1、专题28以圆为载体的几何综合问题 【例1】（2022河北育华中学三模）如图，在四边形ABCD中，AB90，AD4，BC10，sinC45，以AB为直径作O，把O沿水平方向平移x个单位，得到O，AB为直径AB平移后的对应线段(1)当x0，且M为O上一点时，求DM的最大值；(2)当B与C重合时，设O与CD相交于点N，求点N到AB的距离；(3)当O与CD相切时，直接写出x的值 【例2】（2022黑龙江哈尔滨中考真题）已知CH是O的直径，点A，点B是O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且AOC=2CHB(1)如图1，求证：ODC=OEC；(2)如图
2、2，延长CE交BH于点F，若CDOA，求证：FC=FH；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长【例3】（2022黑龙江绥化中考真题）如图所示，在O的内接AMN中，MAN=90，AM=2AN，作ABMN于点P，交O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E(1)求证：CMACBD(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长(3)在点C运动过程中，当tanMDB=34时，求MENE的值【例4】（2022湖北荆州中考真题）如图1，在矩形ABC
3、D中，AB4，AD3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将OAD沿OD折叠，得到OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OAx(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)当点E落在BD上时，求x的值；(3)当点E落在BD下方时，设AGE与AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；(4)直接写出：当半圆O与BCD的边有两个交点时，x的取值范围25（2022浙江温州中考真题）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BECD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5,BE=3点P，Q分别
4、在线段AB,BE上（不与端点重合），且满足APBQ=54设BQ=x,CP=y(1)求半圆O的半径(2)求y关于x的函数表达式(3)如图2，过点P作PRCE于点R，连结PQ,RQ当PQR为直角三角形时，求x的值作点F关于QR的对称点F，当点F落在BC上时，求CFBF的值一、解答题【共20题】1（2022黑龙江哈尔滨市萧红中学校模拟预测）如图，在O中，AD、BC是弦，OADAOC-OCB=180(1)如图1，求证：ADBC；(2)如图2，如果AD=BC，求证：AC是O直径；(3)如图3，在（2）的条件下，点F在AC上，点E在AB上，AF=CD，BE=CF=4，连接CE、BF交于点G，作HGCE于点
5、G，交BC于点H，SHCG=5，求OF的长2（2022安徽合肥市五十中学新校二模）如图，ABC为O的内接三角形，且AB为O的直径，DE与O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，E=ADC(1)求证：AD平分BAC；(2)若CF=2DF，AC=6，求O的半径r3（2022黑龙江哈尔滨市第八十四中学校一模）如图，ABC内接于O,AD为O的直径，AD交BC于点E，且BE=CE(1)如图1，求证：AD平分BAC；(2)如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：GHPF；(3)如图3，在（2）的条件
6、下，连接DF，且DFB=3PAD，点R在CG上，连接DR，DR交CH于点N，RN=RG,HN=2,DF=10，求DE的长4（2022北京市第十九中学三模）如图，ABC中AB=AC，AD平分BAC交BC于D，以AD为直径的O交AB于点E，交AC于点F(1)求证：BD是O切线；(2)连接EF交OD与G、连接BO交EF于P，连接PC，若O的半径为5，OG=3，求GE和PC的长5（2022上海华东师范大学松江实验中学三模）如图1，在梯形ABCD中，ABC=90,ADBC,AB=4,BC=5,AD=2.动点P在边BC上，过点P作PFCD，与边AB交于点F，过点F作FEBC，与边CD交于点E，设线段BP=
7、x，PF=y(1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(2)当PFE是以PE为腰的等腰三角形时，求BP的值；(3)如图2，作PEF的外接圆O，当点P在运动过程中，外接圆O的圆心O落在PEF的内部不包括边上时，求出BP的取值范围6（2022河北石家庄市第四十四中学三模）如图：在矩形ABCD中，AB=22，AD=16，点O在线段DE上，其中DE=26，EO=6；以OE为半径作圆O交线段AB于点P，并将线段OP绕点O逆时针旋转90得线段OQ（备注：若圆O与AB有两个交点，规定位于点O上方的交点为点P）（1）特例探究：如图1，当点E在射线DA上时，AP=_，点Q到直线DE的距离是_；变式研究：当点E
8、在AD上方时，（2）如图2，当点O落在线段AB上时，求点P、Q到直线DE的距离之比；（3）当圆O与BC边相切时，求线段AP的长；（4）若点O到AB的距离为3，直接写出点Q到AD的距离7（2022湖南长沙市华益中学三模）如图，以AB为直径作O，点C是直径AB上方半圆上的动点，连接AC，BC，过点C作ACB的平分线交O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E(1)当CA=CD时，求E的大小；(2)若O的半径为5，AC=8，求CD的长；(3)如图2，当CD不过点O时，过点O作OMCD交CD于点M，试判断ACBCOM是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由8（2022江苏镇江中考真题）如
9、图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角AEC=66，发现并证明了点E在MN上请你继续完成MN长的计算参考数据：sin66910，cos6625，tan6694，sin331120，cos331113，tan3313209（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若AE=C
10、E，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值10（2022广东深圳中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF/AB, COAB,EF的中点为D,OA=4. (1)如图，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度(2)如图，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，OHM=OHN=45,tanCOH=34,求ON的长度(3)如图，M是线段OB上的动点，MH为入射
11、光线，HOM=50,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长11（2022吉林长春中考真题）如图，在ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线ADDB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、AM设点P的运动时间为t秒(1)点D到边AB的距离为_；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段AD最短时，求DPA的面积；(4)当M、A、C三点共线时，直接写出t的值12（2022江苏常州中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C
12、是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC(1)沿AC、BC剪下ABC，则ABC是_三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由13（2022湖北恩施中考真题）如图，P为O外一点，PA、P
13、B为O的切线，切点分别为A、B，直线PO交O于点D、E，交AB于点C(1)求证：ADE=PAE(2)若ADE=30，求证：AE=PE(3)若PE=4，CD=6，求CE的长14（2022浙江舟山中考真题）如图1在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K求证：KHCH=AKAC(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值15（2022四川凉山中考真题）如图，已知半径为5的M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、
14、AC，AC平分OAM，AOCO6(1)判断M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式16（2021江苏镇江中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，O经过A，B，P三点（1）若BP3，判断边CD所在直线与O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，O交射线AE于点Q，当AP平分EAB时，求tanEAP的值17（2022湖南炎陵县教研室一模）如图1，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点E，连接BE，BD平分ABE交AC于F，交O于点D，且BDE=CBE(1)求证：BC是O的切线；(2)如图2，延
15、长ED交直线AB于点P，若PA=AO求PDDE的值；若DE=2，求O的半径长18（2022湖南长沙市北雅中学模拟预测）如图，ABC内接于O，过O作AB的垂线，垂足为E，交O于F，(1)求证：AF=BF；(2)连CF交AB于M，过E作CF的平行线交BC于D，求证：BD=CD+AC；(3)在（2）条件下，连AD交CF于N，若MN=CN，ED:CD=8:5，EF=9，求AN的长19（2022浙江宁波一模）如图1，在RtABC中，AB=AC=4，ADBC于D，E为AB边上的点，过A、D、E三点的O交AC于F，连接DE，DF(1)求证：AE=CF(2)若tanADF=3，求O的面积(3)如图2，点P为D
16、E上一动点，连接PD，PE，PF若P为DE的中点，设AE为x，PDF的面积为S，求S关于x的函数表达式；在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之间的数量关系，并证明20（2022广东佛山市华英学校三模）如图，ABC内接于O，过点A作AFBC于点F，过点B作BEAC于点E，交AF于点H，延长BE交O于点D，连接AD，且BAD=AHD(1)求证：ABC=3DAC；(2)过点A作AGBD交O于点G，连接BG、GD，GD交AB于点M，连接OM，求证：OMBD；(3)在（2）的条件下，连接EF，若EF=3，AG=5，求OM的长【例1】（2022河北育华中学三模）如图，在四边形ABCD中，AB90，AD
17、4，BC10，sinC45，以AB为直径作O，把O沿水平方向平移x个单位，得到O，AB为直径AB平移后的对应线段(1)当x0，且M为O上一点时，求DM的最大值；(2)当B与C重合时，设O与CD相交于点N，求点N到AB的距离；(3)当O与CD相切时，直接写出x的值 【答案】(1)42+4(2)15425(3)2或12【分析】（1）当x0，连接DO并延长交O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DEBC于E，易证四边形ABED是矩形，可得ABDE，ADBE4，解RtDEC求出DE8，CD10，可得O的半径为4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；（2）当B与C重合时，O与CD相交于点N，则O
18、向右平移了10个单位长度，连接OO，则OO=10，连接AN，过点N作NFAB于点F，如图，解RtABN，求出AN，BN，然后根据等积法求出NF即可解决问题；（3）当O与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则ABED是矩形，AD、CD、BC都是O的切线，根据切线长定理可得AD=PD，BC=PC，求出AD=4x，BC=10x，根据CD=PD+PC=AD+BC列方程求出x即可；当O与CD相切，在CD的右边时，同理求解即可（1）解：如图，当x0，连接DO并延长交O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DEBC于E，ABDEB90，四边形ABED是矩形，ABDE，ADBE4，ECBCBE1046，
19、在RtDEC中，sinCDECD=45，设DE4k，CD5k（k0），由勾股定理得：EC2+DE2=CD2，即62+4k2=5k2，整理得：k2=4，k0，k=2，DE4k8，CD5k10，ABDE8，OAOB4，OD42+42=42，DM=42+4，即DM的最大值为42+4；（2）当B与C重合时，O与CD相交于点N，则O向右平移了10个单位长度，连接OO，则OO=10，连接AN，过点N作NFAB于点F，如图，则ANB=90，在RtCDE中，sinCDE=CECD=35，cosCDE=DECD=45，ABABDE，ABN=CDE，在RtABN中，AB=AB=8，sinABN=ANAB=sinC
20、DE=35，cosABN=BNAB=cosCDE=45，AN=35AB=358=245，BN=45AB=458=325，SABN=12ABNF=12ANBN，NF=ANBNAB=2453258=9625，点N到AB的距离为OONF=109625=15425；（3）当O与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则ABED是矩形，AD、CD、BC都是O的切线，AD=PD，BC=PC，AA=BB=x，AD=4x，BC=10x，CD=PD+PC=AD+BC，10=4x+10x，解得：x=2；当O与CD相切，在CD的右边时，设切点为Q，如图，则ABBA是矩形，AD、CD、BC都是O的切线，AD=QD
21、BC=QC，AA=BB=x，AD=x4，BC=x10，CD=QD+QC=AD+BC，10=x4+x10，解得：x=12；综上，当O与CD相切时，x的值为2或12，故答案为：2或12【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键【例2】（2022黑龙江哈尔滨中考真题）已知CH是O的直径，点A，点B是O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且AOC=2CHB(1)如图1，求证：
22、ODC=OEC；(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CDOA，求证：FC=FH；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF=193【分析】（1）根据SAS证明CODCOE即可得到结论；（2）证明H=ECO即可得出结论；（3）先证明OFCH，连接AH，证明AH=BH，设AG=5x，BG=3x，在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH，证明MHG为等边三角形，得MG=HG=2，根据AG=AM+MG可求出x=1，得AG=5，BG=3，过点H作HNMG于点N，求出HB=19，再证H
23、F=2OF，根据HB=3OF=19可得结论（1）如图1点D，点E分别是半径OA,OB的中点OD=12OA，OE=12OBOA=OB，OD=OEBOC=2CHB，AOC=2CHBAOC=BOCOC=OCCODCOE，CDO=CEO；（2）如图2CDOA，CDO=90由（1）得CEO=CDO=90，sinOCE=OEOC=12OCE=30，COE=90OCE=60H=12BOC=1260=30H=ECO，FC=FH（3）如图3CO=OH，FC=FHOFCH FOH=90连接AHAOC=BOC=60AOH=BOH=120，AH=BH，AGH=60AG:BG=5:3设AG=5x，BG=3x在AG上取点
24、M，使得AM=BG，连接MHHAM=HBG，HAMHBGMH=GH，MHG为等边三角形MG=HG=2AG=AM+MG，5x=3x+2x=1，AG=5BG=AM=3，过点H作HNMG于点NMN=12GM=122=1，HN=HGsin60=3AN=MN+AM=4，HB=HA=NA2+HN2=19FOH=90，OHF=30，OFH=60OB=OH，BHO=OBH=30，FOB=OBF=30OF=BF，在RtOFH中，OHF=30，HF=2OFHB=BF+HF=3OF=19，OF=193【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直
25、角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键【例3】（2022黑龙江绥化中考真题）如图所示，在O的内接AMN中，MAN=90，AM=2AN，作ABMN于点P，交O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E(1)求证：CMACBD(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长(3)在点C运动过程中，当tanMDB=34时，求MENE的值【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【分析】（1）利用圆周角定理得到CMA=ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和
26、NP的长，接着证明COEBPE，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C点作CGMN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可（1）解：ABMN，APM=90，D+DMP=90，又DMP+NAC=180，MAN=90，DMP+CAM=90，CAM=D，CMA=ABC，CMACBD（2）连接OC，MAN=90，MN是直径，MN=10，OM=ON=OC=5，AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，AN=25，AM=45，SAMN=12AMAN=
27、12MNAP，AP=4，BP=AP=4，NP=AN2AP2=2，OP=52=3，MC=NC，OCMN，COE=90，ABMN，BPE=90，BPE=COE，又BEP=CEO，COEBPECOBP=OEPE=CEBE，即54=OEPE=CEBE由OE+PE=OP=3，OE=53，PE=43，CE=OC2+OE2=52+532=5310，BE=BP2+PE2=42+432=4310，BC=5310+4310=310（3）过C点作CGMN，垂足为G，连接CN，则CGM=90，CMG+GCM=90，MN是直径，MCN=90，CNM+DMP=90，D+DMP=90，D=CNM=GCM，tanMDB=34
28、tanCNM=tanGCM=34，tanGCM=GMCG设GM=3x，CG=4x，CM=5x，CN=20x3， NG=16x3，NM=25x3，OM=ON=25x6，AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，AN=553x，AM=1053x，SAMN=12AMAN=12MNAP，AP=103x=PB，NP=53x，PG=163x53x=113x，CGE=BPE=90，CEG =BEP，CGEBPE，CGBP=GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBEGE=2x，PE=53xME=5x，NE=10x3，ME:NE=3:2，MENE的值为32【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的
29、判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题【例4】（2022湖北荆州中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将OAD沿OD折叠，得到OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OAx(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)当点E落在BD上时，求x的值；(3)当点E落在BD下方时，设AGE与AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；(4)直接写出：当半圆O与BCD的边有两个
30、交点时，x的取值范围【答案】(1)见详解(2)32(3)y=9x24x2+36(0x32)(4)32x3或258x4【分析】（1）根据切线的判定定理求解即可；（2）如图，在RtOEB，根据勾股定理列方程求解即可；（3）先证DAOAEG，求出AE，然后证明AEGABF，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解；（4）结合图形，分情况讨论即可求出x的取值范围(1)证明：在矩形ABCD中，DAB=90，OED是OAD沿OD折叠得到的，OED=DAB=90，即OEDE， DE是半圆O的切线；(2)解：OED是OAD沿OD折叠得到的，DE=AD=3,OA=OE=x，OB=ABOA=4x，在RtDAB
31、中，DB=AD2+AB2=32+42=5，EB=DBDE=53=2，在RtOEB中，OE2+EB2=OB2，x2+22=4x2，解得x=32，答：x的值为32(3)解：在RtDAO中，DO=AD2+AO2=32+x2=9+x2， OED是OAD沿OD折叠得到的，AEOD，AG是O的直径，AEG=90，即AEEG，ODEG，DAO=AEG=90AOD=EGA，DAOAEG，DOAG=DAAE ，92+x22x=3AE,AE=6x92+x2，AEG=ABC=90,EAG=BAF，AEGABF，SAGESAFB=AEAB2，即y=6x32+x242=9x249+x2，y=9x24x2+36 （0x3
32、2）(4)解：由（2）知，当E在DB上时， x=32，如图，当点E在DC上时， x=3 ，当32x3时，半圆O与BCD的边有两个交点；当半圆O经过点C时，半圆O与BCD的边有两个交点，连接OC，在RtOBC中，OB=4x,OC=x,BC=3，OB2+BC2=OC2，4x2+32=x2 ，解得x=258，当258x4时，半圆O与BCD的边有两个交点；综上所述，当半圆O与BCD的边有两个交点时，x的取值范围为：32x3或258x4【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，勾股定理，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质是解本题的关键【例5】（2022浙江
33、温州中考真题）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BECD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5,BE=3点P，Q分别在线段AB,BE上（不与端点重合），且满足APBQ=54设BQ=x,CP=y(1)求半圆O的半径(2)求y关于x的函数表达式(3)如图2，过点P作PRCE于点R，连结PQ,RQ当PQR为直角三角形时，求x的值作点F关于QR的对称点F，当点F落在BC上时，求CFBF的值【答案】(1)158(2)y=54x+54(3)97或2111；199【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用CODCBE，得ODBE=COCB，代入计算即可；（2）根据C
34、P=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可； （3）显然PRQ90，所以分两种情形，当 RPQ=90时，则四边形RPQE是矩形，当 PQR90时，过点P作PHBE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案； 连接AF,QF，由对称可知QF=QF,FQR=EQR=45，利用三角函数表示出BF和BF的长度，从而解决问题（1）解：如图1，连结OD设半圆O的半径为rCD切半圆O于点D，ODCDBECD，ODBE，CODCBE，ODBE=COCB，即r3=5r5，r=158，即半圆O的半径是158（2）由（1）得：CA=CBAB=52158=54APBQ=54
35、BQ=x，AP=54xCP=AP+AC，y=54x+54（3）显然PRQ90，所以分两种情况）当RPQ=90时，如图2PRCE，ERP=90E=90，四边形RPQE为矩形，PR=QEPR=PCsinC=35y=34x+34，34x+34=3x，x=97）当PQR=90时，过点P作PHBE于点H，如图3，则四边形PHER是矩形，PH=RE,EH=PRCB=5,BE=3，CE=5232=4CR=CPcosC=45y=x+1，PH=RE=3x=EQ，EQR=ERQ=45，PQH=45=QPH，HQ=HP=3x，由EH=PR得：(3x)+(3x)=34x+34，x=2111综上所述，x的值是97或2
36、111如图4，连结AF,QF，由对称可知QF=QF，FQR=EQRBECE，PRCE，PRBE，EQR=PRQ，BQ=x，CP=54x+54，EQ=3-x，PRBE，CPRCBE，CPCR=CBCE，即：54x+54CR=54，解得：CR=x+1，ER=EC-CR=3-x，即：EQ= EREQR=ERQ=45，FQR=EQR=45BQF=90，QF=QF=BQtanB=43xAB是半圆O的直径，AFB=90，BF=ABcosB=94，43x+x=94，x=2728，CFBF=BCBFBF=BCBF1=3x1=199【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定
37、理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键一、解答题【共20题】1（2022黑龙江哈尔滨市萧红中学校模拟预测）如图，在O中，AD、BC是弦，OADAOC-OCB=180(1)如图1，求证：ADBC；(2)如图2，如果AD=BC，求证：AC是O直径；(3)如图3，在（2）的条件下，点F在AC上，点E在AB上，AF=CD，BE=CF=4，连接CE、BF交于点G，作HGCE于点G，交BC于点H，SHCG=5，求OF的长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1【分析】（1）延长AO交BC于点E，证明OAD+AEC=180，即可证明ADBC；（2）连接AB，CD，先证四
38、边形ABCD是平行四边形，推出B=D，再根据圆内接四边形对角和为180度，可得B=90，即可证明AC是O直径；（3）连接EH，延长BF交CD于点T，连接ET，证明四边形BETC是矩形，进而推出HC=HE，利用三角形面积公式求出HC=HE=5，推出BH=3，设AB=AF=x，利用勾股定理求出x，即可求解【详解】（1）证明：如图，延长AO交BC于点E， AOC=AEC+OCB，OAD+AOC-OCB=180，OAD+AEC+OCB-OCB=180，OAD+AEC=180，ADBC；（2）证明：如图2，连接AB，CD， ADBC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，B=D， B+D=180， B
39、90，AC是O直径；（3）解：如图3，连接EH，延长BF交CD于点T，连接ET， 四边形ABCD是平行四边形，B=90，四边形ABCD是矩形，ABCD，AB=CD，ABF=CTF， AF=CD，AB=CD，AB=AF，ABF=AFB， AFB=CFT，CFT=CTF，CF=CT， CF=BE，BE=CT， BECT，四边形BETC是平行四边形， EBC=90，四边形BETC是矩形，CG=EG， HGCE，HC=HE，SECH=2SHCG=10=12CHBE， BE=4，HC=HE=5，BH=EH2-BE2=52-42=3，BC=BH+CH=8，设AB=AF=x，则AC=x+4， AB2+BC
40、2=AC2，x2+82=(x+4)2，解得x=6，AB=6，AC=10，OA=OC=5，OF=OC-CF=5-4=1【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造特殊四边形解决问题，难度较大，多见于压轴题2（2022安徽合肥市五十中学新校二模）如图，ABC为O的内接三角形，且AB为O的直径，DE与O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，E=ADC(1)求证：AD平分BAC；(2)若CF=2DF，AC=6，求O的半径r【答案】(1)见解析
41、2)5【分析】（1）根据圆周角定理得到ABC=ADC，进而证明ABC=ADC，得到BCDE，根据切线的性质得到ODDE，根据垂径定理得到BD=CD，根据圆周角定理证明结论；（2）根据三角形中位线定理求出OF，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案【详解】（1）由圆周角定理得：ABC=ADC，E=ADC，ABC=ADC，BCDE，DE与O相切于点D，ODDE，ODBC，BD=CD，BAD=CAD，AD平分BAC；（2）ODBC，BF=FC，BO=OA，OF=12AC=3，DF=r3，BF=CF=2DF=2r3，在RtBOF中，OB2=OF2+BF2，即r2=32+(2r6)2，解得：r1=5，r2=3(舍去)，答：O的半径r为5【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键3（2022黑龙江哈尔滨市第八十四中学校一模）如图，ABC内接于O,AD为O的直径，AD交BC于点E，且
