江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.1小题考法_立体几何中的计算达标训练含解析20190.wps

立体几何中的计算 A组抓牢中档小题 1. 若圆锥底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积为 _. 解析：由题意，得圆锥的母线长 l 1222 5，所以 S 圆锥侧rl×1× 5 5 . 答案： 5 2已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为_cm3. 解析：设正六棱柱的底面边长为 x cm，由题意得 6x×672，所以 x2，于是其体积 V 3 ×22×6×636 3cm3. 4 答案：36 3 3已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 3 2 R，ABACBC2 3，则球 O 的表面积为_ 解析：设ABC 外接圆的圆心为 O1，半径为 r，因为 ABACBC2 3，所以ABC 为 2 3 正三角形，其外接圆的半径 r 2，因为 OO1平面 ABC，所以 OA2OO r2， 12 2sin 60° 3 即 R 2( R ) 222，解得 R216，所以球 O 的表面积为 4R264. 2 答案：64 4.已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为 5cm 的钢球， 则球心到盒底的距离为_cm. 解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为 52324，所以球心 到盒底的距离为 4610(cm) 答案：10 2 5(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为 3 且圆心角为 的扇形，则此圆 3 锥的体积为_ 1 2 解析：设圆锥的底面半 径为 r，高为 h，母线为 l，则由 · ·l23，得 l3，又 2 3 2 1 2 2 由 ·l2r，得 r1，从而有 h l2r22 2，所以 V ·r2·h . 3 3 3 2 2 答案： 3 6.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等 的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容 1 器当 x6 cm 时，该容器的容积为_cm3. 解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm为边长的正方形，侧面高为 5 6 1 cm，则正四棱锥的高为 5 2(2 )4 cm，所以所求容积 V ×62×448 cm3. 2 3 答案：48 7已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球 的体积为_ 解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3. 3 设该正方体外接球的半径为 R，则 2R3，R ， 2 4 4 27 9 所以这个球的体积为 R3 × . 3 3 8 2 9 答案： 2 8设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的 V1 3 S1 体积和侧面积分别为 V2，S2，若 ，则 的值为_ V2 S2 1 V1 3 a3 3 解 析：由题意知，V1a3，S16a2，V2 r3，S2 r2，由 ，即 ， 2 3 V2 1 r3 3 S1 6a2 6 3 2 得 ar，从而 . S2 2r2 2 3 2 答案： 9已知正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 BC，DC 的中点，沿 AE，EF，AF 折成一个 四面体，使 B，C，D 三点重合，则这个四面体的体积为_ 解析：设 B，C，D 三点重合于点 P，得到如图所示的四面体 PAEF.因为 APPE，AP 1 1 1 PF，PEPFP，所以 AP平面 PEF，所以 V 四面体 PAEFV 四面体 APEF ·SPEF·AP × 3 3 2 2 1 ×1×1×2 . 3 1 答案： 3 10(2018·常州期末)已知圆锥的高为 6，体积为 8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥， 得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为_ 1 解析：设截得的小圆锥 的高为 h1，底面半径为 r1，体积为 V1 r h1；大圆锥的高为 h 21 3 1 r21h1 1 r1 h1 V1 3 h1 6，底面半径为 r，体积为 V r2h8.依题意有 ，V11， r2h (h )3 3 r h V 1 3 1 1 ，得 h1 h3，所以圆台的高为 hh13. 8 2 答案：3 11.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90°， AC6，BCCC1 2，P 是 BC1上一动点，则 CPPA1的最小值是_ 解析：连结 A1B，沿 BC1将CBC1展开，与A1BC1在同一个平面内， 如图所示，连结 A1C，则 A1C 的长度就是所求的最小值 因为 A1C16，A1B2 10，BC12，所以 A1C21BC21A1B2，所以A1C1B90°. 又BC1C45°所，以 A1C1C135°由， 余 弦 定 理得，A1C2A1C21CC212A1C1·CC1·cosA1C1C 2 3622×6× 2×( 50，所以 A1C5 ，即 CPPA1的最小值是 5 . 2 ) 2 2 答案：5 2 12(2018·苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8 倍， 将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)设正四棱柱与正四棱锥 S1 的侧面积分别为 S1，S2，则 的值为_ S2 解析：设正四棱柱的高为 a，所以底面边长为 8a，根据体积相等，且底面积相等，所以 S1 正 四 棱 锥 的 高 为 3a， 则 正 四 棱 锥 侧 面 的 高 为 3a24a2 5a， 所 以 S2 4 × 4 × 8a2 2 . 1 5 × 8a × 5a 2 2 答案： 5 3 13已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 4 2，过圆锥的两条母线作截面，截面 为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为_ 解析：如图，设底面半径为 r，由题意可得：母线长为 2r.又侧面展开 1 图面积为 × 2r×2r4 2 所， 以 r2.又截面三角形 ABD 为等边三角形， 2 故 BDAB 2r，又 OBODr，故 BOD 为等腰直角三角形设圆锥底面中心 3 到截 面的距离为 又d，VOABDVABO所D，以 d×SABDAO×SOBD.又 SABD AB2 4 3 2 × 2 2 3 ×82 3，SOBD2，AOr2，故 d . 4 2 3 3 2 3 答案： 3 1 14. 底面半径为 1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两相切， 2 其中底层两球与容器底面相切现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 _cm3. 解析：设四个实心铁球的球心为 O1，O2，O3，O4，其中 O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4 2 2 2 2 为正四面体棱，O1O2到棱 O3O4的距离为 所，以注水高为 1 .故应注水体积为 1 4× 2 ( 2) 4 1 1 2 3 ( × 2 )3( 2). 3 1 2 答案：( 2) 3 B组力争难度小题 1.(2018·天津高考)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则 四棱锥 MEFGH 的体积为_ 解析 ：如 图， 连结 AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，CD1的中点，所以 EH AC，EH 1 1 AC，因为 F，G 分别为 B1A，B1C 的中点，所以 FGAC，FG AC，所以 EHFG，EH 2 2 4 FG，所以四边形 EHGF 为平行四边形，又 EGHF，EHHG，所以四边形 EHGF 为正方形，又点 M 1 1 2 1 1 到平面 EHGF 的距离为 ，所以四棱锥 MEFGH 的体积为 × 2× . 2 3 2 2 12 1 答案： 12 2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国 古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其 上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90°榫卯起来若正四棱柱 的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表 面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ) 解析：设球形容器的最小半径为 R，则“十字立方体”的 24个顶点均在半径为 R 的球 面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方 体的体对角线的长度，所以 2R 122252 30，得 4R230.从而 S 球面4R230. 答案：30 3已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展 开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2 6，则三棱锥PABC的体积为_ 解析：由条件知，表面展开图如图所示，由正弦定理得大正三角形 的边长为 a2×2 6sin 60°6 2，从而三棱锥的所有棱长均为 3 2， 3 1 底面三角形 ABC 的高为 故6，三棱锥的高为 1862 所3，求体积为 V × 2 3 3 (3 2)2×2 39. 4 答案：9 4 4(2018·渭南二模)体积为 的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 3 _ 4 4 解析：设球的半径为 R，由 R3 ，得 R1，所以正三棱柱的高 h2.设底面边长 3 3 1 3 1 为 a，则 × a1，所以 a2 3.所以 V ×2 3×3×26 3. 3 2 2 答案：6 3 5.如图所示，在直三棱柱中，ACBC，AC4，BCCC12，若用平行 于三棱柱 A1B1C1ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几 何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为_ 5 解析：用过 AB，AC 的中点且平行于平面 BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边 长为 2 的正方体，其表面积为 24； 用过 AB，BC 的中点且平行于平面 ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、 高分别为 4,1,2的长方体，其表面积为 28； 用过 AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面 ABC 的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、 宽、高分别为 4,2,1的长方体，其表面积为 28， 因此所求的长方体表面积的最小值为 24. 答案：24 6.如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，D1C1上的动点，点 G 为正方形 B1BCC1的中心则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上 的正投影所构成的图形中，面积的最大值为_ 解析：四边形 AEFG 在前、后面的正投影如图，当 E 与 A1重合，F 与 B1重合时，四边 形 AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为 12； 四边形 AEFG 在左、右面的正投影如图，当 E 与 A1重合，四边形 AEFG 在左、右面的 正投影的面积最大值为 8； 四边形 AEFG 在上、下面的正投影如图，当 F 与 D 重合时，四边形 AEFG 在上、下面的 正投影的面积最大值为 8.综上所述，所求面积的最大值为 12. 答案：12 6 7