第4章方差分析.ppt

第四章 方差分析 Analysis of Variance,4.1 方差分析的基本原理 4.2 单因素方差分析 4.3 无重复两因素方差分析 4.4 有重复两因素方差分析,主要内容：,4.1 方差分析的基本原理,英国著名统计学家 R.A.FISHER,方差是描述变异的一种指标，方差分析也就是对变异的分析。,方差分析是判断多组数据（ K3 ）之间平均数差异是否显著的一种假设测验方法。2个样本平均数可用 t 或U测验的方法来评定其差数的显著性。如果有K个平均数，且K3，若仍然用两两比较的方法来测验，则需要作K(K-1)/2次测验，如果K10，则需要45次测验，不但测验程序繁琐，而且在理论上，其显著水平已经扩大了。因此，对于多样本平均数的假设测验，需采用一种更为合适的统计方法，即方差分析法（Fisher, 1923）。,方差：它是误差平方和除以自由度的商。,方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释，通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。,方差分析基本思想：,方差分析中的有关术语：,1、试验指标 在试验设计中，根据试验目的而选定的用来考察或衡量试验效果的特性值称为试验指标。,2、试验因素 在试验或生产过程中，对试验的特性值可能有影响的原因或要素称为因素，也叫做因子，是进行试验时重点考察的内容。,3、因素的水平 在试验设计中，所选定因素的状态和条件的变化，可能引起指标特性值的变化，这种因素变化的各状态和条件称为水平。,(1) 随机误差 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 (2) 系统误差 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于因素本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差,4、两类误差:,方差：数据的误差平方和 (1) 组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 组内方差只包含随机误差 (2) 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差,5、两类方差,4.2 单因素方差分析,一、方差分析的数学模型,假设某单因素试验有k个处理，n次重复，完全随机设计，则共有nk个观察值，其数据结构和符号如表4-1所示。,其中：,为第i 个处理观测值总体平均数；,为试验误差、相互独立、且服从正态分布N（0，2）。,若令,则（4-1）式可以改写为,（4-2）,可表示为：,（4-1）,其中， 为全试验观测值总体平均数；,是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。,显然有,在此，将（4-2）式叫做单因素完全随机设计试验资料的数学模型。,: 表示为总平均数、处理效应i、试验误差ij 之和。 由ij相互独立且服从正态分布N（0，2），可知各处理Ai (i=1，2，k) 所属总体 亦 应 具 正 态 性 ， 即 服 从 正 态 分 布N(i ,2) 。尽管各总体的均数可以不等或相等，2则必须是相等的。,因此，单因素方差分析的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity） 分布的正态性（normality） 方差的一致性（homogeneity）,每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 观察值是独立的,二、方差分析的基本假定,三、问题的一般提法,设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1 , 2, , k 表示 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设： H0 ： 1 2 k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等,单因素方差分析的数据结构,四、分析步骤,提出假设 构造检验统计量 统计决策,一般提法 H0 ： m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1 ： m1 ，m2 ， ，mk不全相等 自变量对因变量有显著影响 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等,构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS),: 计算水平的均值,假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为,式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值,: 计算全部观察值的总均值,全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为, : 计算总误差平方和 SST,全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为, ：计算水平项平方和 SSA,各组平均值 与总平均值 的离差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为,：计算误差项平方和 SSE,每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为,：三个平方和的关系,总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系,SST = SSA + SSE,: 三个平方和的作用,SST反映全部数据总的误差程度；SSE反映随机误差的大小；SSA反映随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小,: 计算均方MS,各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差 计算方法是用误差平方和除以相应的自由度 三个平方和对应的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k,: 计算均方 MS,1. 组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为,组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式为,: 计算检验统计量 F,将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即,: F分布与拒绝域,如果均值相等，F=MSA/MSE1, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策 根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响 若FF ，则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素对观察值没有显著影响,单因素方差分析表,4.3 无重复两因素方差分析,分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验结果的影响 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication) 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with replication ),两因素方差分析的类型：,无重复两因素方差分析的数据结构：,因 素, 是行因素的第i个水平下各观察值的平均值, 是列因素的第j个水平下的各观察值的均值, 是全部 kr 个样本数据的总平均值,分析步骤(一): 提出假设,提出假设 对行因素提出的假设为 H0： m1 = m2 = = mi = = mk (mi为第i个水平的均值) H1： mi (i =1,2, , k) 不全相等 对列因素提出的假设为 H0： m1 = m2 = = mj = = mr (mj为第j个水平的均值) H1： mj (j =1,2,r) 不全相等,分析步骤(二): 构造检验的统计量,计算平方和(SS) 总误差平方和 行因素误差平方和 列因素误差平方和 随机误差项平方和, 总离差平方和(SST )、水平项离差平方和 (SSR和SSC) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系,SST = SSR +SSC+SSE,计算均方(MS) 误差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 总离差平方和SST的自由度为 kr-1 行因素的离差平方和SSR的自由度为 k-1 列因素的离差平方和SSC的自由度为 r-1 随机误差平方和SSE的自由度为 (k-1)×(r-1),计算均方(MS) 行因素的均方，记为MSR，计算公式为 列因素的均方，记为MSC ，计算公式为 随机误差项的均方，记为MSE ，计算公式为,计算检验统计量(F) 检验行因素的统计量 检验列因素的统计量,分析步骤(三): 统计决策, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策 根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临界值 F 若FRF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响 若FC F ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著影响,无重复双因素方差分析表,交互作用： 有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，我们称这种联合作用为交互作用。 例：考虑氮肥（N）和磷肥（P）对豆类增产的效果,从表中可以看出，加4斤磷肥，亩产增加50斤；加6斤氮肥，亩产增 加30斤；而同时加两种肥料，亩产增加160斤，而不等于分别增加的 503080斤。这就是交互作用。 这里交互作用起加强作用，大小为： （560400）（430400）（450400）=80（斤）,4.4 有重复两因素方差分析,有重复两因素方差分析的数据结构：,可重复双因素分析表,可重复双因素分析：平方和的计算,设： 为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l 次的观察值 为行因素的第i个水平的样本均值 为列因素的第j个水平的样本均值 对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个水 平组合的样本均值 为全部n个观察值的总均值 为重复试验次数,总平方和： 行变量平方和： 列变量平方和： 交互作用平方和： 误差项平方和：,