2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．3.1　抛物线的定义与标准方程 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 23抛抛_物物_线线 23.1 抛物线的定义与标准方程 抛物线的定义与标准方程 读教材读教材·填要点填要点 1抛物线的定义抛物线的定义 平面上到一定点平面上到一定点 F 和定直线和定直线 l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点 F 叫作抛物叫作抛物 线的焦点，定直线线的焦点，定直线 l 叫作抛物线的准线叫作抛物线的准线 2抛物线的标准方程抛物线的标准方程 图象图象标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 y22px(p0) ( p 2， ，0) xp 2 y22px(p0) ( p 2， ，0) xp 2 x22py(p0)(0， ， p 2) yp 2 x22py(p0)(0， ， p 2) yp 2 小问题小问题·大思维大思维 1在抛物线定义中，若去掉条件“在抛物线定义中，若去掉条件“F l” ，点的轨迹还是抛物线吗？” ，点的轨迹还是抛物线吗？ 提示 ： 不一定是抛物线当直线提示 ： 不一定是抛物线当直线 l 经过点经过点 F 时，点的轨迹是过定点时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线且垂直于定直线 l 的一条直线；的一条直线；l 不经过点不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线时，点的轨迹是抛物线 2 到定点 到定点 A(3,0)和定直线和定直线 l： x3 距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？ 提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y212x. 3若抛物线的焦点坐标为若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？，则它的标准方程是什么？ 提示：由焦点在提示：由焦点在 x 轴正半轴上，轴正半轴上， 设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为 y22px(p0)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 其焦点坐标为，其焦点坐标为， ( p 2， ，0) 则 则 2，故，故 p4. p 2 所以抛物线的标准方程是所以抛物线的标准方程是 y28x. 求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点过点(3,2)； (2)焦点在直线焦点在直线 x2y40 上上 自主解答自主解答 (1)当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 x 轴上时，轴上时， 可设抛物线方程为可设抛物线方程为 y22px(p0)， 把点把点(3,2)代入得代入得 222p××(3)，p . 2 3 所求抛物线方程为所求抛物线方程为 y2 x. 4 3 当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴上时，轴上时， 可设抛物线方程为可设抛物线方程为 x22py(p0)， 把把(3,2)代入得代入得(3)22p××2， p . 9 4 所求抛物线方程为所求抛物线方程为 x2 y. 9 2 综上，所求抛物线的方程为综上，所求抛物线的方程为 y2 x 或或 x2 y. 4 3 9 2 (2)直线直线 x2y40 与与 x 轴的交点为轴的交点为(4,0)， 与与 y 轴的交点为轴的交点为(0，2)，故抛物线焦点为，故抛物线焦点为(4,0)或或(0，2)， 当焦点为当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为时，设抛物线方程为 y22px(p0)， 4，p8，抛物线方程为，抛物线方程为 y216x， p 2 当焦点为当焦点为(0，2)时，设抛物线方程为时，设抛物线方程为 x22py(p0)， 2，p4，抛物线方程为，抛物线方程为 x28y， p 2 综上，所求抛物线方程为综上，所求抛物线方程为 y216x 或或 x28y. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若把本例若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点” ，如何求解？中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点” ，如何求解？ 解：直线解：直线 x2y40 与与 x 轴的交点是轴的交点是(4,0)，与，与 y 轴的交点是轴的交点是(0，2)， 则抛物线的准线方程为则抛物线的准线方程为 x4 或或 y2. 当准线方程为当准线方程为 x4 时，可设方程为时，可设方程为 y22px， 则 则 4，p8，抛物线方程为，抛物线方程为 y216x. p 2 当准线方程为当准线方程为 y2 时，可设方程为时，可设方程为 x22py， 则则2，p4，抛物线方程为，抛物线方程为 x28y. p 2 综上，抛物线的标准方程为综上，抛物线的标准方程为 y216x 或或 x28y. 求抛物线标准方程的方法求抛物线标准方程的方法 (1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立 关于参数 当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立 关于参数 p 的方程，求出的方程，求出 p 的值，进而写出抛物线的标准方程的值，进而写出抛物线的标准方程 (2)当焦点位置不确定时， 可设抛物线的方程为当焦点位置不确定时， 可设抛物线的方程为 y2mx 或或 x2ny， 利用已知条件求出， 利用已知条件求出 m， n 的值的值 1若抛物线若抛物线 y22px 的焦点坐标为的焦点坐标为(1,0)，则，则 p_，准线方程为，准线方程为_ 解析：因为抛物线的焦点坐标为解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以 ，所以 1，p2，准线方程为，准线方程为 x 1. p 2 p 2 答案：答案：2 x1 2抛物线的焦点抛物线的焦点 F 在在 x 轴上，直线轴上，直线 y3 与抛物线交于点与抛物线交于点 A，|AF|5，求抛物线的 标准方程 ，求抛物线的 标准方程 解：设所求焦点在解：设所求焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为轴上的抛物线的标准方程为 y22ax(a0)，点，点 A(m，3) 由抛物线的定义得由抛物线的定义得|AF|5， |m a 2| 又又(3)22am，a±1 或或 a±9. 所求抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为 y2±2x 或或 y2±18x. 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程 根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程 (1)y24x；(2)2y2x0. 自主解答自主解答 (1)y24x，抛物线的焦点在，抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上，轴的负半轴上， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又又 2p4，p2. 焦点坐标为焦点坐标为(1,0)，准线方程为，准线方程为 x1. (2)由由 2y2x0，得，得 y2 x. 1 2 抛物线的焦点在抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，轴的正半轴上， 又又 2p ， ，p 1 2 1 4 焦点坐标为，准线方程为焦点坐标为，准线方程为 x . ( 1 8， ，0) 1 8 此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要 理解 此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要 理解 p 的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系 步骤：化为标准方程；明确开口方向；求步骤：化为标准方程；明确开口方向；求 p 值；写焦点坐标和准线方程值；写焦点坐标和准线方程 3求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y x2；(2)x2ay(a0) 1 8 解：解：(1)将抛物线方程将抛物线方程 y x2变形为变形为 x28y，所以抛物线的焦点在，所以抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，轴的负半轴上， 1 8 又又 2p8，所以，所以 p4. 所以焦点坐标为所以焦点坐标为(0，2)，准线方程为，准线方程为 y2. (2)当当 a0 时，抛物线的焦点在时，抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，又轴的正半轴上，又 2pa，所以焦点坐标为，准，所以焦点坐标为，准 (0， ， a 4) 线方程为线方程为 y ； ； a 4 当当 a0)，则由 ，则由 4，得，得 p8， p 2 故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为 y216x. 答案：答案：y216x 6若抛物线若抛物线 y22px(p0)上有一点上有一点 M，其横坐标为，其横坐标为9，它到焦点的距离为，它到焦点的距离为 10，求 抛物线方程和 ，求 抛物线方程和 M 点的坐标点的坐标 解：由抛物线定义，设焦点为解：由抛物线定义，设焦点为 F. ( p 2， ，0) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则准线为则准线为 x ， ，M 到准线的距离为到准线的距离为 d， p 2 则则 d|MF|10.则 则 (9)10，p2. p 2 故抛物线方程为故抛物线方程为 y24x. 将将 M(9，y)代入抛物线方程得代入抛物线方程得 y±6. M(9,6)或或 M(9，6) 一、选择题一、选择题 1抛物线抛物线 y12x2上的点到焦点的距离的最小值为上的点到焦点的距离的最小值为( ) A3 B6 C.D. 1 48 1 24 解析：将方程化为标准形式是解析：将方程化为标准形式是 x2y，因为，因为 2p，所以，所以 p.故到焦点的距离最小故到焦点的距离最小 1 12 1 12 1 24 值为值为. 1 48 答案：答案：C 2若抛物线若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则的右焦点重合，则 p 的值为的值为( ) x2 6 y2 2 A2B2 C4D4 解析：椭圆右焦点为解析：椭圆右焦点为(2,0)， ， 2.p4. p 2 答案：答案：D 3已知已知 F 是抛物线是抛物线 y2x 的焦点，的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线 段 ，则线 段 AB 的中点到的中点到 y 轴的距离为轴的距离为( ) A.B1 3 4 C.D. 5 4 7 4 解析 ： 根据抛物线定义与梯形中位线定理， 得线段解析 ： 根据抛物线定义与梯形中位线定理， 得线段 AB 中点到中点到 y 轴的距离为轴的距离为 (|AF|BF|) 1 2 . 1 4 3 2 1 4 5 4 答案：答案：C 4已知双曲线已知双曲线 C1：1(a0，b0)的离心率为的离心率为 2.若抛物线若抛物线 C2：x22py(p0)的焦的焦 x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 点到双曲线点到双曲线 C1的渐近线的距离为的渐近线的距离为 2，则抛物线，则抛物线 C2的方程为的方程为( ) Ax2yBx2y 8 3 3 16 3 3 Cx28yDx216y 解析：双曲线的渐近线方程为解析：双曲线的渐近线方程为 y± x， b a 由于 由于 2，所以 ，所以 ， c a a2b2 a2 1(b a) 2 b a 3 所以双曲线的渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为 y±x.抛物线的焦点坐标为， 所以 抛物线的焦点坐标为， 所以 2， 所以， 所以 p8，3 (0， ， p 2) p 2 2 所以抛物线方程为所以抛物线方程为 x216y. 答案：答案：D 二、填空题二、填空题 5若抛物线若抛物线 y28x 上的一点上的一点 P 到其焦点的距离为到其焦点的距离为 10，则，则 P 点的坐标为点的坐标为_ 解析 ： 设解析 ： 设 P(xP， yP)， 点， 点 P 到焦点的距离等于它到准线到焦点的距离等于它到准线 x2 的距离， 的距离， xP8， yP±8. 故故 P 点坐标为点坐标为(8，±8) 答案：答案：(8，±8) 6动圆的圆心在抛物线动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过点相切，则动圆必过点 _ 解析：动圆恒与直线解析：动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0) 答案：答案：(2,0) 7已知点已知点 P 在抛物线在抛物线 y24x 上，那么点上，那么点 P 到点 Q到点 Q(2，1)的距离与点的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为的坐标为_ 解析：如图，过点 Q 作 Q解析：如图，过点 Q 作 QA 垂直准线垂直准线 l，垂足为，垂足为 A，则 Q，则 QA 与抛物线 的交点即为 与抛物线 的交点即为 P 点点 易求易求 P. ( 1 4， ， 1) 答案：答案：(1 4， ， 1) 8设抛物线设抛物线 y28x 的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l，P 为抛物线上一点，为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如 果直线 为垂足如 果直线 AF 的斜率为，那么的斜率为，那么|PF|_.3 解析 ： 如图，由直线解析 ： 如图，由直线 AF 的斜率为，得的斜率为，得AFH60°，FAH30°，PAF60°.3 又由抛物线的定义知又由抛物线的定义知|PA|PF|， PAF 为等边三角形为等边三角形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由由|HF|4 得得|AF|8，|PF|8. 答案：答案：8 三、解答题三、解答题 9求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P(2，4)的抛物线的标准方程及 其对应的准线、焦点坐标 的抛物线的标准方程及 其对应的准线、焦点坐标 解：由已知设抛物线的标准方程是解：由已知设抛物线的标准方程是 x22py，(p0)或或 y22px(p0)， 把把 P(2，4)代入代入 x22py 或或 y22px 得得 p 或 或 p4， 1 2 故所求的抛物线的标准方程是故所求的抛物线的标准方程是 x2y 或或 y28x. 当抛物线方程是当抛物线方程是 x2y 时，时， 焦点坐标是焦点坐标是 F，准线方程是，准线方程是 y . (0， ， 1 4) 1 4 当抛物线方程是当抛物线方程是 y28x 时，时， 焦点坐标是焦点坐标是 F(2,0)，准线方程是，准线方程是 x2. 10设设 P 是抛物线是抛物线 y24x 上的一个动点，上的一个动点，F 为抛物线的焦点为抛物线的焦点 (1)若点若点 P 到直线到直线 x1 的距离为的距离为 d，A(1,1)，求，求|PA|d 的最小值；的最小值； (2)若若 B(3,2)，求，求|PB|PF|的最小值的最小值 解：解：(1)依题意，抛物线的焦点为依题意，抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为，准线方程为 x1. 由抛物线的定义，知由抛物线的定义，知|PF|d， 于是问题转化为求于是问题转化为求|PA|PF|的最小值的最小值 如图，连接如图，连接 AF，交抛物线于点，交抛物线于点 P，则最小值为，则最小值为.22125 (2)把点把点 B 的横坐标代入的横坐标代入 y24x 中，得中，得 y±，12 因为因为2，所以点，所以点 B 在抛物线内部在抛物线内部12 自点自点 B 作作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点Q 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图如图) 由抛物线的定义，知由抛物线的定义，知|P1Q Q|P1F|， ， 则则|PB|PF|P1B|P1Q Q|BQ Q|314. 即即|PB|PF|的最小值为的最小值为 4.