2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第18课　抛物线的标准方程与几何性质 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _第 18 课_抛物线的标准方程与几何性质_ 1. 会求顶点在原点的抛物线的标准方程 2. 理解抛物线的几何性质 3. 会处理简单的直线与抛物线的位置关系. 1. 阅读：选修 21 第 5053 页 2. 解悟：列出抛物线的几何性质的表格并总结 3. 践习：在教材空白处，完成第 51 页例 1、例 2，第 52 页的例 1、例 2. 基础诊断 1. 若已知抛物线的准线方程为 x7，顶点为坐标原点，则抛物线的标准方程为 _ 2. 若已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 xy2 上，则抛物线的 方程是_ 3. 抛物线 y28x 上的两点 M、 N 到焦点 F 的距离分别是 d1， d2， 若 d1d25， 则线段 MN 的中点 P 到 y 轴的距离为 _ 4. 若双曲线 x2y2a2(a0)的右焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则 a_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 范例导航 考向 直线与抛物线的位置关系 例 1 已知抛物线 C：y22px(p0)过点 A(1，2) (1) 求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； (2) 是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l， 使得直线 l 与抛物线 C 有公共点， 且直 线 OA 与 l 的距离等于？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 5 5 已知抛物线 W：y24x 的焦点为 F，直线 y2xt 与抛物线 W 相交于 A，B 两点 (1) 若 t0，求 AB 的值； (2) 若 AB3，求ABF 的周长5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考向 抛物线中的定点，定值问题 例 2 过直线 y1 上的动点 A(a，1)作抛物线 yx2的两切线 AP，AQ，P，Q 为切点求证： (1) 若切线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，则 k1·k2为定值； (2) 直线 PQ 过定点 直线 l：yk(x2)与抛物线 E：y24x 交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点是 C， 求证：直线 BC 恒过一定点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考向 抛物线中的证明题 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y24x，F 为其焦点，点 E 的坐 标为(2， 0)， 设点 M 为抛物线 C 上异于顶点的动点， 直线 MF 交抛物线 C 与另一点 N， 连结 ME， NE 并延长分别交抛物线 C 于点 P，Q. (1) 当 MNOx 时，求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标； (2) 当直线 MN，PQ 的斜率存在且分别记为 k1，k2时，求证：k12k2. 自测反馈 1. 已知 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，A，B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点 为 M(2，2)，则ABF 的面积等于_ 2. 已知抛物线 C：y24x 的准线为 l，过点 M(1，0)且斜率为 k 的直线与 l 相交于点 A， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 与抛物线 C 的一个交点为 B，若2，则 k _AM MB 3. 抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 A，过抛物线 C 上的一点 P(在第 一象限内)作直线 l 的垂线 PQ，垂足为 Q，若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为 _ 4. 已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y 轴的距离之和 的最小值是_ 1. 抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为 点到准线的距离，可以使运算化繁为简 2. 在抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离，Error!等于焦 点到抛物线顶点的距离. 牢记它对解题非常有益 3. 对条件的分析，不仅是初步能转化成什么，更要注意条件转化的方向，你的体会是： 第 18 课 抛物线的标准方程与几何性质 基础诊断 1. y228x 解析：由题意可知抛物线的准线方程为 x7，即 7，则 p14.又 p 2 因为该抛物线顶点为坐标原点，所以抛物线的标准方程为 y228x. 2. y28x 或 x28y 解析 ： 若抛物线关于 y 轴对称，则令该抛物线焦点为，代入 (0， p 2) 直线 xy2 得 2，解得 p4，故此时抛物线的方程是 x28y； 若抛物线关于 x 轴 p 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对称，则令该抛物线焦点为，代入直线 xy2 得 2，解得 p4，故此时抛物线的 ( p 2，0) p 2 方程是 y28x.综上，该抛物线方程为 y28x 或 x28y. 3. 解析 ： 因为抛物线 y28x 上两点 M， N 到焦点 F 的距离分别是 d1， d2， 且 d1d25， 1 2 所以点 M，N 到准线的距离和为 5，因为抛物线 y28x 的准线方程为 x2，所以线段 MN 的中点 P 到 y 轴的距离为2 . d1d2 2 1 2 4. 解析：抛物线 y24x 的焦点为(1，0)，故双曲线 x2y2a2的右焦点为(1，0)， 2 2 即 2a21，且 a0，故 a. 2 2 范例导航 例 1 解析：(1) 将(1，2)代入 y22px，得 p2， 故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1. (2) 直线 OA 的方程为 y2x. 设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2xt， 由得 y22y2t0. y2xt， y24x，) 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点， 所以 48t0，解得 t . 1 2 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d， 5 5 可得，解得 t1 或 t1(舍去)， |t| 5 1 5 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10. 解析：(1) 当 t0 时，直线方程为 y2x，由 y2x， y24x，) 得到或 x0， y0) x1， y2.) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 不妨设点 A(0，0)，B(1，2)， 故 AB.（10）2（20）25 (2) 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 得整理得 4x2(4t4)xt20， y2xt， y24x，) 则 16t232t1616t21632t 0， x1x244t 4 1t， x1x2t 2 4， ) 所以 AB·|x2x1|··，1225（1t）24·t 2 4 512t 即·3，解得 t4.512t5 经检验，此时 0，且 x1x21t5，AB3 . 5 根据抛物线的定义，得到 AFBFx1x2p527， (x 1p 2) (x 2p 2) 所以ABF 的周长为 73 . 5 【注】 本题主要考查了抛物线中的弦长公式 (1) 当 t0 时，求出 AB 方程，然后与抛物线联立方程组，解出点 A，B 的坐标，即可 求出 AB. (2) 联立得到关于 x 的二次方程， 根据弦长公式， 求出 t 的值， 再根据 AFBF y2xt， y24x，) x1x2p 就可以得出结果 (x 1p 2) (x 2p 2) 例2 解析 ： (1) 设过点A作抛物线yx2的切线的斜率为k， 则切线的方程为y1k(x a)， 与方程 yx2联立，消去 y，得 x2kxak10. 因为直线与抛物线相切， 所以 k24(ak1)0，即 k24ak40. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由题意知，此方程两根为 k1，k2，所以 k1·k24，即 k1·k2为定值 (2) 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 yx2，得 y2x， 所以在点 P 处的切线斜率为 k12x1， 因此，切线方程为 yy12x1(xx1) 由 y1x ，化简得 2x1xyy10. 2 1 同理可得 2x2xyy20. 因为两切线的交点为 A(a，1)，故 2x1ay110，2x2ay210， 所以 P，Q 两点在直线 2xay10 上，即直线 PQ 的方程为 2xay10. 当 x0 时，y1，所以直线 PQ 经过定点(0，1) 解析：由题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)(x1x2)， 由直线代入抛物线方程，消 x 整理得 ky24y8k0，则 y1y28，y1y2 . 4 k 直线 BC：yy1(xx1)(xx1)，所以 y(xx1)y1 y2y1 x2x1 4 y2y1 4 y2y1 4x4x1 y2y1 (x2)， y1y2y y2y1 4 y2y1 故直线 BC 恒过定点(2，0) 例 3 解析 ： (1) 抛物线 C： y24x， 焦点 F(1， 0) 当 MNOx 时， 直线 MN 的方程为 x1， 将 x1 代入抛物线 C： y24x，得 y±2.不妨设点 M(1，2)，N(1，2)，则直线 ME 的方程 是 y2x4，由解得 x1 或 x4，于是点 P(4，4)，同理得 Q(4，4)， y2x4， y24x，) 所以直线 PQ：x4，所以直线 PQ 与 x 轴的交点坐标为(4，0) (2) 设直线 MN 的方程为 xmy1，点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由得 y24my40，于是 y1y24，从而 x1x21.设直线 MP 的方 xmy1， y24x，) yy 4 × 4 程为 xty2， 由得 y24ty80， 于是 y1y38， x1x34.同理 y2y48， x2x4 xty2， y24x，) 4，所以 y32y2，x34x2，y42y1，x44x1， k2 · k1，即 k12k2. y4y3 x4x3 2y12y2 4x14x2 1 2 y1y2 x1x2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 自测反馈 1. 2 解析 ： 由题意得该抛物线准线为 x1，焦点 F(1，0)，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y 4x1，y 4x2，y1y24，所以(y1y2)(y1y2)4(x1x2)因为 x1x2，所以 2 12 2 y1y2 x1x2 1， 所以直线AB的方程为y2x2， 即yx， 将其代入y24x， 得点A(0， 0)， B(4， 4)， 4 y1y2 所以 AB4.又点 F(1，0)到直线 yx 的距离为，所以 SABF ××42.2 2 2 1 2 2 2 2 2. ±2 解析 ： 由题意得，抛物线准线为 x1，则点 M 到准线的距离为 2.因为22AM ，所以点 B 的横坐标为 2，代入抛物线 C： y24x，可得 y±2，所以 B 的坐标为(2，2MB 2 )或(2，2)，则 k±2.22 ± 2 2 21 2 3. (4，4) 解析：设点 P(t0)，则四边形 AFPQ 的周长为 AFPFPQAQ16， ( t2 4 ，t ) 所以 2 1 1t16，解得 t4 或 t6(舍去)，故点 P 的坐标为(4，4) t2 4 t2 4 4. 1 解析：由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)，设点 P 到直线 l 的距离为 d.由抛5 物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为 PF1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之 和为 dPF1.又因为 dPF 的最小值为点 F 到直线 l 的距离，所以 dPF 的最小值为 ，所以 dPF1 的最小值为1. |203| 22（1）2 55