高阶导数和函数的微分.ppt

基本求导公式 导数的四则运算法则 复合函数的求导法,复 习,前面我们学习了函数的各种求导法。显然y=x2 的导数是y=2x，而y=2x这个函数仍然可导，(2x) =2.,定义2.2 对于函数y=f(x)，若其导数y= f (x)可导，则称y= f (x)的导数f (x)为函数y=f(x)的二阶导数， 记作： y或f (x)或或y(2)。 即： y=(y)，f (x)=f (x)。,同样地，若函数y=f(x)可导，且其导数y= f (x)仍然可导，即f (x)存在，则称f (x)为函数y=f(x)的二阶导数。,§2.4 高阶导数,类似地，若函数y=f(x)的二阶导数y仍可导，则称y的导数为y=f(x)的三阶导数， 记作： y(3) ，即y(3) =(y)。 依此类推，若函数y=f(x)的n1阶导数y( n1) 可导，则称y( n1)的导数为y=f(x)的n阶导数， 记作： y( n) ，即y( n) =y( n1) 。 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。,例1 设y=ln(22x)，求y,解 先求一阶导数,y=ln(2 2x),再求二阶导数,y =(y),例2 设y(6)=x2sinx，求y(8),解,=2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(sinx),=2sinx+4xcosx x2sinx,例3 求下列函数的n阶导数：,（1）y=sinx; （2）y=xn.,(1) 解:,一般地 ,类似可证:,（2）,y=(xn) ,=nx n1,y =(nxn1) ,=n(n1)xn2,y =n(n1)xn2,=n(n1)(n2)xn3,于是，可知,y (n),=n(n1)(n2)1,=n！,练习：,1.求下列函数的二阶导数 （1）y=exlnx （2）y=x2 e-2x （3）y =,2.求 y = e 2x，(nN)的n阶导数,§2.5 函数的微分,一、微分概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,定义,设函数y=f(x)在点x可导,自变量在点x的改变量为x，,则乘积函数f (x) x称为函数y=f(x)在点x的微分，,记为dy.,即,dy= f (x) x,这时，也称函数y=f(x)在点x可微。,对函数y=x，,由于,y =(x)=1 ，,因而,dy=dx=1 x = x,于是，函数y=f(x)的微分，一般记为,dy=f (x) dx,即函数在点x的微分等于函数在点x的导数与自变量微分的乘积。,改写为,导数又称为微商。,练习：,函数y=f(x)可微的充分必要条件是,函数y=f(x)可导。,函数y=f(x)在点x0的微分记为,dy|x=x0,即,dy|x=x0 = f (x0) dx,例1 若y =f(x) =x2，求x =1, x =0.01时函数的改变量y与微分dy .,解,由上述条件，,x =1, x =0.01，,因此,y = f(1+x)f(1),= (1+x)212,= 0.0201,当x =1, x = 0.01时，,f (1)= (x2)|x=1=2x|x=1=2，,于是,dy = f (1) x = 20.01= 0.02,设y =x2+x，求在x =1, x =0.1 ，x =0.01时函数改变量y与微分dy .,定理,二、微分计算,dy= f (x) dx,例2 求下列函数的微分：,解 （1）由于,所以,（2）由于,所以,（3）由于,所以,练习:,求下列函数的微分：,小结,3.函数微分的求法,1.求导法则及其应用,2.高阶导数,理解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法,dy= f (x) dx,dy|x=x0 = f (x0) x,作业,P51 A组 1 2(1) P53 A组 2 (3) (5) (6) 3 (书上) B组 2,