2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十章 算法、统计与概率 10.6 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 §10.6 几何概型 几何概型 考情考向分析 以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率， 常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查在高考中常以填空题的形式考查， 难度为中档 1几何概型 设 D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区 域 D 内随机地取一点，区域 D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件 A 的发生可以视 为恰好取到区域 D 内的某个指定区域 d 中的点这时，事件 A 发生的概率与 d 的测度(长度、 面积、体积等)成正比，与 d 的形状和位置无关我们把满足这样条件的概率模型称为几何概 型 2几何概型的概率计算公式 一般地，在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A， 则事件 A 发生的概率 P(A). d的测度 D的测度 3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 4随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法 (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)作为所求概率的近似值 M N 概念方法微思考 1古典概型与几何概型有什么区别？ 提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件 有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个 2几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每 一点被取到的机会相等( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( × ) (5)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P .( × ) 1 9 题组二 教材改编 2P110 习题 T1在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为_ 答案 1 3 解析 坐标小于 1 的区间为0,1)，长度为 1，0,3的区间长度为 3，故所求概率为 . 1 3 3P116 习题 T6有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是_ 答案 解析 P(A) ，P(B) ，P(C) ，P(D) ， 3 8 2 8 2 6 1 3 P(A)P(C)P(D)P(B) 4P120 复习 T10设不等式组Error!Error!表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此 点到坐标原点的距离大于 2 的概率是_ 答案 4 4 解析 如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表 示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4.因此满足 条件的概率是. 4 4 题组三 易错自纠 5在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m_. 5 6 答案 3 解析 由|x|m，得mxm. 当 0AC 的 概率为_ 答案 1 6 解析 设事件 D 为“作射线 CM，使 AMAC” 在 AB 上取点 C使 ACAC， 因为ACC是等腰三角形， 所以ACC75°， 180°30° 2 事件 D 发生的区域 D90°75°15°， 构成事件总的区域 90°， 所以 P(D) . D 15° 90° 1 6 题型一 与长度、角度有关的几何概型 1(2018·连云港模拟)记函数 f(x)的值域为 D.在区间1,2上随机取一个数 x，则2xx2 xD 的概率是_ 答案 1 3 解析 2xx21(x1)21，01，2xx2 即 D 为0,1，在1,2上随机取一个数 x， 则 xD 的概率是 . 10 21 1 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2某公司的班车在 7：00，8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是_ 答案 1 2 解析 如图所示，画出时间轴 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 上时， 才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，得所求概率 P . 1010 40 1 2 3.如图，四边形 ABCD 为矩形，AB，BC1，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与3 线段 BC 有公共点的概率为_ 答案 1 3 解析 因为在DAB 内任作射线 AP，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是DAB，当 射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在CAB 内，则区域 H 为CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 . CAB DAB 30° 90° 1 3 4在区间0,5上随机地选择一个数 p，则方程 x22px3p20 有两个负根的概率为 _ 答案 2 3 解析 方程 x22px3p20 有两个负根， 则有Error!Error!即Error!Error! 解得 p2 或 32，4n. x2 m2 y2 n2 如图， 由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率， 易知直线 mn 恰好将矩形平分， 所求的概率为 P . 1 2 11在区间，内随机取出两个数分别记为 a，b，求函数 f(x)x22axb22有零点 的概率 解 由函数 f(x)x22axb22有零点， 可得 (2a)24(b22)0， 整理得 a2b22， 如图所示， (a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 (a，b)|a， b，其面积 S(2)242. 事件 A 表示函数 f(x)有零点，所构成的区域为 M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 其面积为 SM423， 故 P(A)1 . SM S 423 42 4 12甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率 解 设甲、 乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y， 记事件 A 为 “两船都不需要等待码头空出” ， 则 0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上 或乙比甲早到达 2 h 以上，即 yx1 或 xy2.故所求事件构成集合 A(x，y)|yx1 或 xy2，x0,24，y0,24 A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合 为边长是 24 的正方形及其内部 所求概率为 P(A)A的面积 的面积 2412× 1 2242 2 × 1 2 242 . 506.5 576 1 013 1 152 13在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 的概率为_ 1 2 答案 3 4 解析 设任取两点所表示的数分别为 x，y，则 0x1，且 0y1，如图所示， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 总 事 件 所 占 的 面 积 为 1.记 这 两 点 之 间 的 距 离 小 于为 事 件 A， 则 A 1 2 ， 如图中阴影部分所示， 空白部分所占的面积为 x，y|xy| 1 2，0 x 1，0 y 1 2× × × ，所以所求两点之间的距离小于 的概率 P(A) . 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 11 4 1 3 4 14 向圆 C： (x2)2(y)24 内随机投掷一点， 则该点落在 x 轴下方的概率为_3 答案 1 6 3 4 解析 如图所示， 连结 CA，CB，依题意，圆心 C 到 x 轴的距离为，所以弦 AB 的长为 2.又圆的半径为 2，3 所以ACB60°， 所以 S圆 C×224， 所以 S弓形 ADB ×2× 60° × × 22 360° 1 2 3 2 3 ，3 所以向圆 C 内随机投掷一点， 则该点落在 x 轴下方的概率 P . 2 3 3 4 1 6 3 4 15 如图， 在面积为 S 的矩形 ABCD 内任取一点 P， 则PBC 的面积小于 的概率为_ S 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 1 2 解析 如图， 设PBC 的边 BC 上的高为 PF， 线段 PF 所在的直线交 AD 于点 E， 当PBC 的面积等于 时， S 4 BC· PF BC· EF，所以 PF EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于点 G，交 CD 于点 H， 1 2 1 4 1 2 则满足条件“PBC 的面积小于 ”的点 P 落在矩形 GBCH 边界(不包括 BC，GH)及其内部 S 4 设“PBC 的面积小于 ”为事件 A，则构成事件 A 的区域的面积为 ，而试验的全部结果所 S 4 S 2 构成的区域面积为 S，所以由几何概型的概率计算公式得 P(A) . S 2 S 1 2 所以PBC 的面积小于 的概率是 . S 4 1 2 16.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率 解 设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，OA 的中点为 D，如图， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 连结 OC，DC. 不妨令 OAOB2， 则 ODDADC1. 在以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S1 ×1×11， 4 1 2 ( 4 1 2 × 1 × 1) 所以整个图形中空白部分面积 S22. 又因为 S扇形 OAB ××22， 1 4 所以 P . 2