2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用精练：第八章第8讲　立体几何中的向量方法（二）——求空间角 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 8 讲 立体几何中的向量方法讲 立体几何中的向量方法(二二)求空间角求空间角 一、选择题 1.(2016·长沙模拟)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小 为( ) A. B. C. D. 6 4 3 2 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1，则 A(0，0，0)，C(1，1， 0)， B1(1，0，1)，D(0，1，0). (1，1，0)，(1，1，1)，AC B1D ·1×(1)1×10×(1)0，AC B1D ，AC B1D AC 与 B1D 所成的角为. 2 答案 D 2.(2017·郑州调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的正 弦值为( ) A. B. C. D. 3 2 3 3 3 5 2 5 解析 设正方体的棱长为 1， 以 D 为坐标原点，DA， DC， DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)， B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 所以(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1).BB1 AC AD1 令平面 ACD1的法向量为 n(x， y， z)， 则 n·xy0， n·xz0，AC AD1 令 x1，可得 n(1，1，1)， 所以 sin |cosn，|.BB1 1 3 × 1 3 3 答案 B 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中， 点E 为BB1的中点， 则平面A1ED与平面 ABCD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所成的锐二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 1 2 2 3 3 3 2 2 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1， 则 A1(0，0，1)， E，D(0，1，0)， (1，0， 1 2) (0，1，1)，A1D ，A1E (1，0， 1 2) 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1，y，z)，所以有即 A1D ·n10， A1E ·n10，) 解得 yz0， 11 2z0，) y2， z2.) n1(1，2，2). 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0，0，1)， cosn1，n2 . 2 3 × 1 2 3 即所成的锐二面角的余弦值为 . 2 3 答案 B 4.(2017·西安调研)已知六面体 ABCA1B1C1是各棱长均等于 a 的 正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点，则直线 CC1与平面 AB1D 所成 的角为( ) A.45° B.60° C.90° D.30° 解析 如图所示，取 AC 的中点 N，以 N 为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则 A，C，B1，D，C1 (0， a 2，0) (0， a 2，0)( 3a 2 ，0，a) (0， a 2， a 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ， (0， a 2，a) ，(0，0，a).AB1 ( 3a 2 ，a 2，a) AD (0，a， a 2) CC1 设平面 AB1D 的法向量为 n(x，y，z)， 由 n·0，n·0，可取 n(，1，2).AB1 AD 3 cos，n，CC1 CC1 ·n |CC1 |n| 2a a × 2 2 2 2 直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 45°. 答案 A 5.设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 则点 D1到平面 A1BD 的距离是( ) A. B.C. D. 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 解析 如图建立坐标系.则 D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，(2，0，0)，D1A1 (2， 2， 0)，DB 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y，z)，则 n·DA1 0， n·DB 0，) 令 z1，得 n(1，1，1). 2x2z0， 2x2y0，) D1到平面 A1BD 的距离 d. |D1A1 ·n| |n| 2 3 2 3 3 答案 D 二、填空题 6.(2017·昆明月考)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABBCAA1， ABC90°， 点 E， F 分别是棱 AB， BB1的 中点， 则直线 EF 和 BC1所成的角是_. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA1 2， 则 C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)， 则(0，1，1)，(2，0，2)，·2，EF BC1 EF BC1 cos， ，EF BC1 2 2 × 2 2 1 2 EF 和 BC1所成的角为 60°. 答案 60° 7.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的 正弦值等于_. 解析 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA12AB 2，则D(0，0，0)， C(0， 1， 0)， B(1， 1， 0)， C1(0， 1， 2)， 则(0， 1， 0)，DC (1， 1， 0)， (0，1，2).DB DC1 设平面BDC1的一个法向量为n(x， y， z)， 则n， n， 所以DB DC1 有令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n (2，2，1). xy0， y2z0，) 设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ，则 sin |cosn， | .DC | n·DC |n|DC | 2 3 答案 2 3 8.已知点 E， F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1， CC1上， 且 B1E2EB， CF2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_. 解析 延长 FE，CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示. 设正方体的棱长为 3， 则 GBBC3， 作 BHAG 于点 H， 连 接 EH， 则EHB 为所求二面角的平面角. BH，EB1，tanEHB. 3 2 2 EB BH 2 3 答案 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 三、解答题 9.(2015·全国卷)如图， 四边形ABCD为菱形， ABC120 °，E，F是平面ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF 平面 ABCD， BE2DF，AEEC. (1)证明：平面 AEC平面 AFC， (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. (1)证明 如图，连接 BD， 设 BDACG， 连接 EG， FG， EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120°，可得 AGGC . 3 由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC. 又 AEEC， 所以 EG，且 EGAC.3 在 Rt EBG 中，可得 BE，故 DF.2 2 2 在 Rt FDG 中，可得 FG. 6 2 在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE，DF，可得 EF，2 2 2 3 2 2 从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG. 又 ACFGG，可得 EG平面 AFC. 因为 EG平面 AEC， 所以平面 AEC平面 AFC. (2)解 如图，以 G 为坐标原点，分别以，的方向为 x 轴，y 轴正方向，|GB GC GB 为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz， 由(1)可得 A(0，0)，E(1，0，)，F，32 (1，0， 2 2) C(0， ，0).3 所以(1， ，)，.AE 32CF (1， 3， 2 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 cos， .AE CF AE ·CF |AE |CF | 3 3 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为. 3 3 10.(2016·全国卷)如图， 在以 A， B， C， D， E， F 为顶点的 五面体中， 平面 ABEF 为正方形， AF2FD， AFD90°， 且二面角DAFE与二面角CBEF 都是 60°. (1)证明：平面 ABEF平面 EFDC； (2)求二面角 EBCA 的余弦值. (1)证明 由已知可得 AFDF，AFEF， 所以 AF平面 EFDC. 又 AF平面 ABEF， 故平面 ABEF平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DGEF，垂足为 G. 由(1)知 DG平面 ABEF. 以 G 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空GF GF 间直角坐标系 Gxyz. 由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角， 故DFE60°， 则|DF|2， |DG| . 3 可得 A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).3 由已知得 ABEF，所以 AB平面 EFDC. 又平面 ABCD平面 EFDCCD， 故 ABCD，CDEF. 由 BEAF，可得 BE平面 EFDC， 所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60°. 从而可得 C(2，0，).3 所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).EC 3EB AC 3AB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量， 则即 n·EC 0， n·EB 0，) x 3z0， 4y0，) 所以可取 n(3，0，).3 设 m 是平面 ABCD 的法向量，则 m·AC 0， m·AB 0，) 同理可取 m(0， ，4).3 则 cosn，m. n·m |n|m| 2 19 19 故二面角 EBCA 的余弦值为. 2 19 19 11.(2017·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三 棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB， 则直线 BC1与直线 AB1 夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5 5 5 3 2 5 5 3 5 解析 不妨令 CB1， 则 CACC12， 可得 O(0， 0， 0)， B(0， 0， 1)， C1(0， 2， 0)， A(2，0，0)，B1(0，2，1)， (0，2，1)，(2，2，1)，BC1 AB1 cos，0.BC1 AB1 BC1 ·AB1 |BC1 |AB1 | 41 5 ×9 1 5 5 5 与的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角，BC1 AB1 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为. 5 5 答案 A 12.在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点， 且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 ODSOOAOBOCa.则 A(a， 0， 0)， B(0， a， 0)， C( a，0，0)，P. (0， a 2， a 2) 则(2a，0，0)，CA AP (a， a 2， a 2) (a，a，0)，CB 设平面 PAC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则解得可取 n(0，1，1)， n·CA 0， n·AP 0，) x0， yz，) 则 cos，n ，CB CB ·n |CB |·|n| a 2a2 · 2 1 2 又，n(0°，180°)，n60°，CB CB 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°60°30°. 答案 A 13.如图所示，二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别 在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC 6， BD8， CD2，则该二面角的大小为_.17 解析 ，CD CA AB BD ·|·|· cos， 24.CA BD CA BD CA BD cos， .CA BD 1 2 又所求二面角与， 互补，CA BD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所求的二面角为 60°. 答案 60° 14.(2016·四川卷)如图， 在四棱锥 PABCD 中， ADBC， ADCPAB90°，BCCD AD.E为棱 AD的中 1 2 点，异面直线PA与CD 所成的角为 90°. (1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； (2)若二面角 PCDA 的大小为 45°， 求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值. 解 (1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行. 延长 AB， DC， 相交于点 M(M平面 PAB)， 点 M 即为所 求的一个点.理由如下 ： 由已知，知 BCED，且 BCED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形. 从而 CMEB. 又 EB平面 PBE，CM平面 PBE， 所以 CM平面 PBE. (说明 ： 延长 AP 至点 N， 使得 APPN， 则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)法一 由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以 CD平面 PAD. 从而 CDPD. 所以PDA 是二面角 PCDA 的平面角. 所以PDA45°. 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2. 过点 A 作 AHCE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH. 易知 PA平面 ABCD，从而 PACE. 于是 CE平面 PAH. 所以平面 PCE平面 PAH. 过 A 作 AQPH 于 Q， 则 AQ平面 PCE. 所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在 RtAEH 中，AEH45°，AE1， 所以 AH. 2 2 在 RtPAH 中，PH，PA2AH2 3 2 2 所以 sinAPH . AH PH 1 3 法二 由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以 CD平面 PAD. 于是 CDPD. 从而PDA 是二面角 PCDA 的平面角. 所以PDA45°. 由 PAAB，可得 PA平面 ABCD. 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2. 作 AyAD，以 A 为原点，以，的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立AD AP 如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0， 0， 0)， P(0， 0， 2)， C(2， 1， 0)， E(1， 0， 0)， 所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2)，PE EC AP 设平面 PCE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 由得 n·PE 0， n·EC 0，) x2z0， xy0，) 设 x2，解得 n(2，2，1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ， 则 sin . |n·AP | |n|·|AP | 2 2 ×22（2）212 1 3 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 . 1 3