2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第33课__三角函数在实际问题中的应用 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _第 33 课_三角函数在实际问题中的应用_ 1. 会利用三角函数的概念和性质以及解三角形等知识解决有关三角函数的实际问题 2. 能灵活利用代数、几何知识建立三角函数模型，综合利用三角函数、不等式等知识解决 实际问题 1. 阅读：必修 5 第 1820 页；必修 4 第 4144 页，第 116117 页，第 122 页 2. 解悟：正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？实际应用中常用的术 语，如仰角、俯角、方位角、坡度、方向角，你清楚含义吗？ 3. 践习：在教材空白处，完成必修 4 第 116 页例 5、第 122 页例 5；完成必修 5 第 1819 页例 2、例 4，第 20 页练习第 4 题，第 21 页习题第 6、7、8 题. 基础诊断 1. 海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60°视角，从 B 望 C 和 A 成 75°视角，则 BC_5_n mile.6 解析：由题意得在ABC 中，AB10，A60°，B75°，所以 C45°.由正弦定理可 得，即 BC·sinA5. BC sinA AB sinC AB sinC 6 2. 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C，D，测 得BCD30°， BDC120°， CD10m， 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°， 则塔高 AB _30_m. 解析 ： 在BCD 中，由正弦定理得，即 BC·sin120°10. BC sinBDC CD sinCBD 10 sin30° 3 在 RtABC 中，ABBC·tanACB10×30，故 AB30m.33 3. 如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方向，之后它继续 沿正北方向匀速航行，上午 10： 00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 且与它相距 8n mile，则此船的航速是_32_n mile/h.2 解析：由题可知，S75°30°45°，由正弦定理可得，即 AB16.又因 BS sin30° AB sinS 为此船航行了 0.5h，所以此船的航速为 16÷0.532(nmile/h). 4. 如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共 线的一点 C，然后给出了三种测量方案(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)： 测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a. 则一定能确定 A，B 间距离的所有方案为(填序号) 解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的 A，B 两点间的距离；对于直接利用余 弦定理即可确定 A，B 两点间的距离 范例导航 考向 距离、高度问题 例 1 如图，点 M 在 A 城的南偏西 19°的方向上，现有一辆汽车在点 B 处沿公路向 A 城直线行驶，公路的走向是 A 城的南偏东 41°.开始时，汽车 B 到 M 的距离为 9km，汽车前 进 6km 到达点 C 时，到 M 的距离缩短了 4km. (1) 求BCM 的面积 S； (2) 汽车还要行驶多远才能到达 A 城. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：(1) 在BCM 中，BM9，MC5，BC6.由余弦定理得 cosBCM ， BC2MC2MB2 2 × BC × MC 1 3 则 sinBCM，所以 S MC·BC·sinMCB ×5×6×10(km2) 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 2 (2) 由条件得MAC . 3 由(1)得 cosBCM ，sinBCM则 1 3 2 2 3 cosACMcos(BCM)cosBCM ，sinACM， 1 3 2 2 3 所以 sinAMCsin(ACM 3) sin(ACM) 2 3 cosACM sinACM 3 2 1 2 . 32 2 6 在AMC 中， 由正弦定理得， 则 AC AC sinAMC MC sinMAC MC·sinAMC sinMAC 1510 6 9 (km) 故汽车还要行驶 km 才能到达 A 城 1510 6 9 如图，一栋建筑物 AB 的高为(3010) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD，3 在它们之间的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15°和 60°，在 楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角是 30°，则通信塔 CD 的高为_60_m. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：在 RtABM 中，AM·sin90°20，过点 A 作 ANCD， AB sin15° 3010 3 sin15° 6 垂足为点 N，在 RtACN 中，因为CAN30°， 所以ACN60°. 又在 RtCMD 中，CMD60°， 所以MCD30°，所以ACM30°. 在AMC 中，AMC105°， 所以， AC sin105° AM sinACM 20 6 sin30° 所以 AC6020，CN3010，33 所以 CDDNCNABCN3010301060(m). 33 【注】 本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，求距离或高度实际就 是选定或确定要创建的三角形，选择正弦定理还是余弦定理解三角形的边长. 考向 角度问题 例 2 如图，两座建筑物 AB，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它 的高度分别是 9m 和 15m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角CAD45°. (1) 求 BC 的长度； (2) 在线段BC上取一点P(点P与点B， C不重合)， 从点P看这两座建筑物的视角为APB ，DPC，问当点 P 在何处时， 最小？ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 ： (1) 过点 A 作 AECD， 垂足为 E， 则 CE9， DE6， 设 BCx， 则 tanCAD tan(CAEDAE)1， tanCAEtanDAE 1tanCAE·tanDAE 9 x 6 x 19 x· 6 x 化简得 x215x540， 解得 x18 或 x3(舍) 故 BC 的长度为 18m. (2) 设 BPt，则 CP18t(00，f(t)是增66 函数， 所以当 t1527 时 f(t)取得最小值，即 tan()取得最小值6 因为t218t1350)， 则年总产值为 4k×800(4sincoscos)3k×1 600(cossincos)8 000k(sincos cos)，. 0， 2) 设 f()sincoscos， 0， 2) 则 f()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1) 令 f()0，得 ， 6 当 时，f()0，所以 f()为增函数 ； 当 时，f()2，所以救援车能从树下通过333 3. 海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 A 处北偏 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 东 45°的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105°的方向以每小时 9 海里的速度行 驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_ _小时 2 3 解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”在 B 处相遇所需的最短时间为 x 小时，由 已知得在ABC 中， AC10， AB21x， BC9x， ACB120°， 由余弦定理得 AB2AC2 BC22AC·BC·cosACB，即(21x)2102(9x)22·10·9x·，整理得 36x29x100， ( 1 2) 解得 x 或 x(舍)，所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 2 3 5 12 2 3 小时 1. 理解题意中各类角的概念 2. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要 的一步 3. 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用 4. 你还有哪些体悟，写下来： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印