2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．4～3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 343.5直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系_平面的法向量平面的法向量 读教材读教材·填要点填要点 1射影射影 (1)过空间任意一点过空间任意一点 P 作平面作平面 的垂线与的垂线与 相交于点相交于点 P0，则，则 P0称为点称为点 P 在平面在平面 内的内的 射影射影 (2)预先给定平面预先给定平面 ，空间任何一个图形的每一个点，空间任何一个图形的每一个点 P 在平面在平面 上都有一个射影上都有一个射影 P0，所 有这些 ，所 有这些 P0在平面在平面 上组成一个图形，称为这个空间图形在平面上组成一个图形，称为这个空间图形在平面 上的射影上的射影 2三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直么它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 3平面的法向量平面的法向量 与平面与平面 垂直的非零向量称为垂直的非零向量称为 的法向量的法向量 小问题小问题·大思维大思维 1平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？ 提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的 2 若直线 若直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为(1,1,1)， 向量， 向量(1， ， 1,0)及向量及向量(0,1， ， 1)都与平面都与平面 平行， 则 平行， 则 l 与与 有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？ 提示：提示：(1,1,1)·(0,1，1)0， (1,1,1)·(1，1，0)0， 而向量而向量(1，1,0)与向量与向量(0,1，1)不平行，不平行，l. 利用判定定理用向量法证明线面垂直利用判定定理用向量法证明线面垂直 在正方体在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，E，F 分别为分别为 BB1，D1B1的中点，求证：的中点，求证：EF 平面 平面 B1AC. 自主解答自主解答 设正方体的棱长为 设正方体的棱长为 2， 建立如图所示的直角坐标系， 建立如图所示的直角坐标系， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则 A(2， 0,0)， C(0,2,0)， B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2) (1，1,1)，(0,2，2)，(2,2,0)EF AB1 AC ·(1，1,1)·(0,2,2)0，EF AB1 ·(1，1,1)·(2,2,0)0，EF AC EFAB1，EFAC.又又 AB1ACA， EF平面平面 B1AC. 利用判定定理，即通过证明向量数量积为利用判定定理，即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内两条相交 直线的方向向量垂直 来验证直线的方向向量与平面内两条相交 直线的方向向量垂直 1已知长方体已知长方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，ADAA1，AB2AD，点，点 E 是线段是线段 C1D1的中点， 求证： 的中点， 求证：DE平面平面 EBC. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系证明：建立如图所示的空间直角坐标系 D­xyz， 设， 设 AD1， 则， 则 AA11， AB2，则可得，则可得 D(0,0,0)，E(0,1,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)， (0,1,1)，(1,1，1)， (0,1，1)，DE EB EC 因为因为·110，DE EB ·110，DE EC 所以所以 DEEB，DEEC， 又又 EBECE，所以，所以 DE平面平面 EBC. 求平面的法向量求平面的法向量 在正方体在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为 a，G，E，F 分别为分别为 AA1，AB，BC 的 中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面 的 中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面 GEF 的法向量的法向量 自主解答自主解答 以 以 D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则则 G，E，F， (a， ，0， ， 1 2a) (a， ， 1 2a， ，0) ( 1 2a， ，a， ，0) ，GE (0， ， 1 2a， ， 1 2a) .GF ( 1 2a， ，a， ， 1 2a) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设平面设平面 GEF 的法向量的法向量 n(x，y，z)，则，则 Error!即即Error! 令令 yz1，则，则 x1， 平面平面 GEF 的一个法向量为的一个法向量为(1,1,1) 本例条件不变，求平面本例条件不变，求平面 A1EFC1的法向量的法向量 解：解：A1(a,0，a)，E，F， (a， ， 1 2a， ，0) ( 1 2a， ，a， ，0) ，.A1E (0， ， 1 2a， ， a)A1F ( 1 2a， ，a， ， a) 设平面设平面 A1EFC1的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则，则 Error!即即Error! 令令 y2，z1，则，则 x2. 平面平面 A1EFC1的一个法向量为的一个法向量为(2,2,1) 求平面法向量的一般步骤为：求平面法向量的一般步骤为： (1)设出平面的法向量为设出平面的法向量为 n(x，y，z)； (2)找出找出(求出求出)平面的两个不共线的向量的坐标平面的两个不共线的向量的坐标 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)； (3)根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组的方程组Error! (4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可 在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量 解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可 在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量 2已知已知ABC 的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试求出 平面 ，试求出 平面 ABC 的一个法向量的一个法向量 解：设平面解：设平面 ABC 的法向量为的法向量为 n(x，y，z) A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)， (1，2，4)，(2，4，3)，AB AC 由题设得：由题设得： Error!即即Error!解得解得Error! 取取 y1，则，则 x2. 故平面故平面 ABC 的一个法向量为的一个法向量为 n(2,1,0) 利用法向量证明线面垂直利用法向量证明线面垂直 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图所示，正方体如图所示，正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，M，N 分别为分别为 AB， B1C 的中点试用向量法判断的中点试用向量法判断 MN 与平面与平面 A1BD 的位置关系的位置关系 自主解答自主解答 设正方体的棱长为 设正方体的棱长为 1，以，以 D 为坐标原点，为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴、轴、 y 轴、轴、z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 D­xyz. 则则 B(1,1,0)，A1(1,0,1)， M，N， (1， ， 1 2， ，0) ( 1 2， ，1， ， 1 2) (1,0,1)，(1,1,0)，DA1 DB .MN ( 1 2， ， 1 2， ， 1 2) 设平面设平面 A1BD 的一个法向量为的一个法向量为 n0(x，y，z)， 则则Error! 即即Error! 取取 x1，则，则 yz1， n0(1，1，1) n02，即，即 n0.MN MN MN平面平面 A1BD. 利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线 面垂直解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量 利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线 面垂直解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量 3在棱长为在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，M 为棱为棱 BB1的中点，在棱的中点，在棱 DD1上是否存 在点 上是否存 在点 P，使，使 MD平面平面 PAC? 解：如图，建立空间直角坐标系，则解：如图，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)， M， (1， ，1， ， 1 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 假设存在假设存在 P(0,0，x)满足条件，满足条件， 则则(1,0，x)，(1,1,0)PA AC 设平面设平面 PAC 的法向量为的法向量为 n(x1，y1，z1)， 则由则由Error!得得Error! 令令 x11 得得 y11，z1 ，即 ，即 n， 1 x (1， ，1， ， 1 x) 由题意由题意n，由得，由得 x2，MD MD ( 1， ，1， ，1 2) 正方体棱长为正方体棱长为 1，且，且 21， 棱棱 DD1上不存在点上不存在点 P，使，使 MD平面平面 PAC. 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 如图在正方体如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中，中，E为为BB1的中点，的中点，F为为CD的中点，的中点，G 为为 AB 的中点的中点 求证：平面求证：平面 ADE平面平面 A1FG. 巧思巧思 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径， 一是利用两个平面垂直的判 定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法 向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径， 一是利用两个平面垂直的判 定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法 向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直 妙解妙解 法一 ： 以 法一 ： 以 D 为原点，为原点，DA， DC， DD1所在的直线分别为所在的直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标 系 轴建立空间直角坐标 系 D­xyz，设正方体棱长为，设正方体棱长为 1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 D(0,0,0)，E，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，G，F. (1， ，1， ， 1 2) (1， ， 1 2， ，0) (0， ， 1 2， ，0) ， ，(1,0,0)AE (0， ，1， ， 1 2) A1G (0， ， 1 2， ， 1)GF ·0 0，·0000.AE A1G 1 2 1 2 AE GF ，AE A1G AE GF 即即 AEA1G，AEGF， 又又 A1GGFG， AE平面平面 A1GF. AE平面平面 ADE， 平面平面 ADE平面平面 A1GF. 法二：建立坐标系如法一法二：建立坐标系如法一 设平面设平面 AED 的法向量为的法向量为 n(x1，y1，z1) 平面平面 A1GF 的法向量为的法向量为 m(x2，y2，z2) 则则 n，n，AE AD Error! 取取 z12，则，则 n(0，1,2) 由由 m，m得得A1G GF Error! 取取 z21，则，则 m(0,2,1) m·n0220，mn. 平面平面 ADE平面平面 A1GF. 1 给定下列命题 ： 若 给定下列命题 ： 若 n1， n2分别是平面分别是平面 ， 的法向量， 则的法向量， 则 n1n2； 若； 若 n1， n2 分别是平面分别是平面 ， 的法向量，则的法向量，则 n1·n20；若；若 n 是平面是平面 的法向量，且向量的法向量，且向量 a 与平 面 与平 面 共面，则共面，则 a·n0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正 确命题的个数是 ；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正 确命题的个数是( ) A1 B2 C3D4 解析：正确，中由解析：正确，中由 n1n2. 答案：答案：C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2若直线若直线 l 的方向向量为的方向向量为 a(1,0,2)，平面，平面 的法向量为的法向量为 n(2,0,4)，则，则( ) AlBl ClDl 与与 斜交斜交 解析：解析：a(1,0,2)，n(2,0,4)， n2a，即，即 an. l. 答案：答案：B 3若平面若平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，且，且 ，则，则 x 的值为的值为( ) A10B10 C.D 1 2 1 2 解析：解析：， 的法向量也垂直，的法向量也垂直， 即即(1,2,4)·(x，1，2)0. x280.x10. 答案：答案：B 4设平面设平面 与向量与向量 a(1,2，4)垂直，平面垂直，平面 与向量与向量 b(2,3,1)垂直，则平面垂直，则平面 与与 的位置关系是的位置关系是_ 解析：由已知，解析：由已知，a，b 分别是平面分别是平面 ， 的法向量的法向量 a·b2640， ab，. 答案：垂直答案：垂直 5 已知点 已知点 P 是平行四边形是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点， 如果所在的平面外一点， 如果(2， ， 1， ， 4)，AB AD (4,2,0)，(1,2，1)对于结论：对于结论：APAB；APAD；是平面；是平面 ABCD 的的AP AP 法向量；法向量；.其中正确的是其中正确的是_AP BD 解析 ：解析 ：·2240，APAB，正确 ；，正确 ；·440，APAB AP AP AD AD，正确；且是平面，正确；且是平面 ABCD 的法向量；正确，错误的法向量；正确，错误AP 答案：答案： 6 如图， 在四棱锥 如图， 在四棱锥P­ABCD中， 底面中， 底面ABCD是矩形，是矩形， PA平面平面ABCD， APAB2， BC2 ，E，F 分别是分别是 AD，PC 的中点的中点2 证明：证明：PC平面平面 BEF. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 证明：如图，以证明：如图，以A为坐标原点，为坐标原点，AB， AD， AP所在直线分别为所在直线分别为x， y，z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 APAB2，BCAD2，四边形，四边形 ABCD 是矩形是矩形2 则则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)22 又又 E，F 分别是分别是 AD，PC 的中点，的中点， E(0， ， ，0)，F(1， ， ，1)22 (2,2，2)，(1， ， ，1)，(1,0,1)PC 2BF 2EF ·2420，·2020.PC BF PC EF ，.PC BF PC EF PCBF，PCEF. 又又 BFEFF， PC平面平面 BEF. 一、选择题一、选择题 1若平面若平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 u(2，3,5)，v(3,1，4)，则，则( ) A B C， 相交但不垂直相交但不垂直D以上均不正确以上均不正确 解析：且解析：且 u·v0， 3 2 1 3 4 5 ， 相交但不垂直相交但不垂直 答案：答案：C 2若直线若直线 l 的方向向量为的方向向量为 (2,2,2)，向量，向量 m(1，1,0)及及 n(0,1，1)都与平面都与平面 平行，则平行，则( ) Al Bl Cl 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Dl 与与 相交但不垂直相交但不垂直 解析：因为解析：因为 ·m2200，·n0220，所以，所以 m，且，且 n，又，又 m 与与 n 不 平行，所以 不 平行，所以 ，即，即 l. 答案：答案：A 3设设 A 是空间一定点，是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件为空间内任一非零向量，满足条件·n0 的点的点 M 构成的构成的AM 图形是图形是( ) A圆圆B直线直线 C平面平面D线段线段 解析：解析：M 构成的图形是经过点构成的图形是经过点 A，且以，且以 n 为法向量的平面为法向量的平面 答案：答案：C 4已知平面已知平面 内有一个点内有一个点 A(2，1,2)，它的一个法向量为，它的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点，则下列点 P 中， 在平面 中， 在平面 内的是内的是( ) A(1，1,1)B.(1， ，3， ，3 2) C.D. (1， ， 3， ，3 2) ( 1， ，3， ，3 2) 解析 ： 要判断点解析 ： 要判断点 P 是否在平面内， 只需判断向量与平面的法向量是否在平面内， 只需判断向量与平面的法向量 n 是否垂直， 即是否垂直， 即PA PA ·n 是否为是否为 0 即可，因此，要对各个选项进行逐个检验即可，因此，要对各个选项进行逐个检验 对于选项对于选项 A，(1,0,1)，则，则·n(1,0,1)·(3,1,2)50，故排除，故排除 A；对于选项；对于选项 B，PA PA ，则，则·n·(3,1,2)0.同理，选项同理，选项 C、D 也不符合要求，故选也不符合要求，故选 B.PA (1， ， 4， ，1 2) PA (1， ， 4， ，1 2) 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 5 若直线 若直线 l 的方向向量为的方向向量为(2,1， m)， 平面， 平面 的法向量为， 且的法向量为， 且 l， 则， 则 m_. (1， ， 1 2， ，2) 解析：解析：l， 直线直线 l 的方向向量平行于平面的方向向量平行于平面 的法向量的法向量 ， ，m4. 2 1 1 1 2 m 2 答案：答案：4 6已知已知 a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面分别是平面 ， 的法向量，则的法向量，则 ， 三个平面中互相垂直的有三个平面中互相垂直的有_对对 解析：解析：a·b(0,1,1)·(1,1,0)10， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 a·c(0,1,1)·(1,0,1)10，b·c(1,1,0)·(1,0,1)10. a，b，c 中任意两个都不垂直，即中任意两个都不垂直，即 ， 中任意两个都不垂直中任意两个都不垂直 答案：答案：0 7 平面 平面， 的法向量分别为的法向量分别为m(1,2， ， 2)， n(2， ， 4， k)， 若， 若， 则， 则k等于等于_ 解析：由解析：由 知，知，m·n0. 282k0，解得，解得 k5. 答案：答案：5 8.如图所示， 在直三棱柱如图所示， 在直三棱柱 ABC­A1B1C1中， 底面是以中， 底面是以ABC 为直角的等腰三角形，为直角的等腰三角形， AC2a， BB13a， D 是是 A1C1的中点， 点的中点， 点 E 在棱在棱 AA1上， 要使上， 要使 CE面面 B1DE， 则， 则 AE _. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则则 B1(0,0,3a)， C(0，a,0)，2 D， ( 2a 2 ， ， 2a 2 ， ，3 3 a) 设设 E(a,0，z)(0z3a)，2 则，则，CE (2a， ， 2a， ，z) (a,0，z3a)，B1E 2 .B1D ( 2a 2 ， ， 2a 2 ， ，0) 又又·a2a200，CE B1D 故由题意得故由题意得 2a2z23az0， 解得解得 za 或或 2a.故故 AEa 或或 2a. 答案：答案：a 或或 2a 三、解答题三、解答题 9如图，正三棱柱如图，正三棱柱 ABC­A1B1C1的所有棱长都为的所有棱长都为 2，D 为为 CC1中点中点 求证：求证：AB1平面平面 A1BD. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 证明 ： 取证明 ： 取 BC 中点中点 O， B1C1中点中点 O1， 以， 以 O 为原点，的为原点，的OB OO1 OA 方向为方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)， D(1,1,0)，A1(0,2, )， A(0,0，)，B1(1,2,0)，33 (1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)AB1 3BD BA1 3 ·2200，AB1 BD ·1430，AB1 BA1 ，.AB1 BD AB1 BA1 即即 AB1BD，AB1BA1. 又又 BDBA1B，AB1平面平面 A1BD. 10.如图，正方体如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，E，F 分别是分别是 BB1，CD 的中 点 的中 点 (1)证明：平面证明：平面 AED平面平面 A1FD1； (2)在在 AE 上求一点上求一点 M，使得，使得 A1M平面平面 DAE. 解：解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系证明：建立如图所示的空间直角坐标系 D­ xyz，不妨设正方体的棱长为，不妨设正方体的棱长为 2，则，则 A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)设平面设平面 AED 的法向量 为 的法向量 为 n1(x1，y1，z1)， 则， 则 Error! 2x10,2x12y1z10. 令令 y11，得，得 n1(0,1，2) 同理可得平面同理可得平面 A1FD1的法向量的法向量 n2(0,2,1) 因为因为 n1·n20，所以平面，所以平面 AED平面平面 A1FD1. (2)由于点由于点 M 在在 AE 上，所以可设上，所以可设 ··(0,2,1)(0,2，)，AM AE 可得可得 M(2,2，)，于是，于是(0,2，2)A1M 要使要使 A1M平面平面 DAE，需，需 A1MAE， 所以所以·(0,2，2)·(0,2,1)520，A1M AE 得得 .故当故当 AM AE 时，时，A1M平面平面 DAE. 2 5 2 5