2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 6.1.1 &amp 6.1.2 合情推理（一）——归纳 合情推理（二）——类比 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 61合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理 61.1 & 6.1.2 合情推理 合情推理(一一)归纳 合情推理归纳 合情推理(二二)类比类比 读教材读教材·填要点填要点 1合情推理的含义及方法合情推理的含义及方法 “合乎情理”的推理，最常见的有归纳和类比“合乎情理”的推理，最常见的有归纳和类比 (1)归纳归纳 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳 (2)类比类比 根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也有可能有根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也有可能有 相似之处的推理方法，叫作类比相似之处的推理方法，叫作类比 2合情推理的过程合情推理的过程 小问题小问题·大思维大思维 1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然 性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推 测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然 性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推 测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠 2你认为下列说法正确的有哪些？你认为下列说法正确的有哪些？ 由合情推理得出的结论一定是正确的；由合情推理得出的结论一定是正确的； 合情推理必须有前提有结论；合情推理必须有前提有结论； 合情推理不能猜想；合情推理不能猜想； 合情推理得出的结论不能判断正误合情推理得出的结论不能判断正误 提示：由合情推理的定义及推理过程可知，合情推理必须有前提有结论，但结论不一 定正确，故只有正确 提示：由合情推理的定义及推理过程可知，合情推理必须有前提有结论，但结论不一 定正确，故只有正确 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数列中的归纳推理数列中的归纳推理 已知数列已知数列an的每一项均为正数，的每一项均为正数，a11，aa 1(n1,2,3，)，试归纳，试归纳 2n12 n 出数列出数列an的一个通项公式的一个通项公式 自主解答自主解答 当 当 n1 时，时，a11； 当当 n2 时，时，a2；a2 112 当当 n3 时，时，a3.a2 213 由此猜想由此猜想an的一个通项公式为的一个通项公式为 an(nN ) n 若将“若将“aa 1”改换为“”改换为“an 1 ” ，试猜想” ，试猜想an的一个通项公式的一个通项公式 2n12 n 3an 3 2an 解：当解：当 n1 时，时，a11， 由由 an 1 (nN )，得 ，得 3an 3 2an a2 ， ，a3 ， ，a4 . 3 5 3a2 3 2a2 3 7 3a3 3 2a3 1 3 3 9 由此猜想an的一个通项公式为 an(nN ) 3 2n 1 归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤 归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包 括两个步骤： 归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包 括两个步骤： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质；通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想猜想) 1 已知数列 已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn， a1 ， 且 ， 且 Sn2an(n2)， 计算， 计算 S1， S2， S3， S4， 2 3 1 Sn 并猜想并猜想 Sn的表达式的表达式 解：当解：当 n1 时，时，S1a1 ； ； 2 3 当当 n2 时，时，2S1 ，所以 ，所以 S2 ； ； 1 S2 4 3 3 4 当当 n3 时，时，2S2 ，所以 ，所以 S3 ； ； 1 S3 5 4 4 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当当 n4 时，时，2S3 ，所以 ，所以 S4 . 1 S4 6 5 5 6 猜想：猜想：Sn，nN . n 1 n 2 几何中的归纳推理几何中的归纳推理 如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分 ； 画两条线段，彼此最多分割成如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分 ； 画两条线段，彼此最多分割成 4 条线段，同时将圆分割成条线段，同时将圆分割成 4 部分；画三条线段，彼此最多分割成部分；画三条线段，彼此最多分割成 9 条线段，将圆最多分割 成 条线段，将圆最多分割 成 7 部分；画四条线段，彼此最多分割成部分；画四条线段，彼此最多分割成 16 条线段，将圆最多分割成条线段，将圆最多分割成 11 部分部分 那么：那么： (1)在圆内画在圆内画 5 条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ (2)猜想：圆内两两相交的猜想：圆内两两相交的 n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割 成多少部分？ 条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割 成多少部分？ 自主解答自主解答 将圆内两两相交的 将圆内两两相交的 n 条线段，彼此最多分割成的线段为条线段，彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多 分割为 条，将圆最多 分割为 g(n)部分部分 (1)f(1)112，g(1)2； 1212 2 f(2)422，g(2)4； 2222 2 f(3)932，g(3)7； 3232 2 f(4)1642，g(4)11； 4242 2 所以所以 n5 时，时，f(5)25，g(5)16. 5252 2 (2)根据题意猜测：根据题意猜测： 圆内两两相交的圆内两两相交的 n(n2)条线段， 彼此最多分割为条线段， 彼此最多分割为 f(n)n2条线段， 将圆最多分割为条线段， 将圆最多分割为 g(n) 部分部分 n2n2 2 解决图形中归纳推理的方法解决图形中归纳推理的方法 解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系 (2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数值发生了怎样的变化数值发生了怎样的变化 2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有 菱形纹的正六边形的个数是 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有 菱形纹的正六边形的个数是( ) A26 B31 C32 D36 解析：选解析：选 B 有菱形纹的正六边形个数如下表： 有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案图案123 个数个数61116 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以为首项，以 5 为公差的等 差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 为公差的等 差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65××(61)31.故选故选 B. 类比推理类比推理 (1)若数列若数列an(nN*)是等差数列，则有数列是等差数列，则有数列bn： bn(n a1a2a3an n N*)也是等差数列类比上述性质，相应地，若数列也是等差数列类比上述性质，相应地，若数列cn(nN*)是等比数列，且是等比数列，且 cn0，则有 数列 ，则有 数列dn：dn_(nN*)也是等比数列也是等比数列 (2)如图所示，在如图所示，在ABC 中，射影定理可表示为中，射影定理可表示为 ab·cos Cc·cos B，其中，其中 a，b，c 分 别为角 分 别为角 A，B，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 自主解答自主解答 (1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：dn. n c1·c2·c3··cn 答案：答案： n c1·c2·c3··cn (2)如图所示，在四面体如图所示，在四面体 P­ABC 中，中，S1，S2，S3，S 分别表示分别表示PAB，PBC， PCA， ， ABC 的面积，的面积， ， ， 依次表示平面依次表示平面 PAB， 平面， 平面 PBC， 平面， 平面 PCA 与底面与底面 ABC 所成二面角的大小所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1·cos S2·cos S3·cos . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤 类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论 该过程包括两个步骤：该过程包括两个步骤： (1)找出两类对象之间的相似性或一致性；找出两类对象之间的相似性或一致性； (2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想猜想) 2解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相 关结论类比到立体几何，相关类比点如下： 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相 关结论类比到立体几何，相关类比点如下： 平面图形平面图形点点直线直线边长边长面积面积三角形三角形线线角线线角 空间图形空间图形直线直线平面平面面积面积体积体积四面体四面体面面角面面角 3在平面几何中：在平面几何中：ABC 的的C 内角平分线内角平分线 CE 分分 AB 所成线段的比为所成线段的比为.把这把这 AC BC AE BE 个结论类比到空间 ： 在三棱锥个结论类比到空间 ： 在三棱锥 A­BCD 中中(如图如图)， DEC 平分二面角平分二面角 A­CD­B 且与且与 AB 相交于相交于 E， 则得到类比的结论是 ， 则得到类比的结论是_ 解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得. AE EB S ACD S BCD 答案：答案： AE EB S ACD S BCD 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想 巧思巧思 考虑到直角三角形的两条边互相垂直， 所以可以选取有 考虑到直角三角形的两条边互相垂直， 所以可以选取有 3 个面两两垂直的四面 体，作为直角三角形的类比对象 个面两两垂直的四面 体，作为直角三角形的类比对象 妙解妙解 如图 如图(1)，(2)所示，与所示，与 RtABC 相对应的是四面体相对应的是四面体 P­DEF；与；与 RtABC 的两 条边构成的 的两 条边构成的 1 个直角相对应的是四面体个直角相对应的是四面体 P­DEF 的的 3 个面在一个顶点构成的个面在一个顶点构成的 3 个直二面角； 与 个直二面角； 与 RtABC 的直角边边长的直角边边长 a，b 相对应的是四面体相对应的是四面体 P­DEF 中的中的DEF，FPD 和和DPE 的面积的面积 S1，S2和和 S3；与；与 RtABC 的斜边的斜边 c 相对应的是四面体相对应的是四面体 P­DEF 中的中的PEF 的面积的面积 S. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 我们知道，在我们知道，在 RtABC 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 c2a2b2. 于是，类比直角三角形的勾股定理，于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体在四面体 P­DEF 中，我们猜想：中，我们猜想：S2S S S 成立成立 2 12 22 3 1已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Snn2·an(n2)，而，而 a11，通过计算，通过计算 a2，a3，a4，猜想，猜想 an 等于等于( ) A. B. 2 n 1 2 2 n n 1 C. D. 2 2n1 2 2n 1 解析：解析：Snn2·an(n2)，a11， S24·a2a1a2a2 . 1 3 2 3 ×× 2 S39a3a1a2a3a3 . a1a2 8 1 6 2 4 ×× 3 S416a4a1a2a3a4a4. a1a2a3 15 2 5 ×× 4 猜想猜想 an. 2 n n 1 答案：答案：B 2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. B C. D 解析：观察可发现规律：解析：观察可发现规律： 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次， 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次， 每行、每列有两阴影一空白，即得结果每行、每列有两阴影一空白，即得结果 答案：答案：A 3观察观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在，由归纳推理可得：若定义在 R 上 的函数 上 的函数 f(x)满足满足 f(x)f(x)，记，记 g(x)为为 f(x)的导函数，则的导函数，则 g(x)( ) Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x) 解析：观察可知，偶函数解析：观察可知，偶函数 f(x)的导函数的导函数 g(x)都是奇函数，所以都是奇函数，所以 g(x)g(x) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案：答案：D 4在平面上，若两个正三角形的边长的比为在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为，则它们的面积比为 14，类似地， 在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 ，类似地， 在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为，则它们的体积比为_ 解析 ： 由平面和空间的知识， 可知很多比值在平面中成平方关系， 在空间中成立方关系， 故若两个正四面体的棱长的比为 解析 ： 由平面和空间的知识， 可知很多比值在平面中成平方关系， 在空间中成立方关系， 故若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积之比为，则它们的体积之比为 18. 答案：答案：18 5观察下列等式观察下列等式 121 12223 1222326 1222324210 照此规律，第照此规律，第 n 个等式可为个等式可为_ 解析：观察规律可知，第解析：观察规律可知，第 n 个式子为个式子为 12223242(1)n 1n2 (1)n 1 . n n 1 2 答案：答案：12223242(1)n 1n2 (1)n 1n n 1 2 6在在 RtABC 中，若中，若C90°，则，则 cos2Acos2B1，在立体几何中，给出四面体性 质的猜想 ，在立体几何中，给出四面体性 质的猜想 解：如图，在解：如图，在 RtABC 中，中， cos2Acos2B 2 2 1. ( ( b c) ) ( ( a c) ) a2b2 c2 把结论类比到四面体把结论类比到四面体 P­ABC 中，中， 我们猜想，在三棱锥我们猜想，在三棱锥 P­ABC 中，中， 若三个侧面若三个侧面 PAB，PBC，PCA 两两互相垂直，两两互相垂直， 且与底面所成的二面角分别为且与底面所成的二面角分别为 ， 则则 cos2cos2cos21. 一、选择题一、选择题 1下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中 的数构成的规律， 下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中 的数构成的规律，a 所表示的数是所表示的数是( ) 1 1 2 1 1 3 3 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 4 a 4 1 1 5 10 10 5 1 A2 B4 C6 D8 解析 ： 由杨辉三角形可以发现 ： 每一行除解析 ： 由杨辉三角形可以发现 ： 每一行除 1 外， 每个数都是它肩膀上的两数之和 故外， 每个数都是它肩膀上的两数之和 故 a3 36. 答案：答案：C 2把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：推广到空间以后，对于解析：推广到空间以后，对于 A，还有可能异面，对于，还有可能异面，对于 C，还有可能异面，对于，还有可能异面，对于 D， 还有可能异面 ， 还有可能异面 答案：答案：B 3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面 体内任意一点到各面的距离之和为” 对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面 体内任意一点到各面的距离之和为”( ) A定值定值 B变数变数 C有时为定值、有时为变数有时为定值、有时为变数 D与正四面体无关的常数与正四面体无关的常数 解析 ： 设正四面体解析 ： 设正四面体 S­ABC 的棱长为的棱长为 a，正四面体内任意一点，正四面体内任意一点 O 到各面的距离分别为到各面的距离分别为 h1， h2，h3，h4， 由体积关系得由体积关系得 VS­ABC ·a2·(h1h2h3h4) ·a2·a， 1 3 3 4 1 3 3 4 6 3 h1h2h3h4a(此为正四面体的高此为正四面体的高) 6 3 答案：答案：A 4下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子的颜 色应该是 颗珠子的颜 色应该是( ) A白色白色 B黑色黑色 C白色可能性大白色可能性大 D黑色可能性大黑色可能性大 解析：由图知：三白二黑周而复始相继排列，因为解析：由图知：三白二黑周而复始相继排列，因为 36÷57 余余 1，所以第，所以第 36 颗应与第颗应与第 1 颗珠子的颜色相同，即为白色颗珠子的颜色相同，即为白色 答案：答案：A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 二、填空题二、填空题 5已知已知 a13，a26 且且 an 2 an 1 an，则，则 a33_. 解析：解析：a33，a43，a56，a63，a73，a86，故，故an是以是以 6 个项为周 期循环出现， 个项为周 期循环出现，a33a33. 答案：答案：3 6设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，则，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数 列类比以上结论有：设等比数列 成等差数 列类比以上结论有：设等比数列bn的前的前 n 项积为项积为 Tn，则，则 T4，_，_，成，成 T16 T12 等比数列等比数列 解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为： 设等比数列 解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为： 设等比数列bn的前的前 n 项积为项积为 Tn，则，则 T4， ， ，成等比数列， ， ，成等比数列 T8 T4 T12 T8 T16 T12 答案： 答案： T8 T4 T12 T8 7可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线 被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为 可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线 被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为 k，那么甲的面积是乙的面积的，那么甲的面积是乙的面积的 k 倍你可 以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是 倍你可 以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是 x2 a2 y2 b2 1(ab0)与与 x2y2a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_ 解析：由于椭圆与圆截解析：由于椭圆与圆截 y 轴所得线段之比为 ，轴所得线段之比为 ， b a 即即 k ，椭圆面积 ，椭圆面积 Sa2· ab. b a b a 答案：答案：ab 8已知已知 f(x) ，x0，若，若 f1(x)f(x)，fn 1(x) f(fn(x)，nN ，则 ，则 f2 018(x)的表的表 x 1 x 达式为达式为_ 解析：由解析：由 f1(x)f2(x)f； x 1 x ( ( x 1 x) ) x 1 x 1 x 1 x x 1 2x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又可得又可得 f3(x)f(f2(x)， x 1 2x 1 x 1 2x x 1 3x 故可猜想故可猜想 f2 018(x). x 12 018x 答案：答案：f2 018(x) x 12 018x 三、解答题三、解答题 9已知椭圆具有性质 ： 若已知椭圆具有性质 ： 若 M，N 是椭圆是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任 意一点，当直线 是椭圆上任 意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为的斜率都存在，并记为 kPM，kPN时，时，kPM与与 kPN之积是与点之积是与点 P 的 位置无关的定值试对双曲线 的 位置无关的定值试对双曲线1 写出具有类似特征的性质，并加以证明写出具有类似特征的性质，并加以证明 x2 a2 y2 b2 解：类似的性质为：若解：类似的性质为：若 M，N 是双曲线是双曲线1 上关于原点对称的两个点，点上关于原点对称的两个点，点 P 是双是双 x2 a2 y2 b2 曲线上任意一点，当直线曲线上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为的斜率都存在，并记为 kPM，kPN时，那么时，那么 kPM与与 kPN之 积是与点 之 积是与点 P 的位置无关的定值的位置无关的定值 证明：设点证明：设点 M，P 的坐标分别为的坐标分别为(m，n)，(x，y)， 则则 N(m，n) 因为点因为点 M(m，n)在已知的双曲线上，在已知的双曲线上， 所以所以 n2m2b2. b2 a2 同理，同理，y2x2b2. b2 a2 则则 kPM·kPN··(定值定值) y n x m y n x m y2n2 x2m2 b2 a2 x2m2 x2m2 b2 a2 10已知数列已知数列an，a11，an 1 ，m 为常数为常数 an 1 man (1)当当 m1,2,3,4 时，分别求数列的通项公式时，分别求数列的通项公式 an； (2)当当 mN 时，猜想数列的通项公式 时，猜想数列的通项公式 解：解：(1)当当 m1 时，时， 由由 a11，an 1 . an 1 an 1. 1 an 1 1 an 数列是以数列是以 1 为首项，为首项，1 为公差的等差数列为公差的等差数列 1 an 求得求得 an . 1 n 当当 m2 时，时， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由由 a11，an 1 ， an 1 2an 求得求得 an； 1 2n 1 当当 m3 时，时， 由由 a11，an 1 ， an 1 3an 求得求得 an； 1 3n 2 当当 m4 时，时， 由由 a11，an 1 ， an 1 4an 求得求得 an. 1 4n 3 (2)由上述归纳猜想得：由上述归纳猜想得： 当当 mN 时， 时， 由由 a11，an 1 得得 an 1 man an. 1 mn m 1