2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第二章 微专题一 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 微专题一 多元变量的最值问题微专题一 多元变量的最值问题 经验分享 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生 在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手对于高中生，主要掌握的是 一元变量的最值问题因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法 一、代入减元 例 1 设 x，yR，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值 解 由 2x8yxy0 得 y，因为 x，yR，所以 x8，所以 2x x8 xyxxx2 2x x8 2x816 x8 16 x8 (x8)1021018， 16 x8 x8· 16 x8 当且仅当 x8，即 x12 时，取“”号 16 x8 所以，当 x12，y6 时，xy 取得最小值 18. 点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题， 虽然此解法不是最优的解法， 但可 能是学生比较容易想到的解法它的优点是由前面的等式可以得到 y，代入 xy 中， 2x x8 从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的 二、等量减元 例 2 设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当取得最大值时， 的最大值 xy z 2 x 1 y 2 z 为( ) A0 B1 C. D3 9 4 答案 B 解析 由已知得 zx23xy4y2(*) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则1， 当且仅当 x2y 时取等号， 把 x2y 代入(*)式， 得 z2y2， xy z xy x23xy4y2 1 x y 4y x 3 所以 211. 2 x 1 y 2 z 1 y 1 y 1 y2 ( 1 y1) 点评 此题是 2013 年山东高考理科第 12 题， 作为选择题压轴题， 其难度在于如何寻求多元 变量 x，y，z 之间的关系，进而达到减元的目的其实，由变到就已经应用 xy z xy x23xy4y2 到了代入消元，再由变到仍然用到了整体消元的思想(把 当做整体)， xy x23xy4y2 1 x y 4y x 3 x y 从而寻求到了取最大值时变量x， y， z之间的关系 最后由 变到 应用到了x， y， xy z 2 x 1 y 2 z 1 y2 2 y z 之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的这是一道典型的利用减元的方法求 多元变量最值的例题 三、换元减元 例 3 已知 ，不等式 2sin cos sin cos m10 恒成立，求实数 m 的取 0， 2 值范围 解 原问题等价于：当 时， 0， 2 不等式 m2sin cos sin cos 1 恒成立 令 y2sin cos sin cos 1， 0， 2 即求函数的最小值 令 tsin cos sin，2 ( 4) 因为 ， 0， 2 所以 ，所以 t1， 4 4， 3 4 2 又 2sin cos t21， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 yt21t1 2 ， (t 1 2) 1 4 当 t1(即 0)时，ymin2. 故 m2. 点评 此题中的 sin cos ，sin cos 若不加处理难以将变量统一起来但是，观察到 sin cos 与 sin cos 的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的 四、整体减元 例 4 已知函数 f(x)xln x ·x2xa(aR)在其定义域内有两个不同的极值点 a 2 (1)求 a 的取值范围； (2)设两个极值点分别为 x1，x2，证明：x1·x2e2. 解 (1)0x20，则由以上两式分别相加和相减得： ln(x1x2)a(x1x2)， ln a(x1x2) x1 x2 消去 a 得 ln(x1x2)·ln. x1x2 x1x2 ( x1 x2) 又因为要证 x1·x2e2成立，故只需证 ln(x1x2)2，即只需证·ln2， x1x2 x1x2 ( x1 x2) 即证 ln2·， ( x1 x2) x1x2 x1x2 即只需证 ln2·， ( x1 x2) x1 x21 x1 x21 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 令 t 1，则上式为 ln t2·. x1 x2 t1 t1 构造函数 g(t)ln t2·(t1)， 则 g(t)0， 所以函数 g(t)在(1， )上单调递增， t1 t1 t12 tt12 所以 g(t)g(1)0，即不等式 ln t2·成立故 x1·x2e2. t1 t1 点评 此题属于难题由证明的结论可知，结论中没有参数 a，故首先需要先消掉参数 a.故 由 ln x1ax1，ln x2ax2变形后再消去 a，但是也不能就这两个式子简单地消掉 a，只有这 样才能有后面的将 当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题 x1 x2 的艺术精华所在 以上几题均是求多元变量的最值问题， 可以发现这类问题的基本策略是减元， 进而利用 单元函数求最值，从而达到解题的目的可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器