2019数学新设计北师大选修2-3精练：第一章 计数原理 习题课1 Word版含答案.pdf
高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 习题课习题课二项式定理的应用二项式定理的应用 A 组 1.已知(a+b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( ) A.11B.10 C.9D.8 解析:只有第 5 项的二项式系数最大, +1=5. n=8. 答案:D 2.的展开式中 x2y3的系数是( ) A.-20B.-5 C.5D.20 解析:由已知,得 Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0r5,rZ), 令 r=3,得 T4=(-2)3x2y3=-20x2y3. 故选 A. 答案:A 3.使(nN+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A.4B.5 C.6D.7 解析:由二项式的通项公式得 Tr+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则 n- r=0,即 n= r,所以 n 最小值为 5. 答案:B 4.设函数 f(x)=则当 x0 时,ff(x)表达式的展开式中常数项为( ) A.-20B.20C.-15D.15 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:当 x0 时,f(x)=-(n+2)·(nN+,n2). 证明因为 nN+,且 n2, 所以 3n=(2+1)n展开后至少有 4 项. (2+1)n=2n+·2n-1+·2+12n+n·2n-1+2n+12n+n·2n-1=(n+2)·2n-1, 故 3n(n+2)·2n-1(nN+,n2). 10.求证:1+2+22+(nN+)能被 31 整除. 证明1+2+22+ =-1=32n-1 =(31+1)n-1 =·31n+·31n-1+·31+-1 =31(·31n-1+·31n-2+), 显然·31n-1+·31n-2+为整数, 原式能被 31 整除. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 B 组 1.若(x+y)9按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且 x+y=1,xy1,即 x 的取值范围为(1,+). 答案:D 2.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以 8 的余数为( ) A.1B.3 C.5D.7 解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+2 0162 014(-1)1+(-1)2 015,倒数两项和为 2 015×2 016-1,其除以 8 的余数为 7,因此 2 0152 015除以 8 的余数是 7. 答案:D 3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,则 a7= . 解析:x8=1+(x-1)8=(x-1)+(x-1)7+(x-1)8,a7=8. 答案:8 4.(2x-1)10展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 . 解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10, 令 x=1,得 a0+a1+a2+a10=1, 再令 x=-1,得 310=a0-a1+a2-a3+a10, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 两式相减,可得 a1+a3+a9=. 答案: 5.设的展开式的常数项为 a,则直线 y=ax 与曲线 y=x2围成图形的面积为 . 解析:Tr+1=xr-3x2r=x3r-3,令 r=1,得 a=3,直线 y=3x 与曲线 y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),直 线 y=ax 与曲线 y=x2围成图形的面积 S=(3x-x2)dx=. 答案: 6.导学号43944021设 a0,n 是大于 1 的自然数,的展开式为 a0+a1x+a2x2+anxn.若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a= . 解析:由题意得 a1=3, n=3a;a2=4, n2-n=8a2. 将 n=3a 代入 n2-n=8a2得 9a2-3a=8a2,即 a2-3a=0,解得 a=3 或 a=0(舍去).a=3. 答案:3 7.求证:32n+2-8n-9(nN+)能被 64 整除. 分析可将 32n+2写成(8+1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果. 证明 32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =8n+1+8n+82+8+-8n-9 =8n+1+8n+82+(n+1)8+1-8n-9 =8n+1+8n+82 =64(8n-1+8n-2+), 所以 32n+2-8n-9(nN+)能被 64 整除. 8.导学号43944022已知在二项式(axm+bxn)12中,a0,b0,mn0 且 2m+n=0. (1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项? (2)在(1)的条件下,求 的取值范围. 解(1)设 Tk+1=(axm)12-k·(bxn)k =a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项, 则有 m(12-k)+nk=0, 即 m(12-k)-2mk=0. m0,k=4,它是第 5 项. (2)第 5 项是系数最大的项, 由得,由得, .
