2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第20课__导数在研究函数中的应用（1） Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _第 20 课_导数在研究函数中的应用(1)_ 1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题 2. 理解数形结合思想，转化思想在导数中的应用 3. 理解函数在某点取得极值的条件. 1. 阅读：选修 11 第 8692 页 2. 解悟：教材第 86 页中间的关于函数的导数和单调性关系的结论怎么理解？它的逆命题 是否成立，试举例说明你会利用导数说明(或证明)函数在给定区间上的单调性吗？函数 的极值是怎么定义的？一个函数是否一定有极大值和极小值？有极大值或极小值的函数的 极值是否唯一？函数的极值和导数具有怎样的关系？教材第 88 页的两张表格中的内容你理 解吗？给你一个具体函数你会求它的极值点吗？我们知道函数的最大值和最小值是函数 定义域内的性质，函数的极值是对函数定义域内某一局部而言的，它们之间的关系为 ： 最大 值可能在极值点或函数的端点取到极值不一定是最值， 最值也不一定是极值 会做教材第 87 页的例 2， 例 3， 第 89 页的例 2， 第 90 页的例 2， 并能总结下列问题类型解题的一般步骤 ： 一是利用导数判断或证明函数在给定区间上的单调性；二是利用导数求函数的单调区间；三 是利用导数求函数的极值；四是利用导数求函数的最值 3. 践习 ： 在教材的空白处完成第87页练习第1(2)、 3(2)题， 第89页练习第1(2)、 4题， 第9192 页练习第 4、5 题，习题第 2(2)(4)、3(2)(3)、4(3)、8(4)题. 基础诊断 1. 函数 f(x)3x26lnx 的单调减区间是_(0，1)_ 解析 ： 由题意得， f(x)6x ， 令 f(x)0， 解得 00)有极_大_值_ 2x x23 3 3 解析：由题意得，f(x).令 f(x)0，即0，解得 x或 x 62x2 （x 23）2 62x2 （x 23）2 33 (舍去)当 00； 当 x时，f(x)0， 函数 f(x)在区间上单调递增 ； 当 x时， f(x)f(2)f(2)，故 m3，最小值为 f(2)37. 范例导航 考向 利用导数研究函数的最值问题 例 1 已知函数 f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1) 若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1， c)处具有公共切线， 求实数 a， b 的值 (2) 当 a3，b9 时，若函数 f(x)g(x)在区间k，2上的最大值为 28，求实数 k 的 取值范围 解析：(1) 由题意得，f(x)2ax，g(x)3x2b. 因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以 f(1)g(1) 且 f(1)g(1)，即 a11b 且 2a3b，解得 a3，b3. (2) 记 h(x)f(x)g(x)，当 a3，b9 时，h(x)x33x29x1， 所以 h(x)3x26x9. 令 h(x)0 得 x13，x21. h(x)，h(x)在 x(，2上的变化情况如下表所示： x(，3)3(3，1)1(1，2)2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 h(x)00 h(x)2843 由表可知当 k3 时，函数 h(x)在区间k，2上的最大值为 28；当3 1 2) 最小值为 1，则实数 a 的值为_1_ 解析 ： 因为 yf(x)是奇函数，且当 x(2，0)时，f(x)的最小值为 1，所以当 x(0，2) 时， 最大值为1.令 f(x) a0， 得 x .当 00； 当 x 时， f(x)0，函数 f(x)单调递增 所以当 x3 时，f(x)有极小值，f(3)9. 又 f(1)1，f(5)15， 所以函数 f(x)在1，5 上的最小值是 f(3)9，最大值是 f(5)15. 设 x1 与 x2 是函数 f(x)alnxbx2x 的两个极值点 (1) 试确定常数 a 和 b 的值； (2) 试判断 x1，x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由 解析：(1) 由题意得，f(x) 2bx1. a x 因为 x1 与 x2 是函数 f(x)alnxbx2x 的两个极值点， 所以即 f（1）0， f（2）0，) a2b10， a 24b10，) 解得 a2 3， b1 6，) 所以 a 的值为 ，b 的值为 . 2 3 1 6 (2) 由(1)得 f(x) x1， 2 3x 1 3 （x1）（x2） 3x 所以由 f(x)0 得 12， 所以函数 f(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(0，1)和(2，)上单调递减， 所以 x1 是函数 f(x)的极小值点，x2 是函数 f(x)的极大值点. 考向 利用导数求解不等式的恒成立问题 例 3 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1) 求证：函数 f(x)是 R 上的偶函数； (2) 若关于 x 的不等式 mf(x)exm1 在区间(0，)上恒成立，求实数 m 的取值 范围 解析：(1) 函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称；又因为 f(x)exexf(x)， 所以函数 f(x)是 R 上的偶函数 (2) 由 mf(x)exm1 得 m(exex)exm1，即 m(exex1)ex1， 令 tex(t0)， 因为 exex1t 1211，当且仅当 t1 时，等号成立，故 m 1 t 1 t1 t1 t1 ，令 h(t). 1t t2t1 1t t2t1 h(t). t（t2） （t 2t1）2 则当 t2 时，h(t)0；当 02 恒成立，求实数 a 的取值范围 解析：(1) 当 a1 时， f(x)x (x0)， 1 x x21 x 令 f(x)0 得 x1，令 f(x)0) 1 a 1 x x2a ax 不等式 f(x)2 在1，2上恒成立等价于函数 f(x)在区间1，2上的最小值 f(x)min2. 因为 a0，所以令 f(x)0 得 x . a 当 02，解得 02，无解； 2 a 当 12，无解a 1 2 1 2 综上所述，所求实数 a 的取值范围为. (0， 1 4) 自测反馈 1. 若函数 f(x)在 x1 处取极值，则实数 a_3_ x2a x1 解析 ： f(x)， 因为函数 f(x)在 x1 处取极值， 所以 f(1)0， 即 x22xa （x1）2 x2a x1 12a （11）2 0，解得 a3. 2. 已知 a0，b0，若函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值 等于_9_ 解析：f(x)12x22ax2b，因为函数 f(x)在 x1 处有极值，f(1)122a2b0， 所以 ab6.又 a0， b0， 所以 ab2， 所以 26， 所以 ab9， 当且仅当 ab3abab 时取等号，所以 ab 的最大值为 9. 3. 已知 f(x)x33x1，若对于在区间3，2上的任意 x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t， 则实数 t 的最小值是_20_ 解析 ： 对于在区间3， 2上的任意 x1， x2， 都有|f(x1)f(x2)|t， 等价于对于在区间3， 2 上的任意x， 都有f(x)maxf(x)mint.因为f(x)x33x1， 所以f(x)3x233(x1)(x1)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 x3，2，所以函数 f(x)在区间3，1)和(1，2上单调递增，在(1，1)上单调 递减，所以 f(x)maxf(2)f(1)1，f(x)minf(3)19，所以 f(x)maxf(x)min20，所以 t20，故实数 t 的最小值为 20. 4. 分别在曲线 yex与直线 yex1 上各取一点 M， N， 则 MN 的最小值为_ 1e2 1e2 解析：要想求 MN 的最小值，则需过曲线上一点的切线与直线 yex1 平行，设切点 为(x0，y0)曲线 yex的导数 yex，所以在点(x0，y0)的切线的斜率 kex0，所以 ex0e， 即x01， 所以切点为(1， e)， 所以切线的方程为yee(x1)， 即exy0， 所以切线exy 0 与直线 yex1 的距离，故 MN 的最小值为. 1 e21 1e2 1e2 1e2 1e2 1. 导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必 2. 极值与导数的关系，极值点附近左右两侧的导数是否异号可以判断函数是否有极值 的 3. 求函数在给定区间上的最值时，需要注意区间端点的开闭对答案的影响 4. 你还有哪些体悟，写下来：