODr，故BOD 为等腰直角三角形设圆锥底面中心 3 到截面的距离为又d，VOABDVA所BOD以， d×SABDAO×SOBD.又 SABD AB2 4 3 4 2 × 2 2 3 ×82 3，SOBD2，AOr2，故 d . 2 3 3 2 3 答案： 3 1 14.底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切 2 ，其中底层两球与容器底面相切现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 _cm3. 解析：设四个实心铁球的球心为 O1，O2，O3，O4，其中 O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4 2 2 2 2 为正四面体，棱 O1O2到棱 O3O4的距离为 ，所以注水高为 1 .故应注水体积为 1 2 ( 2) 4 1 1 2 4×3×(2 )3( 2). 3 1 2 答案：( 2) 3 B 组力争难度小题 12 1.(2018·天津高考)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则 四棱锥 MEFGH 的体积为_ 解析 ：如 图， 连结 AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，CD1的 中点，所以 EHAC，EH 1 1 AC，因为 F，G 分别为 B1A，B1C 的中点，所以 FGAC，FG AC，所 2 2 以 EHFG，EHFG，所以四边形 EHGF 为平行四边形，又 EGHF，EHHG，所以四边形 EHGF 1 1 2 1 1 为正方形，又点 M 到平面 EHGF 的距离为 ，所以四棱锥 MEFGH 的体积为 × 2× . 2 3 2 2 12 1 答案： 12 2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古 代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、 左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90°榫卯起 来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一 个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ) 解析：设球形容器的最小半径为 R，则“十字立方体”的 24个顶点均在半径为 R 的球 面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方 体的体对角线的长度，所以 2R 122252 30，得 4R230.从而 S 球面4R230. 答案：30 3已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展 开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6，则三棱锥 PABC 的体积为_ 解析：由条件知，表面展开图如图所示，由正弦定理得大正三角形的边 长为 a2×2 6sin 60°6 2，从而三棱锥的所有棱长均为 3 2，底面三角形 3 1 3 ABC 的高为 故6，三棱锥的高为 1862 3，所求体积为 V × (3 2)2×2 3 2 3 4 9. 答案：9 4 4(2018·渭南二模)体积为 的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 3 _ 13 4 4 解析：设球的半径为 R，由 R3 ，得 R1，所以正三棱柱的高 h2.设底面边长 3 3 1 3 1 为 a，则 × a1，所以 a2 3.所以 V ×2 3×3×26 3. 3 2 2 答案：6 3 5.如图所示，在直三棱柱中，ACBC，AC4，BCCC12，若用平行于三棱柱 A1B1C1ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体， 则长方体表面积的最小值为_ 解析：用过 AB，AC 的中点且平行于平面 BCC1B1的平面截此三棱柱， 可以拼接成一个边长为 2 的正方体，其表面积为 24； 用过 AB，BC 的中点且平行于平面 ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、 高分别为 4,1,2的长方体，其表面积为 28； 用过 AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面 ABC 的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、 宽、高分别为 4,2,1的长方体，其表面积为 28， 因此所求的长方体表面积的最小值为 24. 答案：24 6.如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，EF，分别为棱 AAD1，1C1上的动点，点 G 为正 方形 B1BCC1的中心则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积 的最大值为_ 解析：四边形 AEFG 在前、后面的正投影如图，当 E 与 A1重合，F 与 B1重合时，四边 形 AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为 12； 四边形 AEFG 在左、右面的正投影如图，当 E 与 A1重合，四边形 AEFG 在左、右面的 正投影的面积最大值为 8； 四边形 AEFG 在上、下面的正投影如图，当 F 与 D 重合时，四边形 AEFG 在上、下面的 正投影的面积最大值为 8.综上所述，所求面积的最大值为 12. 答案：12 14 15