2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版：重点生特训“2＋1＋2”压轴满分练（一） Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 “212”压轴满分练”压轴满分练(一一) 1过抛物线过抛物线 y x2的焦点的焦点 F 的直线交抛物线于的直线交抛物线于 A，B 两点，点两点，点 C 在直线在直线 y1 上，上， 1 4 若若ABC 为正三角形，则其边长为为正三角形，则其边长为( ) A11 B12 C13 D14 解析 ： 选解析 ： 选 B 由题意可知，焦点 由题意可知，焦点 F(0,1)，易知过焦点，易知过焦点 F 的直线的斜率存在且不为零，设 为 的直线的斜率存在且不为零，设 为 k(k0)， 则该直线方程为， 则该直线方程为 ykx1(k0)， 联立方程得， 联立方程得Error!x24(kx1)， 即， 即 x24kx 40， 设， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， ， x1x24k， x1x24， 设线段， 设线段 AB 的中点为的中点为 M， 则， 则 M(2k， 2k2 1)， |AB|4(1k2)， 设， 设 C(m， ， 1)， 连接， 连接 MC， 1 k2 x 1 x2 24x1x2 1 k2 16k2 16 ABC 为等边三角形， 为等边三角形， kMC ， ， m2k34k， 点， 点 C(m， ， 1)到直线到直线 ykx1 2k22 2k m 1 k 的距离的距离|MC|AB|，×，×4(1k2)，2(1k2)， |km2| 1 k2 3 2 |km2| 1 k2 3 2 2k44k22 1 k2 3 ，k±，|AB|4(1k2)12.1k232 2已知函数已知函数 f(x)2sin(x)(0,00， ln x x 1 ln x x2 g(x)单调递增 ； 当单调递增 ； 当 xe 时，时，g(x)0， 得， 得 1a4.当当 0b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，且离心率为，且离心率为，M 为为 x2 a2 y2 b2 2 2 椭圆上任意一点，当椭圆上任意一点，当F1MF290°时，时，F1MF2的面积为的面积为 1. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)已知已知 A 是椭圆是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长上异于椭圆顶点的一点，连接并延长 AF1，AF2，分别与椭圆交于 点 ，分别与椭圆交于 点 B， D， 设直线， 设直线 BD 的斜率为的斜率为 k1， 直线， 直线 OA 的斜率为的斜率为 k2(O 为坐标原点为坐标原点)， 求证 ：， 求证 ： k1·k2为定值为定值 解：解：(1)设设|MF1|r1，|MF2|r2， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由题意，得由题意，得Error! a，c1，则，则 b2a2c21，2 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 2 (2)证明：易知直线证明：易知直线 AF1，AF2的斜率均不为的斜率均不为 0.设设 B(x1，y1)，D(x2，y2)， 当直线当直线 AF1的斜率不存在时， 不妨令的斜率不存在时， 不妨令 A， 则， 则 B， 又， 又 F1(1,0)， F2(1,0)， ( 1， ， 2 2) ( 1， ， 2 2) 直线直线 AF2的方程为的方程为 y(x1)，将其代入，将其代入y21，整理可得，整理可得 5x22x70， 2 4 x2 2 x2 ， ，y2，则，则 D ， 7 5 2 10( 7 5， ， 2 10) 直线直线 BD 的斜率的斜率 k1， 2 10 ( 2 2) 7 5 1 2 6 直线直线 OA 的斜率的斜率 k2， 2 2 k1·k2×× . 2 6( 2 2) 1 6 当直线当直线 AF2的斜率不存在时，同理可得的斜率不存在时，同理可得 k1·k2 . 1 6 当直线当直线 AF1，AF2的斜率都存在且不为的斜率都存在且不为 0 时，设时，设 A(x0，y0)，则，则 x0y00， 则直线则直线 AF1的方程为的方程为 y(x1)， y0 x01 联立，得联立，得Error!消去消去 y 可得，可得， (x01)22y x24y x2y 2(x01)20， 2 02 02 0 又又y 1，2y 2x ， x2 0 2 2 02 02 0 (32x0)x22(2x )x3x 4x00， 2 02 0 x1·x0， 3x2 04x0 3 2x0 x1， 3x04 3 2x0 则则 y1， y0 x01( 3x04 3 2x0 1) y0 3 2x0 B . ( 3x 0 4 2x03， ， y0 2x03) 直线直线 AF2的方程为的方程为 y(x1)， y0 x01 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 同理可得同理可得 D， 3x04 2x03 y0 2x03 直线直线 BD 的斜率的斜率 k1， y0 2x03 y0 2x03 3x04 2x03 3x 0 4 2x03 4x0y0 12x2 024 x0y0 3x2 06 直线直线 OA 的斜率的斜率 k2， y0 x0 k1·k2· . x0y0 3x2 06 y0 x0 y2 0 3x2 06 1x 2 0 2 3x2 06 1 6 综上，综上，k1·k2为定值，且定值为为定值，且定值为 . 1 6 5.已知函数已知函数 f(x)(xb)(exa)(b0)的图象在点的图象在点(1， f(1)处的切线方程为处的切线方程为(e1)xey e10. (1)求求 a，b； (2)若方程若方程 f(x)m 有两个实数根有两个实数根 x1，x2，且，且 x10 矛盾，故矛盾，故 a1，b1. 1 e (2)证明：由证明：由(1)可知可知 f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0， 设曲线设曲线 yf(x)在点在点(1,0)处的切线方程为处的切线方程为 yh(x)， 则则 h(x)(x1)， ( 1 e 1) 令令 F(x)f(x)h(x)， 则则 F(x)(x1)(ex1)(x1)， ( 1 e 1) F(x)(x2)ex ， ， 1 e 当当 x2 时，时，F(x)(x2)ex 2 时，设时，设 G(x)F(x)(x2)ex ，则 ，则 G(x)(x3)ex0， 1 e 故函数故函数 F(x)在在(2，)上单调递增，又上单调递增，又 F(1)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以当所以当 x(，1)时，时，F(x)0， 所以函数所以函数 F(x)在区间在区间(，1)上单调递减，在区间上单调递减，在区间(1，)上单调递增，上单调递增， 故故 F(x)F(1)0，所以，所以 f(x)h(x)， 所以所以 f(x1)h(x1) 设设 h(x)m 的根为的根为 x1，则，则 x11， me 1 e 又函数又函数 h(x)单调递减，且单调递减，且 h(x1)f(x1)h(x1)，所以，所以 x1x1， 设曲线设曲线 yf(x)在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 yt(x)，易得，易得 t(x)x， 令令 T(x)f(x)t(x)(x1)(ex1)x，T(x)(x2)ex2， 当当 x2 时，时，T(x)(x2)ex222 时，设时，设 H(x)T(x)(x2)ex2，则，则 H(x)(x3)ex0， 故函数故函数 T(x)在在(2，)上单调递增，又上单调递增，又 T(0)0， 所以当所以当 x(，0)时，时，T(x)0， 所以函数所以函数 T(x)在区间在区间(，0)上单调递减，在区间上单调递减，在区间(0，)上单调递增，上单调递增， 所以所以 T(x)T(0)0，所以，所以 f(x)t(x)， 所以所以 f(x2)t(x2) 设设 t(x)m 的根为的根为 x2，则，则 x2m， 又函数又函数 t(x)单调递增，且单调递增，且 t(x2)f(x2)t(x2)， 所以所以 x2x2. 又又 x1x1， 所以所以 x2x1x2x1m1.(1) m 1 2e 1 e