2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分 专题四 第二课时　“导数与函数的零点问题”考法面面观 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二课时 “导数与函数的零点问题”考法面面观第二课时 “导数与函数的零点问题”考法面面观 考法一 函数零点个数问题考法一 函数零点个数问题 题型题型·策略策略(一一)Error!讨论函数的零点个数讨论函数的零点个数 已知 已知 f (x)e x(ax2 x1)当当 a0 时，试讨论方程时，试讨论方程 f (x)1 的解的个数的解的个数例例1 破题思路破题思路 求什么 想什么 求什么 想什么 讨论方程讨论方程 f (x)1 的解的个数，想到的解的个数，想到 f (x)1 的零点个数的零点个数 给什么 用什么 给什么 用什么 给出给出 f (x)的解析式，用的解析式，用 f (x)1 构造函数，转化为零点问题求解构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结 合图象求解 或分离参数，结 合图象求解) 规范解答规范解答 法一：分类讨论法法一：分类讨论法(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 方程方程 f (x)1 的解的个数即为函数的解的个数即为函数 h(x)exax2x1(a0)的零点个数的零点个数 而而 h(x)ex2ax1， 设设 H(x)ex2ax1，则，则 H(x)ex2a. 令令 H(x)0，解得，解得 xln 2a；令；令 H(x)0)， 则则 g(m)1(1ln m)ln m， 令令 g(m)1；令；令 g(m)0，得，得 0 时，时，ln 2a0，h(x)minh(ln 2a)0 使得使得 h(x1)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 这时这时 h(x)在在(，0)上单调递增，在上单调递增，在(0，x1)上单调递减，在上单调递减，在(x1，)上单调递增上单调递增 所以所以 h(x1)h(0)0，h(0)0， 所以此时所以此时 f (x)有两个零点有两个零点 综上， 当综上， 当 a 时， 方程 时， 方程 f (x)1 只有一个解 ； 当只有一个解 ； 当 a 且 且 a0 时， 方程时， 方程 f (x)1 有两个解有两个解 1 2 1 2 法二：分离参数法法二：分离参数法(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 方程方程f (x)1的解的个数即方程的解的个数即方程exax2x10(a0)的解的个数， 方程可化为的解的个数， 方程可化为ax2ex x1. 当当 x0 时，方程为时，方程为 0e001，显然成立，所以，显然成立，所以 x0 为方程的解为方程的解 当当 x0 时，分离参数可得时，分离参数可得 a(x0) exx1 x2 设函数设函数 p(x)(x0)， exx1 x2 则则 p(x). e x x1 ·x2 x2 · exx 1 x 2 2 ex x 2 x2 x3 记记 q(x)ex(x2)x2，则，则 q(x)ex(x1)1. 记记 t(x)q(x)ex(x1)1，则，则 t(x)xex. 显然当显然当 x0 时，时，t(x)0，函数，函数 t(x)单调递增单调递增 所以所以 t(x)t(0)e0(01)10，即，即 q(x)0， 所以函数所以函数 q(x)单调递增单调递增 而而 q(0)e0(02)020， 所以当所以当 x0，函数，函数 p(x)单调递增；单调递增； 当当 x0 时，时，q(x)0，即，即 p(x)0，函数，函数 p(x)单调递增单调递增 而当而当 x0 时，时， p(x) x 0 x 0 x 0 x 0 (洛必达法洛必达法 e x x1 x 2 ex1 2x e x 1 2x ex 2 1 2 则则)， 当当 x时，时，p(x) x x 0， e x x1 x 2 ex1 2x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故函数故函数 p(x)的图象如图所示的图象如图所示 作出直线作出直线 ya. 显然，当显然，当 a 时，直线 时，直线 ya 与函数与函数 p(x)的图象无交点，即方程的图象无交点，即方程 exax2x10 只有只有 1 2 一个解一个解 x0； 当当 a 且 且 a0 时， 直线时， 直线 ya 与函数与函数 p(x)的图象有一个交点的图象有一个交点(x0， a)， 即方程， 即方程 exax2x1 1 2 0 有两个解有两个解 x0 或或 xx0. 综上， 当综上， 当 a 时， 方程 时， 方程 f (x)1 只有一个解 ； 当只有一个解 ； 当 a 且 且 a0 时， 方程时， 方程 f (x)1 有两个解有两个解 1 2 1 2 注注 部分题型利用分离法处理时，会出现“ ”型的代数式，这是大学数学中的不定 部分题型利用分离法处理时，会出现“ ”型的代数式，这是大学数学中的不定 0 0 式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则 法则法则 1 若函数 若函数 f (x)和和 g(x)满足下列条件：满足下列条件： (1)lif (x)0 及及 lig(x)0；m xa m xa (2)在点在点 a 的去心邻域内，的去心邻域内，f (x)与与 g(x)可导且可导且 g(x)0； (3)li l.m xa f x g x 那么那么 li li l.m xa f x g x m xa f x g x 法则法则 2 若函数 若函数 f (x)和和 g(x)满足下列条件：满足下列条件： (1)lif (x)及及 lig(x)；m xa m xa (2)在点在点 a 的去心邻域内，的去心邻域内，f (x)与与 g(x)可导且可导且 g(x)0； (3)li l.m xa f x g x 那么那么 li li l.m xa f x g x m xa f x g x 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 构造函数后，正确进行分类讨论是解决本题的关键；不知道分类讨论 或分类讨论时，分类不明或分类不全是解决此类问题常犯的错误 构造函数后，正确进行分类讨论是解决本题的关键；不知道分类讨论 或分类讨论时，分类不明或分类不全是解决此类问题常犯的错误 技法技法判断函数零点个数的思路判断函数零点个数的思路 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 关键关键 点拨点拨 判断函数在某区间判断函数在某区间a，b(a，b)内的零点的个数时，主要思路为：一 是由 内的零点的个数时，主要思路为：一 是由 f (a)f (b)0，所以，所以 f (x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，由时，由Error!得得 0， a a a a 所以所以 f (x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 (0， ， a a) ( a a ， ，) 综上所述：当综上所述：当 a0 时，时，f (x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，)； 当当 a0 时，时，f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为的单调递增区间为，单调递减区间为. (0， ， a a) ( a a ， ，) (3)由由(2)可知，可知， ()当当 a0，故，故 f (x)在在1，e2上没有零点上没有零点 1 2 ()当当 a0 时，时，f (x)在在1，e2上单调递增，而上单调递增，而 f (1) a0，故，故 f (x)在在1，e2上有一上有一 1 2 个零点个零点 ()当当 a0 时，若时，若1，即，即 a1 时，时，f (x)在在1，e2上单调递减因为上单调递减因为 f (1) a 时，时，f (x)在在1，e2上没有零点；上没有零点； ( a a) 1 2 1 2 1 e 若若 f ln a 0，即，即 a 时， 时，f (x)在在1，e2上有一个零点；上有一个零点； ( a a) 1 2 1 2 1 e 若若 f ln a 0，即，即 a0，得，得 a0，所以，所以 f (x)在在1，e2上有一个零点上有一个零点 1 2 1 2 综上所述 ： 当综上所述 ： 当 a 时，时， f (x)在在1， e2上没有零点 ； 当上没有零点 ； 当 0a0，f (x)单调递增单调递增 由由 f (1) 0，当，当 x时，时，f (x)， 1 e 所以函数所以函数 f (x)在在(，)上有两个零点上有两个零点 若若 ln a0，f (x)单调递增 ；单调递增 ； 1 e 当当 x(ln a，1)时，时，f (x)1，即，即 a ，当，当 x(，1)(ln a，)时，时，f (x)0，f (x)单调递增；单调递增； 1 e 当当 x(1，ln a)时，时，f (x)1 时，时，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递增单调递增 当当 x0 时，时，g(x)0；当；当 x时，时，g(x)0；当；当 x1 时，时，g(x)；当；当 x 时， 时，g(x). 故函数故函数 g(x)的图象如图所示的图象如图所示 作出直线作出直线 ya，由图可知，当，由图可知，当 a0， 1 x 2ax2x1 x 当当 a0 时，显然时，显然 f (x)0，f (x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，令时，令 f (x)0，则，则2ax2x10，易知其判别式为正，易知其判别式为正， 2ax2x1 x 设方程的两根分别为设方程的两根分别为 x1，x2(x10. 2ax2x1 x 2a xx1 x x2 x 令令 f (x)0，得，得 x(0，x2)；令；令 f (x)0 时，函数时，函数 f (x)在在(0，x2)上单调递增，在上单调递增，在(x2，)上单调递减，上单调递减， f (x)maxf (x2) 要使要使 f (x)有两个零点，需有两个零点，需 f (x2)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即即 ln x2ax x20， 2 2 又由又由 f (x2)0 得得 ax ，代入上面的不等式得，代入上面的不等式得 2 2 1 x2 2 2ln x2x21，解得，解得 x21， a1 ， 1 8a 1 4a 2 8a 11 2 8 11 1 e f (x2)ln x2ax x2 (2ln x2x21)0， 2 2 1 2 f (x)在与上各有一个零点在与上各有一个零点 ( 1 e， ，x 2) (x2， ，2 a) a 的取值范围为的取值范围为(0,1) 法二：函数法二：函数 f (x)有两个零点，等价于方程有两个零点，等价于方程 a有两解有两解 ln x x x2 令令 g(x)，x0，则，则 g(x). ln x x x2 12ln x x x3 由由 g(x)0，得，得 2ln xx0，当，当 x0 时，时，g(x)， 作出函数作出函数 g(x)的简图如图，结合函数值的变化趋势猜想：当的简图如图，结合函数值的变化趋势猜想：当 a(0,1)时符合题意时符合题意 下面给出证明：下面给出证明： 当当 a1 时，时，ag(x)max，方程至多一解，不符合题意；，方程至多一解，不符合题意； 当当 a0 时，方程至多一解，不符合题意；时，方程至多一解，不符合题意； 当当 a(0,1)时，时，g0)，a 为常数，若函数为常数，若函数 f (x)有两个零点有两个零点 x1，典典例例 x2(x1x2)证明：证明：x1x2e2. 破题思路破题思路 证明证明 x1x2e2，想到把双变量，想到把双变量 x1，x2转化为只含有一个变量的不等式证明转化为只含有一个变量的不等式证明 规范解答规范解答 法一：巧抓根商法一：巧抓根商 c构造函数构造函数(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) x1 x2 不妨设不妨设 x1x20， 因为因为 ln x1ax10，ln x2ax20， 所以所以 ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以，所以a， ln x1ln x2 x1x2 欲证欲证 x1x2e2，即证，即证 ln x1ln x22. 因为因为 ln x1ln x2a(x1x2)，所以即证，所以即证 a， 2 x1x2 所以原问题等价于证明所以原问题等价于证明， ln x1ln x2 x1x2 2 x1x2 即即 ln ， x1 x2 2 x1x2 x1x2 令令 c(c1)，则不等式变为，则不等式变为 ln c. x1 x2 2 c 1 c 1 令令 h(c)ln c，c1， 2 c 1 c 1 所以所以 h(c) 0， 1 c 4 c 1 2 c 1 2 c c 1 2 所以所以 h(c)在在(1，)上单调递增，上单调递增， 所以所以 h(c)h(1)ln 100， 即即 ln c0(c1)， 2 c 1 c 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此原不等式因此原不等式 x1x2e2得证得证 启思维启思维 该方法的基本思路是直接消掉参数 该方法的基本思路是直接消掉参数 a， 再结合所证问题， 巧妙引入变量， 再结合所证问题， 巧妙引入变量 c， x1 x2 从而构造相应的函数其解题要点为：从而构造相应的函数其解题要点为： (1)联立消参：利用方程联立消参：利用方程 f (x1)f (x2)消掉解析式中的参数消掉解析式中的参数 a. (2)抓商构元：令抓商构元：令 c，消掉变量，消掉变量 x1，x2，构造关于，构造关于 c 的函数的函数 h(c) x1 x2 (3)用导求解：利用导数求解函数用导求解：利用导数求解函数 h(c)的最小值，从而可证得结论的最小值，从而可证得结论 法二：抓极值点构造函数法二：抓极值点构造函数(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 由题意，函数由题意，函数 f (x)有两个零点有两个零点 x1，x2(x1x2)，即，即 f (x1)f (x2)0，易知，易知 ln x1，ln x2是 方程 是 方程 xaex的两根的两根 令令 t1ln x1，t2ln x2. 设设 g(x)xe x，则 ，则 g(t1)g(t2)， 从而从而 x1x2e2ln x1ln x22t1t22. 下证：下证：t1t22. g(x)(1x)e x，易得 ，易得 g(x)在在(，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减， 所以函数所以函数 g(x)在在 x1 处取得极大值处取得极大值 g(1) . 1 e 当当 x时，时，g(x)；当；当 x时，时，g(x)0 且且 g(x)0. 由由g(t1)g(t2)， t1t2， 不妨设， 不妨设t10， x ex 1 所以所以 F(x)在在(0,1上单调递增，上单调递增， 所以所以 F(x)F(0)0 对任意的对任意的 x(0,1恒成立，恒成立， 即即 g(1x)g(1x)对任意的对任意的 x(0,1恒成立恒成立 由由 0g1(1t1)g(t1)g(t2)， 即即 g(2t1)g(t2)，又，又 2t1(1，)，t2(1，)，且，且 g(x)在在(1，)上单调递减，上单调递减， 所以所以 2t12. 启思维启思维 上述解题过程就是解决极值点偏移问题的最基本的方法， 共有四个解题要点 ： 上述解题过程就是解决极值点偏移问题的最基本的方法， 共有四个解题要点 ： (1)求函数求函数 g(x)的极值点的极值点 x0； (2)构造函数构造函数 F(x)g(x0x)g(x0x)； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)确定函数确定函数 F(x)的单调性；的单调性； (4)结合结合 F(0)0，确定，确定 g(x0x)与与 g(x0x)的大小关系的大小关系 其口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪，四个步骤环相扣，两次单调紧跟随其口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪，四个步骤环相扣，两次单调紧跟随 法三：巧抓根差法三：巧抓根差 stt2t1构造函数构造函数(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 由题意，函数由题意，函数 f (x)有两个零点有两个零点 x1，x2(x1x2)，即，即 f (x1)f (x2)0，易知，易知 ln x1，ln x2是 方程 是 方程 xaex的两根的两根 设设 t1ln x1，t2ln x2， 设设 g(x)xe x，则 ，则 g(t1)g(t2)， 从而从而 x1x2e2ln x1ln x22t1t22. 下证：下证：t1t22. 由由 g(t1)g(t2)，得，得 t1e t1 t2e t2， ， 化简得化简得 et2 t1 ， ， t2 t1 不妨设不妨设 t2t1，由法二知，由法二知，00，t2st1，代入式，得，代入式，得 es，解得，解得 t1. s t1 t1 s es1 则则 t1t22t1ss， 2s es1 故要证故要证 t1t22，即证，即证s2， 2s es1 又又 es10，故要证，故要证s2， 2s es1 即证即证 2s(s2)(es1)0， 令令 G(s)2s(s2)(es1)(s0)， 则则 G(s)(s1)es1，G(s)ses0， 故故 G(s)在在(0，)上单调递增，上单调递增， 所以所以 G(s)G(0)0， 从而从而 G(s)在在(0，)上单调递增，上单调递增， 所以所以 G(s)G(0)0，所以式成立，故，所以式成立，故 t1t22. 启思维启思维 该方法的关键是巧妙引入变量 该方法的关键是巧妙引入变量 s，然后利用等量关系，把，然后利用等量关系，把 t1，t2消掉，从而 构造相应的函数，转化所证问题其解题要点为： 消掉，从而 构造相应的函数，转化所证问题其解题要点为： (1)取差构元：记取差构元：记 st2t1，则，则 t2t1s，利用该式消掉，利用该式消掉 t2. (2)巧解消参：利用巧解消参：利用 g(t1)g(t2)，构造方程，解之，利用，构造方程，解之，利用 s 表示表示 t1. (3)构造函数：依据消参之后所得不等式的形式，构造关于构造函数：依据消参之后所得不等式的形式，构造关于 s 的函数的函数 G(s) (4)转化求解：利用导数研究函数转化求解：利用导数研究函数 G(s)的单调性和最小值，从而证得结论的单调性和最小值，从而证得结论 题后悟通题后悟通 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 思路受阻思路受阻 分析分析 不能把双变量不能把双变量 x1，x2的不等式转化为单变量的不等式，导致无从 下手解题 的不等式转化为单变量的不等式，导致无从 下手解题 技法关键技法关键 点拨点拨 函数极值点偏移问题的解题策略函数极值点偏移问题的解题策略 函数的极值点偏移问题，其实质是导数的应用问题，解题的策略 是把含双变量的等式或不等式转化为仅含一个变量的等式或不等 式进行求解，解题时要抓住三个关键量：极值点、根差、根商 函数的极值点偏移问题，其实质是导数的应用问题，解题的策略 是把含双变量的等式或不等式转化为仅含一个变量的等式或不等 式进行求解，解题时要抓住三个关键量：极值点、根差、根商 对点训练对点训练 (2018·成都模拟成都模拟)已知函数已知函数 f (x)(x1)exmx22，其中，其中 mR，R，e2.718 28为自 然对数的底数 为自 然对数的底数 (1)当当 m1 时，求函数时，求函数 f (x)的单调区间；的单调区间； (2)当常数当常数 m(2， ， )时， 函数时， 函数 f (x)在在0， ， )上有两个零点上有两个零点 x1， x2(x1ln . 4 e 解：解：(1)当当 m1 时，时，f (x)(x1)exx22， f (x)xex2xx(ex2) 由由 f (x)x(ex2)0，解得，解得 x0 或或 xln 2. 当当 xln 2 或或 x0， f (x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，0)，(ln 2，) 当当 0ln 2m 时，时，f (x)0，f (x)在在(ln 2m，)上单调递增；上单调递增； 当当 00，f (1)2mln 2mln 4. 0ln 41ln . 4 e 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高考大题通法点拨高考大题通法点拨 函数与导数问题重在“分”函数与导数问题重在“分”分离、分解分离、分解 思维流程思维流程 策略指导策略指导 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含 参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范 围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合 问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，然后根据题意处理 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含 参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范 围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合 问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，然后根据题意处理 已知函数 已知函数 f (x)ln xbxc， f (x)在点在点(1， f (1)处的切线方程为处的切线方程为 xy40.典典例例 (1)求求 f (x)的解析式；的解析式； (2)求求 f (x)的单调区间；的单调区间； (3)若在区间内，恒有若在区间内，恒有 f (x)x2ln xkx 成立，求成立，求 k 的取值范围的取值范围 1 2， ，5 破题思路破题思路 第第(1)问问 求什么求什么 想什么想什么 求求 f (x)的解析式，想到建立参数的解析式，想到建立参数 b，c 的关系式的关系式 给什么给什么 用什么用什么 题目条件给出题目条件给出 f (x)在点在点(1，f (1)处的切线方程利用导数的几何意义可 知 处的切线方程利用导数的几何意义可 知 f (1)1 及及 f (1)5，从而建立，从而建立 b，c 的方程组求的方程组求 b，c 的值的值 第第(2)问问 求什么求什么 想什么想什么 求求 f (x)的单调区间，想到导数与函数的单调性之间关系的单调区间，想到导数与函数的单调性之间关系 给什么给什么 用什么用什么 由第由第(1)问给出问给出 f (x)的解析式， 用相关导数公式求的解析式， 用相关导数公式求 f (x)， 并解， 并解 f (x)0 和和 f (x)0，f (x) 2. 1 x 令令 f (x)0，得，得 0 ， 1 2 故函数故函数 f (x)的单调递增区间为，的单调递增区间为， (0， ， 1 2) 单调递减区间为单调递减区间为. ( 1 2， ， ) (3)在区间上，由在区间上，由 f (x)x2ln xkx， 1 2， ，5 得得 ln x2x3x2ln xkx， kx2 . 3 x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设设 g(x)x2 ， 3 x 则则 g(x)1， 3 x2 令令 g(x)0，得，得 x(负值舍去负值舍去)3 令令 g(x)0，得，得 0，33 故当故当 x时，函数时，函数 g(x)单调递增，单调递增， ( 1 2， ， 3) 当当 x(，5)时，函数时，函数 g(x)单调递减，单调递减，3 g(x)的最小值只能在区间的端点处取得，的最小值只能在区间的端点处取得， 1 2， ，5 又又 g 26， ( 1 2) 1 2 17 2 g(5)52 ， ，g(x)min. 3 5 38 5 17 2 k，即，即 k 的取值范围为的取值范围为. 17 2 ( ， ，17 2 关键点拨关键点拨 解决函数与导数综合问题的关键点 解决函数与导数综合问题的关键点 (1)会求函数的极值点，先利用方程会求函数的极值点，先利用方程 f (x)0 的根，将函数的定义域分成若干个开区间， 再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值； 的根，将函数的定义域分成若干个开区间， 再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值； (2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原 不等式成立； 证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原 不等式成立； (3)解决不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性 入手，去求参数的取值范围 解决不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性 入手，去求参数的取值范围 对点训练对点训练 (2018·全国卷全国卷)已知函数已知函数 f (x)exax2. (1)若若 a1，证明：当，证明：当 x0 时，时，f (x)1； (2)若若 f (x)在在(0，)只有一个零点，求只有一个零点，求 a. 解：解：(1)证明：当证明：当 a1 时，时，f (x)1 等价于等价于(x21)e x 10. 设函数设函数 g(x)(x21)e x 1， 则则 g(x)(x22x1)e x (x1)2e x. 当当 x1 时，时，g(x)0，h(x)没有零点；没有零点； ()当当 a0 时，时，h(x)ax(x2)e x. 当当 x(0,2)时，时，h(x)0. 所以所以 h(x)在在(0,2)上单调递减，上单调递减， 在在(2，)上单调递增上单调递增 故故 h(2)1是是 h(x)在在(0，)上的最小值上的最小值 4a e2 当当 h(2)0，即，即 a 时，因为时，因为 h(0)1，所以，所以 h(x)在在(0,2)上有一个零点上有一个零点 e2 4 由由(1)知，当知，当 x0 时，时，exx2，所以，所以 h(4a)1111 0，故，故 h(x) 16a3 e4a 16a3 e 2a 2 16a3 2a 4 1 a 在在(2,4a)上有一个零点因此上有一个零点因此 h(x)在在(0，)上有两个零点上有两个零点 综上，当综上，当 f (x)在在(0，)上只有一个零点时，上只有一个零点时，a . e2 4 总结升华总结升华 函数与导数压轴题堪称“庞然大物” ，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量 分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几 个小步，也可从逻辑上重新换叙注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可 能多拿步骤分同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用 函数与导数压轴题堪称“庞然大物” ，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量 分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几 个小步，也可从逻辑上重新换叙注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可 能多拿步骤分同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用 专题跟踪检测专题跟踪检测(对应配套卷对应配套卷 P173) 1(2018·全国卷全国卷)已知函数已知函数 f (x) x3a(x2x1) 1 3 (1)若若 a3，求，求 f (x)的单调区间；的单调区间； (2)证明：证明：f (x)只有一个零点只有一个零点 解：解：(1)当当 a3 时，时，f (x) x33x23x3， 1 3 f (x)x26x3. 令令 f (x)0，解得，解得 x32或或 x32.33 当当 x(，32)(32，)时，时，f (x)0；33 当当 x(32，32)时，时，f (x)0， 所以所以 f (x)0 等价于等价于3a0. x3 x2x1 设设 g(x)3a， x3 x2x1 则则 g(x)0， x2 x 2 2x 3 x 2 x 1 2 仅当仅当 x0 时，时，g(x)0， 所以所以 g(x)在在(，)上单调递增上单调递增 故故 g(x)至多有一个零点，从而至多有一个零点，从而 f (x)至多有一个零点至多有一个零点 又又 f (3a1)6a22a 6 2 0， 1 3 (a 1 6) 1 6 1 3 故故 f (x)有一个零点有一个零点 综上，综上，f (x)只有一个零点只有一个零点 2(2018·郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)已知函数已知函数 f(x)ln x ， ，aR 且且 a0. 1 ax 1 a (1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性； (2)当当 x时，试判断函数时，试判断函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点个数的零点个数 1 e， ，e 解：解：(1)f(x)(x0)， ax 1 ax2 当当 a0 恒成立，恒成立， 函数函数 f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，由时，由 f(x)0，得，得 x ； ax 1 ax2 1 a 由由 f(x)0 时，函数时，函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 ( 1 a， ， ) (0， ， 1 a) (2)当当 x时，判断函数时，判断函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点，即求当的零点，即求当 x时，时， 1 e， ，e 1 e， ，e 方程方程(ln x1)exxm 的根的根 令令 h(x)(ln x1)exx， 则则 h(x)ex1. ( 1 x ln x1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由由(1)知当知当 a1 时，时，f(x)ln x 1 在上单调递减，在在上单调递减，在(1，e)上单调递增，上单调递增， 1 x ( 1 e， ，1 1) 当当 x时，时，f(x)f(1)0. 1 e， ，e ln x10 在在 x上恒成立上恒成立 1 x 1 e， ，e h(x)ex1010， ( 1 x ln x1) h(x)(ln x1)exx 在上单调递增在上单调递增 1 e， ，e h(x)minh2e ， ，h(x)maxe. ( 1 e) 1 e 1 e 当当 me 时，函数时，函数 g(x)在上没有零点；在上没有零点； 1 e 1 e 1 e， ，e 当当2e me 时，函数时，函数 g(x)在上有一个零点在上有一个零点 1 e 1 e 1 e， ，e 3(2018·贵阳模拟贵阳模拟)已知函数已知函数 f (x)kxln x1(k0) (1)若函数若函数 f (x)有且只有一个零点，求实数有且只有一个零点，求实数 k 的值；的值； (2)证明：当证明：当 nN*时，时，1 ln(n1) 1 2 1 3 1 n 解：解：(1)法一：法一：f (x)kxln x1，f (x)k (x0，k0)， 1 x kx 1 x 当当 0 时，时，f (x)0. 1 k 1 k f (x)在在 0， 上单调递减，在 ，上单调递增， 上单调递减，在 ，上单调递增 1 k 1