甘肃省甘谷第一中学2019届高三数学下学期第十二周实战演练试题理20190529026.wps

甘谷一中 2018201920182019 学年第二学期高三第十二周实践演练 数学（理） 第 I 卷（选择题） 一单选题。本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合 A 1, 0,1, 2, 3， ，则 B x x2 3x 0 A B A1 B1, 0 C1, 3 D1, 0, 3 2若复数 z 满足1 2iz 1 i ，则 z 2 3 10 A B C D 5 5 5 10 3在等差数列 中，已知 ，前 项和 S ，则公差 d a a 7 n 2 2 7 56 A 2 B3 C 2 D 3 2 0 x y ， 4已知变量 x ， y 满足 x 2y 3 0 则 的最大值为 ， z 2x y y 0， A 0 B 4 C5 D 6 1 9 3 5 的展开式中 x 的系数为 x 2 x 9 21 9 A B C D 2 2 2 21 2 6.第 24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进 行设计的，如图， 会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 方形设直角三角形的一个锐角为 ，且 tan2，若在大正方形 内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（ ） A B C D 7 .已知直线 y kx 2 与曲线 y xln x 相切，则实数 k 的值为 A ln 2 B1 C1 ln 2 D1 ln 2 - 1 - 8. 某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 名，乙大学 2 名，丙大学 1 名，并 且 甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象， 则 不同的推荐方法共有 A36种 B24种 C22 种 D20 种 0 9.将函数 2sin sin 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数 y x x 3 6 恰为奇函数，则 的最小值为 A B C D 6 12 4 3 10.如图所示，某几何体由底面半径和高均为 3 的圆柱与半径为 3 的 半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的 上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ） A 27 B32 C 45 D 64 x y 2 2 11在直角坐标系 xOy 中，设 F 为双曲线 C ： 2 2 1( 0, 0) 的右焦点， P 为双 a b a b 曲线C 的右支上一点，且OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 2 3 A 3 B C1 3 D 2 3 3 12对于定义域为 R 的函数 f x，若满足 f 0 0； 当 xR ，且 x 0 时，都有 xf x 0 x x f x f x f x x x 1 0 2 1 2 1 2 ； 当 ，且 时，都有 ，则称 “为 偏对 3 称 函 数 ” 现 给 出 四 个 函 数 ： f x x x ； ； f x x x 3 2 1 2 e 1 2 ln x 1 , x 0, f x f x 3 4 2x, x 0; 1 1 , 0, x x 2 1 2 x 0, x 0. 则其中是“偏对称 ”函数 的函数个数为 A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 - 2 - 13已知向量 a x, x 2， b 3, 4，若 a A b ，则向量 a 的模为_ 2 1 2 14在各项都为正数的等比数列 中，若 ，则 的最小值为_ a a n 2018 2 a a 2017 2019 15 过 抛 物 线 C ： y2 2px (p 0)的 焦 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 A ， B 两 点 若 AF 6 BF 3 p ， ，则 的值为_ 16如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某三棱锥的三 视图，则该三棱锥的外接球的表面积为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分12分） ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且满足 a 2， acos B (2c b) cos A （1）求角 A 的大小； （2）求 ABC 周长的最大值 18.（本小题满分 12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才对 20 位已经选拔入围的学生 进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如 下表： 思 维 能 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生 力 一般 良好 优秀 有 4 人由于部分数据丢失，只知道从这 20 位参加测试的 协 调 能 学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优 2 秀的学生的概率为 5 力 一般 2 2 1 ()求 a, b 的值； 良好 4 b 1 ()从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，设运动协调 能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 ，求随机变量 优秀 1 3 a 的分布列及其数学期望 E 19.（本小题满分 12分）如图，已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA 底面 ABCD ， ED A PA，且 PA 2ED 2 P （1）证明：平面 PAC 平面 PCE ； E （2）若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45o ，求二面 P CE D 的余弦 AD B C - 3 - 值 x y 1 C : 1 a b 0 2 2 20.（本小题满分 12分）已知椭圆 的离心率为 ，以短轴的一个 a b 2 2 2 端点与两个焦点为顶点的三角形面积为 3 ，过椭圆C 的右焦点作斜率为 k k 0的直线l 与 椭圆C 相较于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P . （1）求椭圆C 的标准方程； 1 （2）过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 ,0 ，求 k 的值. D 7 21已知函数 f (x) ln(x 1) ax2 x (a 0) ， （1）讨论函数 f (x) 的单调性. 1 （2）若对于任意的 a1 ,2，当 时，不等式 恒成立，求实数 x , 1 f (x) ln a m m 2 的取值范围. （二）选考题： x cos ， 22（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 （ 为 C 1 y 2 sin x 2x ， 参数），将曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 在以原点为极点， 轴正半轴为极 C C x 1 2 y y 轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 cos sin 10 0 （1）说明曲线 是哪一种曲线，并将曲线 的方程化为极坐标方程； C C 2 2 （2）已知点 M 是曲线C 上的任意一点，求点 M 到直线l 的距离的最大值和最小值 2 23（本小题满分 10分）选修 45：不等式选讲 已知函数 f (x) | x a | （1）当 a 1时，求不等式 f (x) 2x 1 1的解集； （2）若函数 g(x) f (x) x 3 的值域为 A ，且2,1 A，求 a 的取值范围 12 周理科数学试题答案及评分参考 一选择题 - 4 - 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B A B D B A B C C 二填空题 1310 144 154 1611 三、解答题 17（1）解法 1：由已知，得 acos B bcos A 2ccos A 由正弦定理，得sin Acos B sin Bcos A 2sinC cos A 1分 即sin(A B) 2sinC cos A2 分 sinC 2sinC cos A 4分 1 因为sinC 0 ，所以 cos A 5分 2 因为 0 A ，所以 A 6 分 3 解 法 2：由已知根据余弦定理，得 a c b b c a 2 2 2 2 2 2 a 2c b 2ac 2bc 1 分 即b2 c2 a2 bc 3 分 b2 c2 a2 1 所以 cos A 5 分 2bc 2 因为 0 A ， 所以 A 6分 3 （2）解法 1：由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A， 得bc 4 b2 c2 ，7 分 即 (b c)2 3bc 48 分 b c 2 因为bc ，9 分 2 所以 ( )2 3 ( )2 4即 （当且仅当 时等号成立）11分 b c b c b c 4 b c 2 4 所以 a b c 6故 ABC 周长 a b c 的最大值为 6 12分 a b c 解法 2：因为 2R ，且 a 2 ， A ， sin A sin B sinC 3 所以 ， 8 分 b 4 3 B 4 3 sin sin c C 3 3 - 5 - 所以 9分 a b c 4 3 B C 2 4 3 sin sin 2 2 sin sin B B 3 3 3 2 4sin B 6 10分 2 因为 ，所以当 时， 取得最大值 0 B B a b c 6 3 3 故 ABC 周长 a b c 的最大值为 6 12 分 18 解 析：()设事件 A ：从 20 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力 优秀的学生运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6 a) 人 6 a 2 P(A) 则 解得 3 分 a 2 20 5 所以b 4 5 分 () 的可能取值为 0 ，1， 2 6 分 20 8 位学生中有 人是运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 C 33 C C 48 2 1 1 P( 0) 12 P( 1) 12 8 所以 ， ， C 95 C 95 2 2 20 20 C 2 P( 2) 8 C 2 20 14 95 10 分 所以 的分布列为 33 48 14 76 4 所以， E 0 12分 1 2 95 95 95 95 5 19.（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设 PC 中点为 F ，连接OF ， EF 因为 O ， F 分别为 AC ， PC 的中点，所以 OF A PA，且 OF PA DE A PA 1 1 DE PA ，因为 ，且 ， 2 2 P 所以OF A DE ，且OF DE 1 分 F E A O D - 6 - B C 平行四边形OFED ，所以OD A EF ，即 BD A EF 2 分 因为 PA 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，所以 PA BD 因为 ABCD 是菱形，所以 BD AC 因为 PA AC A，所以 BD 平面 PAC 4 分 因为 BD A EF ，所以 EF 平面 PAC 5 分 因为 FE 平面 PCE ，所以平面 PAC 平面 PCE 6分 (2)：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45 ，且 PA 平面 ABCD ， 所以 PCA 45 ，所以 AC PA 2 7 分 因为 AB BC 2，所以 ABC 为等边三角形 因为 PA 平面 ABCD ，由（1）知 PA/OF ， 所以OF 平面 ABCD 因为OB 平面 ABCD ，OC 平面 ABCD ，所以OF OB 且OF OC 在菱形 ABCD 中，OB OC 以OB ，OC ，OF 为轴，建立坐标系O xyz 如图则 P z O(0, 0, 0), P(0,1, 2),C(0,1, 0), D( 3, 0, 0), E( 3, 0,1) ， 则 E CP (0,2, 2),CE ( 3,1,1),CD ( 3,1, 0) 9分 设平面 PCE 的法向量为 n (x , y , z ) ， 1 1 1 A O D n CP 0, 则 即 n n 2y 2z 0, 1 1 3x y z 0. 1 1 1 x BC y 则法向量 n 0,1,1 10分 设平面CDE 的法向量为 m (x , y , z ) ， 2 2 2 m CE 0, 则 m CD 0, 3x y z 0, 2 2 2 3x y 0. 2 2 m 1, 3,0 11 分 设二面角 P CE D 的大小为 ，由于 为钝角， nm 3 6 则 cos cos n,m n m 2 2 4 - 7 - 所以二面角 P CE D 的余弦值为 6 12 分 4 c a 1 2 , 20（1）设焦距为 2c ，则 bc 3, 解得 a 2,b 3,c 1， a b c 2 2 2, x y 2 2 椭圆C 的方程为 1. 5 分 4 3 （2）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为 y k x 1， x y 2 2 将其代入 中得， ， 1 2 2 2 2 3 4k x 8k x 4k 12 0 4 3 8k 4k 12 2 2 设 ，则 ，7 分 x x , x x A x1, y1 , B x2 , y2 1 2 2 1 2 2 3 4k 3 4k 8k 6k 3 ， y y k x x 2k 2k 1 2 1 2 2 2 3 4k 3 4k 2 4k 3k P 为线段 AB 的中点，点 P 的坐标为 , ，8 分 3 4k 3 4k 2 2 1 又直线 PD 的斜率为 ， k 3k 1 4k 直线 PD 的方程为 y x ，9 分 2 2 2 3 4k k 3 4k 2 2 k k 令 y 0得， ，由点 D 的坐标为 2 ,0 ，10 分 x 3 4k 3 4k 2 k 1 2 则 ，解得 . 12 分 = k 1 3 4k 7 2 21，（1）,因为 的定义域是 ， 当 时， 在 ， 单调递增； 在 单调递减. 当 时， ， 在 单调递增. - 8 - 当 时， 在 ， 单调递增； 在 单调递减. （2）由（2）可知当 时， 在 单调递增，所以 在 单调递增. 所以对于任意的 的最大值为 ， 要使不等式 在 上恒成立，须 ， 记 ，因为 ， 所以 在 上递增， 的最大值为 ，所以 . 故 的取值范围为 . x cos 22解：（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）， C 1 y 2 sin x 2x， x 2 cos ， 因为 ，则曲线 的参数方程 2 分 C y y. y 2 sin. 2 所以C2 的普通方程为 3 分 x2 y2 4 所以C2 为圆心在原点，半径为 2的圆4 分 所以C2 的极坐标方程为 2 4 ，即 2 5 分 （2）解法 1：直线l 的普通方程为 x y 10 06 分 曲线 上的点 到直线 的距离 C M l 2 d |2 2cos(+ ) 10| |2cos 2sin 10| 4 2 2 8 分 |2 2 10| 当 cos + =1即 时， 取到最小值为 9 分 =2k k Z d =5 2 2 4 4 2 3 |2 2+10| 当cos + = 1即 k k 时， 取到最大值为 10分 = 2 Z d =25 2 4 4 2 解法 2：直线l 的普通方程为 x y 10 06 分 | 0 0 10 | 因为圆 的半径为 2，且圆心到直线 的距离 ，7 分 C l d 5 2 2 2 因为5 2 2，所以圆 与直线 相离8 分 C l 2 所 以 圆 上 的 点 到 直 线 的 距 离 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 C M l d r 5 2 2 2 d r 5 2 2 10分 - 9 - 23解：（1）当 a 1时， f (x) | x 1|1 分 当 x 1时，原不等式可化为 x 1 2x 2，解得 x 12 分 1 x 1 2x 2 x 1 1 x 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时原不等式无解3 2 分 1 x x 1 2x x 1 当 时，原不等式可化为 ，解得 4 分 2 综上可知，原不等式的解集为x x 1或 x 15 分 a x 3 , 3, （2）解法 1：当 a 3时， 6 分 g x 2x a 3, 3 x a, a 3, x a. 所以函数 g x的值域 A a 3,3 a， a 3 2， 因为2,1 A，所以 解得 a 17 分 3 a 1， 3 a, x a, 当 a 3时， 8分 g x 2x a 3, a x 3, a 3, x 3. 所以函数 g x的值域 A 3 a,a 3， 3 a 2 ， 因为2,1 A，所以 解得 a 59 分 a 3 1， 综上可知， a 的取值范围是,15, 10分 解法 2：因为 | x+a | | x+3| x+a (x+3) a 3 ，7 分 所以 g x f (x) | x+3 | x+a | | x+3 | | a 3 |,| a 3 | 所以函数 g(x) 的值域 A | a 3 |,| a 3|8 分 | a 3| 2 ， 因为2,1 A，所以 解得 a 1或 a 5 | a 3| 1， 所以 a 的取值范围是,15, 10分 - 10 - - 11 -