2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第50课__圆锥曲线的定义在解题中的应用 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 50 课 圆锥曲线的定义在解题中的应用 1. 了解圆锥曲线的统一定义，能够运用定义求圆锥曲线的标准方程. 2. 理解圆锥曲线准线的意义，会利用准线进行相关的转化和计算. 1. 阅读：选修 11 第 5253 页(理科阅读选修 21 相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲 线的统一定义，并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程. 2. 解悟：写出圆锥曲线的统一定义，写出椭圆1(ab0)和双曲线1(a0， x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 b0)的准线方程；椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？ 3. 在教材上的空白处完成选修 11 第 54 页练习第 2 题(理科完成选修 21 相应任务). 基础诊断 1. 点 P 在椭圆1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 到左 x2 25 y2 9 准线的距离为 . 25 3 解析：设椭圆的左，右焦点分别为 F1，F2，由题意知 PF1PF22a10，PF12PF2， 所以 PF1， PF2.因为椭圆1 的离心率为 e ， 所以点 P 到左准线的距离 d 20 3 10 3 x2 25 y2 9 4 5 . PF1 e 20 3 4 5 25 3 2. 已知椭圆1 上一点的横坐标为 2，则该点到左焦点的距离是 . x2 25 y2 9 33 5 解析：椭圆1，则 a5，b3，c4，所以离心率 e .由焦半径公式可得 x2 25 y2 9 c a 4 5 该点到左焦点的距离为 aex5 ×2. 4 5 33 5 3. 焦点在 x 轴上，且一个焦点到渐近线的距离为 3，到相应准线的距离为 的双曲线的 9 5 标准方程为 1 . x2 16 y2 9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析：设双曲线的方程为1，焦点为(c，0)，(c，0)，渐近线方程为 y± x， x2 a2 y2 b2 b a 准线方程为 x± ，由题意得焦点到渐近线的距离 db3，所以 b3.因为 a2 c bc a2b2 bc c 焦点到相应准线的距离为 ，所以有解得所以双曲线的标准方程为 9 5 ca 2 c 9 5， c2a29，) a4， c5，) x2 16 1. y2 9 4. 已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1，F2， x2 a2 y2 b2 若 AF1，F1F2，F1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为 . 5 5 解析 ： 设椭圆的半焦距为 c， 则 AF1ac， F1F22c， F1Bac.又因为 AF1， F1F2， F1B 为等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即 a25c2，所以椭圆的离心率 e . c a 5 5 范例导航 考向 用圆锥曲线统一定义求解问题 例 1 已知点 A(2， 1)在椭圆1 内， F 为椭圆的右焦点， 在椭圆上求一点 P， 使得 PA x2 16 y2 12 2PF 最小. 解析 ： 如图，直线 l 是椭圆的右准线，椭圆的离心率 e ，由圆锥曲线统一定义可知 1 2 e ， PF PH 1 2 所以 PH2PF， 所以 PA2PFPAPH. 过点 A 作 AHl，垂足为 H，交椭圆于点 P， 由图可知，当点 P 在 P处时，PAPH 的值最小， 点 P的纵坐标为 1，代入椭圆方程得其横坐标为， 2 33 3 故所求点 P 的坐标为. ( 2 33 3 ，1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知点 A(3，0)，F(2，0)，在双曲线 x21 上求一点 P，使得 PA PF 最小. y2 3 1 2 解析：因为 a1，b，所以 c2，离心率 e2.3 设点 P 到与焦点 F(2， 0)相应的准线的距离为 d， 则2， 所以 PFd， 所以 PA PF PF d 1 2 1 2 PAd. 问题转化为在双曲线上求点 P，使点 P 到定点 A 的距离与到相应准线的距离和最小， 即直线 PA 垂直于准线时符合题意， 此时，点 P 的坐标为(1，0). 考向 用圆锥曲线的统一定义求解简单的综合问题 例 2 B1，B2是椭圆1(ab0)的短轴端点，椭圆的右焦点为 F，B1B2F 为等边三角 x2 a2 y2 b2 形，点 F 到椭圆右准线 l 的距离为 1，求椭圆的方程. 解析：因为B1B2F 为正三角形，OFc，OB2b，B2Fa， 所以 e cos30°， c a OF FB2 3 2 所以 c a 3 2 ， a2 c c1，) 解得所以 b. a2 3， c3，) 3 故所求椭圆方程为1. x2 12 y2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点， x2 a2 y2 b2 顶点 B 的坐标为(0，b)，且BF1F2是边长为 2 的等边三角形. (1) 求椭圆的方程； (2) 过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A， C两点， 记ABF2， BCF2的面积分别为S1， S2. 若 S12S2，求直线 l 的斜率. 解析：(1) 由题意得 a2c2，b2a2c23， 所求椭圆的方程为1. x2 4 y2 3 (2) 设点 B 到直线 AC 的距离为 h，由于 S12S2， 所以 AF2·h2× F2C·h，即 AF22F2C， 1 2 1 2 所以2.AF2 F2C 方法一：设 A(x1，y1)，C(x2，y2). 又 F2(1，0)，则(1x1，y1)2(x21，y2)， 即x 132x2， y12y2.) 由 x 4 y 31， （32x2）2 4 （2y 2）2 3 1，) 解得 x27 4， y2 ± 3 5 8 ，) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以直线 l 的斜率 k±. ± 3 5 8 7 41 5 2 方法二：由方法一知 x132x2， 设点 A(x1，y1)到椭圆1 右准线 x4 的距离为 d，则 ， x2 4 y2 3 AF2 d 1 2 所以 AF22 x1，同理 CF22 x2. 1 2 1 2 由 AF22F2C，得 2 x12， 1 2 (2 1 2x 2) 即 x22 x1. 1 2 所以 x2 (以下同方法一). 7 4 方法三：椭圆的右准线为直线 x4， 分别过 A， C 作准线的垂线，垂足分别为 A，C， 过 C 作 CHAA，垂足为 H，如图所示. 由于 ， CF2 CC AF2 AA 1 2 又 AF22F2C，在 RtCAH 中， AC3F2C，AH2F2C，所以 CHF2C，5 所以 tanCAH. 5 2 根据椭圆的对称性知，所求直线的斜率为±. 5 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 自测反馈 1. F1、 F2分别是双曲线1 的左、 右焦点， 设 P 是双曲线上的一点， 且 PF116， y2 20 x2 16 则点 P 到双曲线右准线的距离为 16 或 . 16 3 解析：在双曲线1 中，因为 a216，b220，所以 c6，因为 P 是双曲线上一 x2 16 y2 20 点，且 PF116，所以点 P 到双曲线左准线的距离为 d.又因为左、右准线之 PF1 e 16 3 2 32 3 间距离为，所以点 P 到双曲线右准线的距离为16 或. 2a2 c 16 3 |d ± 2a2 c| 16 3 2. 如果双曲线的两个焦点分别为 F1(3，0)，F2(3，0)，一条渐近线方程为 yx，那2 么它的两条准线间的距离是 2 . 解析：设双曲线的方程为1(a0，b0)，则有解得所以两 x2 a2 y2 b2 a2b29， b a 2， ) a23， b26，) 条准线间的距离是2. 2a2 c 3. 已知点 A(x0，y0)在双曲线1 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 2x0， x2 4 y2 32 则 x0 2 . 解析：双曲线1，则 a2，b4，c6，所以右焦点 F(6，0)，离心率 3， x2 4 y2 32 2 c a 将点 A(x0， y0)代入双曲线方程， 得 y 8x 32， 所以 AF 2 02 0 （x 06）2y （x 06）28x32 2x0，解得 x02. 4. 若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是 9 . 解析：由题意得抛物线的准线为 x1.因为点 M 到焦点的距离为 10，所以点 M 到准 线 x1 的距离为 10，所以 M 到 y 轴的距离为 9. 1. 在解题中遇到焦点时应主动考虑两种定义. 2. 要注意左焦点对应左准线，右焦点对应右准线. 3. 你还有哪些体悟，写下来： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印