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    江苏省2019高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理8.2数学归纳法达标训练含解析20190.wps

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    江苏省2019高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理8.2数学归纳法达标训练含解析20190.wps

    数学归纳法 A 组大题保分练 cxd 1(2018·南通三模)已知函数 f0(x) (a0,bcad0)设 fn(x)为 fn1(x)的 axb 导数,nN N*. (1)求 f1(x),f2(x); (2)猜想 fn(x)的表达式,并证明你的结论 cxd bcad 解:(1)f1(x)f0(x)(axb) , axb2 bcad 2abcad f2(x)f1(x)axb2 . axb3 1n1·an1·bcad·n! (2)猜想 fn(x) ,nN N*. axbn1 证明:当 n1 时,由(1)知结论成立, 假设当 nk(kN N*且 k1)时结论成立, 1k1·ak1·bcad·k! 即有 fk(x) . axbk1 当 nk1 时, fk1(x)fk(x) 1k1·ak1·bcad·k! axbk1 (1)k1·ak1·(bcad)·k!(axb)(k1) 1k·ak·bcad·k1! . axbk2 所以当 nk1 时结论成立 由得,对一切 nN N*结论都成立 2(2018·镇江模拟)证明:对一切正整数 n,5n2·3n11 都能被 8 整除 证明:(1)当 n1 时,原式等于 8,能被 8 整除; (2)假设当 nk(k1,kN N*)时,结论成立, 即 5k2·3k11 能被 8 整除 设 5k2·3k118m,mN N*, 当 nk1 时, 5k12·3k1 5(5k2·3k11)4·3k14 5(5k2·3k11)4(3k11), 而当 k1,kN N*时,3k11 显然为偶数,设为 2t,tN N*, 故 5k12·3k15(5k2·3k11)4(3k11)40m8t(m,tN N*),也能被 8 整 1 除, 故当 nk1 时结论也成立; 由(1)(2)可知,对一切正整数 n,5n2·3n11 都能被 8 整除 1 1 1 n 3已知 Sn1 (n2,nN N*),求证:S2n1 (n2,nN N*) 2 3 n 2 1 1 1 25 2 证明:(1)当 n2 时,S2nS41 1 ,即 n2 时命题成立; 2 3 4 12 2 (2)假设当 nk(k2,kN N*)时命题成立, 1 1 1 k 即 S2k1 1 , 2 3 2k 2 则当 nk1 时, 1 1 1 1 1 S2k11 2 3 2k 2k1 2k1 k 1 1 1 1 2 2k1 2k2 2k1 k 2k 1 2 2k2k k 1 k1 1 1 , 2 2 2 故当 nk1 时,命题成立 n 由(1)和(2)可知,对 n2,nN N*不等式 S2n1 都成立 2 1 1 4(2018·常州期末)记(x1)·( ·· (n2 且 nN N*)的展开式中含 x 项 x 2 ) (xn ) 的系数为 Sn,含 x2项的系数为 Tn. (1)求 Sn; Tn (2)若 an2bnc,对 n2,3,4 成立,求实数 a,b,c 的值; Sn Tn (3)对(2)中的实数 a,b,c,用数学归纳法证明:对任意 n2 且 nN N*, an2bnc Sn 都成立 1 1 解:(1)因为(x1)·(x2 )··(xn ) 1 (1x)(12x)··(1nx) n! 1 1(12n)xn!xn, n! 2 n1 12n 2 所以 Sn . n! n1! T2 2 T3 11 T4 7 (2)由题意及(1)可知 , , , S2 3 S3 6 S4 2 Tn 又 an2bnc, Sn 1 1 1 则Error!解得 a ,b ,c . 4 12 6 (3)证明:当 n2 时,由(2)知等式成立 假设当 nk(kN N*,且 k2)时,等式成立, Tk 1 1 1 即 k2 k . Sk 4 12 6 当 nk1 时,由 1 1 1 f(x)(x1)( ·· k1) x2 ) (x k )(x 1 1 1 x1( · k1) x2 ) x ··( k ) (x 1 1 ( k1)知 SkxTkx2xk)(x k! 1 Tk1Sk Tk k1 k1 2 1 1 1 1 k1! 6), 1 k2 k1( k 4 12 k1 2 1 1 1 1 k1! k1( k 2 6) 1 k Tk1 4 12 所以 Sk1 k11 2 k! k 3k2k2 k3k5 k2( 12 ) . k1 12 1 1 1 k3k5 又 (k1)2 (k1) 上式, 4 12 6 12 Tk1 1 1 1 即等式 (k1)2 (k1) 也成立 Sk1 4 12 6 Tn 综上可得,对任意 n2 且 nN N*,都有 an2bnc 成立 Sn B 组大题增分练 1(2018·南通、泰州一调)用数学归纳法证明:当 xN N*时,cos xcos 2xcos 3x 3 1 sin( 2 )x n 1 cos nx (xR R,且 x2k,kZ Z) 1 2 2sin x 2 证明:当 n1 时, 1 sin(1 2 )x 1 等式右边 1 2 2sin x 2 1 1 sin( 2 )xsin( 2 )x 1 1 1 2sin x 2 1 1 1 1 ( x)( x) sin xcos xcos xsin sin xcos xcos xsin 2 2 2 2 1 2sin x 2 cos x等式左边,等式成立 假设当 nk 时等式成立, 即 cos xcos 2xcos 3xcos kx 1 sin( 2 )x k 1 . 1 2 2sin x 2 那么,当 nk1 时, 有 cos xcos 2xcos 3xcos kxcos(k1)x 1 sin( 2 )x k 1 cos(k1)x 1 2 2sin x 2 1 1 sink1x x 2sin xcosk1x 2 2 1 1 2 2sin x 2 1 1 1 1 1 sin(k1)xcos xcos(k1)xsin x2sin xcos(k1)x÷2sin x 2 2 2 2 2 1 1 sink1xcos xcosk1xsin x 2 2 1 1 2 2sin x 2 4 1 sin( 2) k1 x 1 , 1 2 2sin x 2 这就是说,当 nk1 时等式也成立 根据和可知,对任何 nN N*等式都成立 2已知数列an共有 3n(nN N*)项,记 f(n)a1a2a3n.对任意的 kN N*,1k3n, 都有 ak0,1,且对于给定的正整数 p (p2),f(n)是 p 的整数倍把满足上述条件的数列 an的个数记为 Tn. (1)当 p2 时,求 T2的值; 1 (2)当 p3 时,求证:Tn 8n2(1)n 3 解:(1)由题意,当 n2 时,数列an共有 6 项 要使得 f(2)是 2 的整数倍,则这 6 项中,只能有 0 项、2 项、4 项、6 项取 1, 故 T2C06C26C46C 2532. 6 (2)证明:由题意及(1)的分析可知, 当 p3 时,TnC30nC33nC36nC . 3n 当 1kn,kN N*时, C3n3k 3C3n3k 2C 3kn12 C3nk1C3n3k 1C3nk1C3nk12 2C3kn1C3n3k 1C3kn21 2(C3k3n 1C3k3n 2)C3k3n 1C C C 3nk 3k3n 3 3k3n 2 3(C3k3n 1C3k3n 2)C C , 3nk 3k3n 3 于是 Tn1C3n03C3n33C3n63C 3n3 C3n03C 3(C C C C C C )TnC TnC 3n3 31n 32n 34n 35n 3n3n 2 3n3n 1 30n 3n 2Tn3(23nTn) 3×8nTn. 1 下面用数学归纳 法证明 Tn 8n2(1)n 3 1 当 n1 时,T1C03C32 812(1)1, 3 即 n1 时,命题成立 假设 nk (k1,kN N*) 时,命题成立, 1 即 Tk 8k2(1)k 3 则当 nk1 时, 5 1 Tk13×8kTk3×8k 8k2(1)k 3 1 9×8k8k2(1)k 3 1 8k12(1)k1, 3 即 nk1 时,命题也成立 1 于是当 nN N*,有 Tn 8n2(1)n 3 3(2018·扬州调研)在数列an中,ancos (nN N*) 3 × 2n2 (1)试将 an1表示为 an 的函数关系式; 2 (2)若数列bn满足 bn1 (nN N*),猜想 an 与 bn 的大小关系,并证明你的结论 n·n! 2 解:(1)ancos cos 3 × 2n2 3 × 2n1 2( 3 × 2 n1)21, cos an1 an2an211,an1± , 2 an1 又 nN N*,n12,an10,an1 . 2 1 (2)当 n1 时,a1 ,b1121,a1b1; 2 1 1 1 当 n2 时,a2 ,b21 ,a2b2; 2 2 2 3 1 8 当 n3 时,a3 ,b31 ,a30, k·k! k12 2 即证 k1·k1! 20, kk1·k1! 显然成立 nk1 时,结论也成立 综合可知:当 n3 时,anbn 成立 综上可得:当 n1 时,a1b1;当 n2 时,a2b2; 当 n3,nN N*时,anbn. 4(2018·南通二调)设 n2,nN N*.有序数组(a1,a2,an)经 m 次变换后得到数组 (bm,1,bm,2,bm,n),其中 b1,iaiai1,bm,ibm1,ibm1,i1(i1,2,n),an 1a1,bm1,n1bm1,1(m2)例如:有序数组(1,2,3)经 1 次变换后得到数组(12,23,3 1),即(3,5,4);经第 2 次变换后得到数组(8,9,7) (1)若 aii(i1,2,n),求 b3,5的值; m (2)求证:bm,i aijCjm,其 中i1,2,n.(注:当ijknt时,kN N*,t1,2, j0 n,则 aijat) 解:(1)当 n2,3,4时,b3,5值不存在; 当 n5 时,依题意,有序数组为(1,2,3,4,5) 经 1 次变换为:(3,5,7,9,6), 经 2 次变换为:(8,12,16,15,9), 经 3 次变换为:(20,28,31,24,17), 所以 b3,517; 当 n6 时,同理得 b3,528; 当 n7 时,同理得 b3,545; 当 n8 时,nN N*时, 依题意,有序数组为(1,2,3,4,5,6,7,8,n) 经 1 次变换为:(3,5,7,9,11,13,15,n1), 经 2 次变换为:(8,12,16,20,24,28,n4), 经 3 次变换为:(20,28,36,44,52,n12), 7 所以 b3,552. m (2)证明:下面用数学归纳法证明对 mN N*,bm,i aijCjm,其中 i1,2,n. j0 1 当 m1 时,b1,iaiai1 aijCj1,其中 i1,2,n,结论成立; j0 k 假设 mk(kN N*)时,bk,i aijCjk,其中 i1,2,n. j0 则 mk1 时, k k bk1,ibk,ibk,i1 aijCjk aij1Cjk j0 j0 k k1 aijCjk aijCjk 1 j0 j1 k aiC0k aij(CjkCjk 1)aik1Ck j1 k aiCk01 aijCkj 1aik1Ck1 j1 k1 aijCkj 1, j0 所以结论对 mk1 时也成立 m 由知,mN N*,bm,i aijCjm,其中 i1,2,n. j0 8 9

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