2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章 3.2 第一课时 复数的加减与乘法运算 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _3.2复数的四则运算 第一课时 复数的加减与乘法运算 复数的加减法 已知复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR) 问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ 提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减) 问题 2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足 1复数的加法、减法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， 则 z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减) 2复数加法的运算律 (1)交换律：z1z2z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3). 复数的乘法 设 z1abi，z2cdi，(a，b，c，dR) 问题 1：如何规定两复数相乘？ 提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成1，并 且把实部与虚部分别合并即可即 z1z2(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(bc ad)i. 问题 2：试验复数乘法的交换律 提示：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i， z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i. 故 z1z2z2z1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1复数的乘法 设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadi bdi2(acbd)(adbc)i(a，b，c，dR) 2复数乘法的运算律 对于任意 z1、z2、z3C，有 交换律z1·z2z2·z1 结合律(z1·z2)·z3z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3 共轭复数 问题：复数 34i 与 34i，abi 与 abi(a，bR)有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数 1把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数 2复数 zabi 的共轭复数记作，即abi.z z 3当复数 zabi 的虚部 b0 时，z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身z 1复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)两个复数的和或 差仍是一个复数 2 复数的乘法与多项式的乘法是类似的， 有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1， 再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个 复数的积仍然是一个复数 对应学生用书P38 复数的加减运算 例 1 计算： (1)(35i)(34i)； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)(32i)(45i)； (3)(55i)(22i)(33i) 思路点拨 解答本题可根据复数加减运算的法则进行 精解详析 (1)(35i)(34i)(33)(54)i6i. (2)(32i)(45i) (34)2(5)i77i. (3)(55i)(22i)(33i) (523)5(2)3i10i. 一点通 复数加减运算法则的记忆方法： (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项 1(35i)(4i)(34i)_. 解析：(35i)(4i)(34i) (343)(514)i 410i. 答案：410i 2若(7i5)(98i)(xyi)2，则 xy_. 解析：(7i5)(98i)(xyi) (59x)(78y)i (x4)(y1)i. (x4)(y1)i2， 即 x42，y10. x6，y1. xy5. 答案：5 3计算：(1)(12i)(34i)(56i)； (2)5i(34i)(13i) 解：(1)原式(42i)(56i)18i； (2)原式5i(4i)44i. 复数的乘法 例 2 计算： (1)(1i)(1i)(1i)； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)(2i)(15i)(34i)2i. 思路点拨 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解 精解详析 (1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i. (2)(2i)(15i)(34i)2i (210ii5i2)(34i)2i (211i5)(34i)2i (311i)(34i)2i (912i33i44i2)2i 5321i2i5323i. 一点通 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运 算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样 (2)平方差公式， 完全平方公式等在复数范围内仍然成立 一些常见的结论要熟悉 ： i2 1，(1±i)2±2i. 4(浙江高考改编)已知 i 是虚数单位，则(1i)(2i)_. 解析：(1i)(2i)2i2ii213i. 答案：13i 5若(1i)(2i)abi，其中 a，bR，i 为虚数单位，则 ab_. 解析：(1i)(2i)13iabi，a1，b3， 故 ab4. 答案：4 6计算下列各题 (1)(1i)2； (2)(13i)(34i)； (3)(1i)(1i) ( 1 2 3 2 i) 解：(1)(1i)212ii22i. (2)(13i)(34i)34i9i12i2913i. (3)法一：(1i)(1i) ( 1 2 3 2 i) (1i) ( 1 2 3 2 i1 2i 3 2 i2) (1i) ( 31 2 31 2 i) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 iii2 31 2 31 2 31 2 31 2 1i.3 法二：原式(1i)(1i)(1 2 3 2 i) (1i2)2 ( 1 2 3 2 i) ( 1 2 3 2 i) 1i.3 共轭复数的概念 例 3 已知 zC， 为 z 的共轭复数，若 z· 3i 13i，求 z.zzz 思路点拨 . 设zabi (a，b R) zabi(a，b R) 代入等式利用复 数相等的条件求解 精解详析 设 zabi(a，bR)， 则 abi(a，bR)，z 由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i， 即 a2b23b3ai13i， 则有Error!解得Error!或Error! 所以 z1 或 z13i. 一点通 (1)实数的共轭复数是它本身，即 zRz ，利用此性质可以证明一个复数是实数z (2)若 0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数zz 7已知复数 z1i， 为 z 的共轭复数，则 z· z1_. zz 解析：z1i， 1i，z z· (1i)(1i)2，z z· z12(1i)121i1i.z 答案：i 8复数 z 满足(12i) 43i，则 z_.z 解析：设 zabi，则 abi.z (12i)(abi)43i， abi2ai2b43i， 即(a2b)(2ab)i43i， Error!解之得 a2，b1. z2i. 答案：2i 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9已知复数 z1i，求实数 a，b 使 az2b (a2z)2成立z 解：z1i， az2b (a2b)(a2b)i，z (a2z)2(a2)244(a2)i (a24a)4(a2)i. a，b 都是实数， 由 az2b (a2z)2，得Error!z 两式相加，整理得 a26a80. 解得 a12，a24，对应得 b11，b22. 所求实数为 a2，b1 或 a4，b2. 1复数的加减运算 把复数的代数形式 zabi 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于 多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则 2复数的乘法运算 复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母， 按多项式乘法的法则进行， 注意要把i2化为1， 进行最后结果的化简 对应学生用书P40 一、 填空题 1计算(i3)(25i)的结果为_ 解析：(i3)(25i) i325i 6i5. 答案：56i 2若复数 z12i，(i 为虚数单位)则 z· z 的实部是_z 解析：z12i， 12i，z z· (12i)(12i)5，z z· z512i62i.z 答案：6 3已知 3i(43i)z(67i)，则 z_. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：3i(43i)z(67i) z3i(43i)(67i) (346)(137)i 55i. 答案：55i 4(北京高考)若(xi)i12i(xR)，则 x_. 解析：(xi)i1xi12i，由复数相等的定义知 x2. 答案：2 5已知 z134i，z2ti，且 z1· 2是实数，则实数 t_. z 解析：z2ti， 2ti， z z1· 2(34i)(ti) z 3t3i4ti4i2 (3t4)(4t3)i， 又z1· 2是实数， z 4t30，即 t . 3 4 答案：3 4 二、解答题 6计算：(1)； (2 1 2i) ( 1 22i) (2)(32i)(2)i；3 (3)(63i)(32i)(34i)(2i) 解：(1)原式i i； (2 1 2) ( 1 22) 5 2 5 2 (3)(32i)(2)i3 3(22)i3i；33 (3)(63i)(32i)(34i)(2i) 633(2)32(4)1i 82i. 7计算： (1)(4i6)2i； ( 1 2 3 2i) (2)(1i) ( 1 2 3 2 i)( 3 2 1 2i) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解：(4i6)2i ( 1 2 3 2i) 2i6i239i2i 76i. (2)(1i) ( 1 2 3 2 i)( 3 2 1 2i) (1i) ( 3 4 3 4)( 3 4 1 4)i (1i) ( 3 2 1 2i) i ( 3 2 1 2) ( 1 2 3 2) i. 1 3 2 1 3 2 8(江西高考改编) 是 z 的共轭复数若 z 2，(z )i2(i 为虚数单位)，求 z.zzz 解：法一：设 zabi(a，bR)，则 abi，z z 2a2，a1.z 又(z )i2bi22b2.z b1. 故 z1i. 法二：(z )i2，z 2izz 2 i 又 z 2.z z (z )2i2，zz 2z2i2， z1i.