1982年全国高中数学联赛试题及解答.pdf

试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1982 年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1选择题(本题 48 分，每一小题答对者得 6 分，答错者得 0 分，不答者得 1 分)： 如果凸 n 边形 F(n4)的所有对角线都相等，那么 AF四边形 BF五边形 CF四边形五边形 DF边相等的多边形内角相等的多边形 极坐标方程 =所确定的曲线是 1 1cos + sin A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 如果 log2log (log2)=log3log (log3x)= log5log (log5x)=0，那么 1 2 1 3 1 5 Azcoscoscos Csincoscoscossin Dsincos0，N=(x，y)|arctanx+arccoty=，那么 AMN=(x，y)| |xy|=1 BMN=M CMN=N DMN=(x，y)| |xy|=1，且 x，y 不同时为负数 当 a，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：(a+ )(b+ )， 乙：(+)2， 丙：(+)2 1 a 1 b ab 1 ab a + b 2 2 a + b 中间，值最大的一个是 A必定是甲 B必定是乙 C必定是丙 D一般并不确定，而与 a、b 的取值有关 2(本题 16 分)已知四面体 SABC 中， ASB=，ASC=(0v点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别 为 M、N 求证：|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为 1、9、8、2 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1982 年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1选择题(本题 48 分，每一小题答对者得 6 分，答错者得 0 分，不答者得 1 分)： 如果凸 n 边形 F(n4)的所有对角线都相等，那么 AF四边形 BF五边形 CF四边形五边形 DF边相等的多边形内角相等的多边形 解：由正方形及正五边形知 A、B 均错，由对角线相等的四边形形状不确定，知 D 错，选 C 极坐标方程 =所确定的曲线是 1 1cos + sin A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解：=，知 e=，选 C 1 1 2cos( + f(,4) 2 如果 log2log (log2)=log3log (log3x)= log5log (log5x)=0，那么 1 2 1 3 1 5 Azcoscoscos Csincoscoscossin Dsincossin由 00，N=(x，y)|arctanx+arccoty=，那么 AMN=(x，y)| |xy|=1 BMN=M CMN=N DMN=(x，y)| |xy|=1，且 x，y 不同时为负数 解：M 是双曲线 xy=±1 在第一、四象限内的两支； 由 arctanx=arccoty， x= ， xy=1， 若 x0即 N 是 xy=1 在第四象限的一支故选 B 当 a，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：(a+ )(b+ )， 乙：(+)2， 丙：(+)2 1 a 1 b ab 1 ab a + b 2 2 a + b 中间，值最大的一个是 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 A必定是甲 B必定是乙 C必定是丙 D一般并不确定，而与 a、b 的取值有关 解：甲乙，但甲、丙大小不确定故选 D 2(本题 16 分)已知四面体 SABC 中， ASB=，ASC=(00，于是此方程有两个不等实根 x1，x2，即为 M、N 的横坐标 r 2 由韦达定理，知 x1+x2=(2a2r) |AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NQ|=x2+a |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r证毕 又证：作 MCAB，NDAB，垂足为 C、D则 AN2=ADAB，AM2=ACAB， AN2AM2=(ADAC)AB=CDAB AN2AM2=(AN+AM)(ANAM)=(AN+AM)(NQMP)=(AN+AM)CD 比较得，AN+AM=AB 4 (本题 20 分)已知边长为 4 的正三角形 ABC D、 E、 F 分别是 BC、 CA、 AB 上的点， 且|AE|=|BF|=|CD|=1， 连结 AD、BE、CF，交成RQS点 P 在RQS 内及边上移动，点 P 到ABC 三边的距离分别记作 x、y、z 求证当点 P 在RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小值； 求上述乘积 xyz 的极小值 解： 利用面积，易证： 当点 P 在ABC 内部及边上移动时，x+y+z 为 定值 h=2；3 过 P 作 BC 的平行线 l，交ABC 的两边于 G、H当点 P 在线段 GH 上 移动时，y+z 为定值，从而 x 为定值 设 y，m 为定值则函数 u=y(my)在点 y= 或 y= 时取得极小 G H l z x y E F BC D A P Q R S A C B S D E F 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 值 于是可知，过 R 作 AB、AC 的平行线，过 Q 作 AB、BC 的平行线，过 S 作 BC、AC 的平行线，这 6 条平行线交得六边形 STRUQV，由上证，易得只有 当点 P 在此六点上时，xyz 取得极小值由对称性易知，xyz 的值在此六点处相 等 由··=1，得=，x=· h=h，y=h=h，z=h EA AC CD DB BS SE BS BE 12 13 12 13 3 4 9 13 SE BE 1 13 3 13 xyz=()3h3= 3 13 648 2197 3 5 (本题 20 分)已知圆 x2+y2=r2(r 为奇数)， 交 x 轴于点 A(r， 0)、 B(r， 0)， 交 y 轴于 C(0， r)、 D(0， r) P(u， v) 是圆周上的点，u=pm，v=qn(p、q 都是质数，m、n 都是正整数)，且 uv点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别 为 M、N 求证：|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为 1、9、8、2 证明：p2m+q2n=r2 若 p=q，则由 uv，得 mn，于是 p2n(p2(mn)+1)=r2，这是不可能 的 (因p2(mn)与p2(mn)+1都是完全平方数，它们相差1， 故必有p2(mn)=0， 矛盾 ) 故 pq，于是(p，q)=1若 p、q 均为奇数，则 p2q21(mod 4)， 与 r20 或 1 矛盾故 p、q 必有一为偶数即 p、q 必有一个=2(或直 接由 r 为奇数得 p、q 一奇一偶，其实 r 为奇数的条件多余) 设 p=2，则 q2n=r222m=(r+2m)(r2m) 即 r+2m与 r2m都是 q2n的约数设 r+2m=qk，r2m=qh，其中 kh1，k+h=2n r= (qk+qh)= qh(qkh+1)，2m= (qkqh)= qh(qkh1)，但 qh是奇数，又是 2m+1的约数，故 h=0r= 1 2 1 2 1 2 1 2 (q2n+1)，2m+1=q2n1=(qn+1)(qn1) 1 2 qn+1=2，qn1=2(+=m+1，)，而 2=22=2(21)，从而 =1，=1，=2 m=2，u=4，qn=3，q=3，n=1，v=3|OP|=5 |AM|=54=1，|BM|=5+4=9，|CN|=5+3=8，|DN|=53=2 若设 q=2，则同法可得 u=3，v=4，与 uv 矛盾，舍去 又证：在得出 p、q 互质且其中必有一为偶数之后 由于(pm， qn)=1， 故必存在互质的正整数 a， b(ab)， 使 a2b2= qn， 2ab= pm， a2+b2=r 或 a2b2=pm， 2ab=qn， a2+b2=r 若 pm=2ab，得 p=2，a|2m，b|2m，故 a=2，b=2，由 a，b 互质，得 =0， b=1，a=2m1 qn=22m21=(2m1+1)(2m11)故 2m1+1=q，2m11=q，(+=n，且 ) 2=qq=q(q1)由 q 为奇数，得 =0，2=qn1，qn=3，从而 q=3，n=1，a2=4a=2， m=2仍得上解 V U T l S R Q A D CB F E