2020高考人教数学（理）大一轮复习检测：第八章 第四节　椭　圆 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 限时规范训练限时规范训练(限时练限时练·夯基练夯基练·提能练提能练) A 级 基础夯实练级 基础夯实练 1 (2018·太原一模太原一模)已知椭圆已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆的一个焦点是圆 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 x2y26x80 的圆心，且短轴长为的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为，则椭圆的左顶点为( ) A(3，0) B(4，0) C(10，0) D(5，0) 解析 ： 选解析 ： 选D.圆的标准方程为圆的标准方程为(x3)2y21， 圆心坐标为， 圆心坐标为(3， 0)， ， c3.又又 b4，a5.椭圆的焦点在椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的轴上，椭圆的b b2 2c2 2 左顶点为左顶点为(5，0) 2 (2018·湖北武汉模拟湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点， 长轴长是已知椭圆的中心在坐标原点， 长轴长是 8， 离心率是 ，则此椭圆的标准方程是 ， 离心率是 ，则此椭圆的标准方程是( ) 3 3 4 4 A.1 B1 或或1 x x2 2 1 16 6 y y2 2 7 7 x2 2 1 16 6 y y2 2 7 7 x x2 2 7 7 y y2 2 1 16 6 C.1 D1 或或1 x x2 2 1 16 6 y y2 2 2 25 5 x x2 2 1 16 6 y y2 2 2 25 5 x x2 2 2 25 5 y y2 2 1 16 6 解析 ： 选解析 ： 选 B.因为因为 a4， e ， 所以 ， 所以 c3， 所以， 所以 b2a2c2169 3 3 4 4 7.因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是 因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是 1 或或 x x2 2 1 16 6 y2 2 7 7 x x2 2 7 7 y y2 2 1 16 6 1. 3(2018·湖北八校联考湖北八校联考)设设 F1，F2分别为椭圆分别为椭圆1 的两个的两个 x x2 2 9 9 y y2 2 5 5 焦点，点焦点，点 P 在椭圆上，若线段在椭圆上，若线段 PF1的中点在的中点在 y 轴上，则的值为轴上，则的值为 | |P PF F2 2| | | |P PF F1 1| | ( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B 5 5 1 14 4 5 13 C. D 4 4 9 9 5 5 9 9 解析 ： 选解析 ： 选 B.由题意知由题意知 a3， b， c2.设线段设线段 PF1的中点为的中点为 M，5 5 则有则有 OMPF2，因为，因为 OMF1F2，所以，所以 PF2F1F2，所以，所以|PF2| b b2 2 a a .又因为又因为|PF1|PF2|2a6， 所以， 所以|PF1|2a|PF2|， 所以， 所以 5 5 3 3 1 13 3 3 3 | |P PF F2 2| | | |P PF F1 1| | ×，故选×，故选 B. 5 5 3 3 3 3 1 13 3 5 5 1 13 3 4 (2018·湖南百校联盟联考湖南百校联盟联考)已知椭圆已知椭圆1(ab0)的右顶的右顶 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b2 2 点和上顶点分别为点和上顶点分别为 A、 B， 左焦点为， 左焦点为 F.以原点以原点 O 为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线 BF 相切， 且该圆与相切， 且该圆与 y 轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点 C， 过点， 过点 C 的直线交椭圆于的直线交椭圆于 M、 N 两点若四边形两点若四边形 FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A. B 3 3 5 5 1 1 2 2 C. D 2 2 3 3 3 3 4 4 解析：选解析：选 A.因为圆因为圆 O 与直线与直线 BF 相切，所以圆相切，所以圆 O 的半径为，的半径为， b bc c a a 即即 OC，因为四边形，因为四边形 FAMN 是平行四边形，所以点是平行四边形，所以点 M 的坐标为的坐标为 b bc c a a ， 代入椭圆方程得， 代入椭圆方程得1， 所以， 所以 5e22e30， ( a ac 2 ，b bc c a a) （ （ac） ）2 2 4 4a a2 2 c c2 2b b2 2 a a2 2b b2 2 又又 0e1，所以，所以 e .故选故选 A. 3 3 5 5 5(2018·四川凉山州模拟四川凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的 长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的 长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B 1 1 3 3 3 3 C. D 3 3 4 4 2 2 2 2 3 3 解析：选解析：选 D.不妨令椭圆方程为不妨令椭圆方程为1(ab0)因为以椭圆因为以椭圆 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点， 所以所以 2b，即，即 a3b， 2 2a a 3 3 则则 c2b，a a2 2b2 22 2 则该椭圆的离心率则该椭圆的离心率 e .故选故选 D. c a 2 2 2 2 3 3 6(2018·贵阳模拟贵阳模拟)若椭圆若椭圆1(ab0)的离心率为，短的离心率为，短 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 3 3 2 2 轴长为轴长为 4，则椭圆的标准方程为，则椭圆的标准方程为_ 解析：由题意可知解析：由题意可知 e ， ，2b4，得，得 b2， c c a a 3 3 2 2 所以解得所以解得 c c a a 3 2 ， a a2 2b2 2c2 24c2 2，) a a4， c c2 3，) 所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为1. x x2 2 1 16 6 y y2 2 4 4 答案：答案：1 x x2 2 1 16 6 y y2 2 4 4 7设设 F1，F2是椭圆是椭圆1 的两个焦点，的两个焦点，P 是椭圆上的点，是椭圆上的点， x x2 2 4 49 9 y y2 2 2 24 4 且且|PF1|PF2|43，则，则PF1F2的面积为的面积为_ 解析 ： 因为解析 ： 因为|PF1|PF2|14， 又， 又|PF1|PF2|43， 所以， 所以|PF1|8， |PF2| 6.因 为因 为 |F1F2| 10， 所 以， 所 以 PF1 PF2.所 以所 以 S PF1F2 1 1 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |PF1|··|PF2| × ×8××624. 1 1 2 2 答案：答案：24 8 (2018·海南海口模拟海南海口模拟)已知椭圆已知椭圆1(ab0)的左焦点为的左焦点为 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 F1(c，0)，右顶点为，右顶点为 A，上顶点为，上顶点为 B，现过，现过 A 点作直线点作直线 F1B 的垂线， 垂足为 的垂线， 垂足为 T，若直线，若直线 OT(O 为坐标原点为坐标原点)的斜率为，则该椭圆的离的斜率为，则该椭圆的离 3b c 心率为心率为_ 解析 ： 因为椭圆解析 ： 因为椭圆1(ab0)， A， B 和和 F1点坐标分别为点坐标分别为(a， x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 0)，(0，b)，(c，0)，所以直线，所以直线 BF1的方程是的方程是 y xb，OT 的方程的方程 b b c c 是是 yx.联立解得联立解得 T 点坐标为，直线点坐标为，直线 AT 的斜率为的斜率为 3 3b b c c( c 4， ，3 3b 4) .由由 ATBF1得， × 得， × 1， ， 3b24acc2， ， 3(a2c2) 3 3b b 4 4a ac 3 3b b 4 4a ac b b c c 4acc2，4e24e30，又，又 0e1，所以，所以 e . 1 1 2 2 答案：答案：1 1 2 2 9分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)与椭圆与椭圆1 有相同的离心率且经过点有相同的离心率且经过点(2，)； x x2 2 4 4 y y2 2 3 3 3 3 (2)已知点已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距 离分别为 到两焦点的距 离分别为 5，3，过，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点 解 ：解 ： (1)由题意， 设所求椭圆的方程为由题意， 设所求椭圆的方程为t1或或t2(t1， t2 x x2 2 4 4 y y2 2 3 3 y y2 2 4 4 x x2 2 3 3 0)， 因为椭圆过点， 因为椭圆过点(2， ， )， 所以， 所以t12， 或， 或t23 3 2 22 2 4 4 （ （ 3） ）2 2 3 3 （ （ 3） ）2 2 4 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . 2 22 2 3 3 2 25 5 1 12 2 故所求椭圆的标准方程为故所求椭圆的标准方程为1 或或1. x x2 2 8 8 y y2 2 6 6 y y2 2 2 25 5 3 3 x x2 2 2 25 5 4 4 (2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 1(ab0)或或1(ab0)，由已知条件得，由已知条件得 y y2 2 a a2 2 x x2 2 b b2 2 2 2a a53， （ （2c） ）2 252 232 2，) 解得解得 a4，c2，所以，所以 b212. 故椭圆方程为故椭圆方程为1 或或1. x x2 2 1 16 6 y y2 2 1 12 2 y y2 1 16 6 x x2 2 1 12 2 10(2018·兰州市诊断考试兰州市诊断考试)已知椭圆已知椭圆 C：1(ab0)经经 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 过点过点(，1)，且离心率为，且离心率为.2 2 2 2 2 2 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设设 M，N 是椭圆上的点，直线是椭圆上的点，直线 OM 与与 ON(O 为坐标原点为坐标原点)的斜 率之积为 的斜 率之积为 .若动点若动点 P 满足满足2，求点，求点 P 的轨迹方程的轨迹方程 1 1 2 2 O OP P O OM M O ON N 解：解：(1)因为因为 e，所以 ，所以 ， 2 2 2 2 b b2 2 a a2 2 1 1 2 2 又椭圆又椭圆 C 经过点经过点(，1)，所以，所以1，2 2 2 2 a a2 2 1 1 b b2 2 解得解得 a24，b22， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为1. x x2 2 4 y y2 2 2 2 (2)设设 P(x， y)， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则由， 则由2得得 xx1 O OP P O OM M O ON N 2x2，yy12y2， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为点因为点 M，N 在椭圆在椭圆1 上，上， x x2 2 4 4 y y2 2 2 2 所以所以 x 2y 4，x 2y 4， 2 2 1 12 2 1 12 2 2 22 2 2 2 故故 x22y2(x 4x1x24x )2(y 4y1y24y )(x 2y )4(x 2 2 1 12 2 2 22 2 1 12 2 2 22 2 1 12 2 1 1 2y )4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2) 2 2 2 22 2 2 2 设设 kOM，kON分别为直线分别为直线 OM 与与 ON 的斜率，由题意知，的斜率，由题意知， kOM··kON ，因此 ，因此 x1x22y1y20， y1 1y y2 2 x x1 1x x2 2 1 1 2 2 所以所以 x22y220， 故点故点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为1. x x2 2 2 20 0 y y2 2 1 10 0 B 级 能力提升练级 能力提升练 11(2018·湖北八校第一次联考湖北八校第一次联考)如图，已知椭圆如图，已知椭圆 C 的中心为原点的中心为原点O，F(5，0)为为C的左焦点，的左焦点，P为为C上一点， 满足 上一点， 满足|OP|OF|且且|PF|6，则椭圆，则椭圆 C 的方程为的方程为( ) A.1 B1 x x2 2 3 36 6 y y2 2 1 16 6 x x2 2 4 40 0 y y2 2 1 15 5 C.1 D1 x x2 2 4 49 9 y y2 2 2 24 4 x x2 2 4 45 5 y y2 2 2 20 0 解析 ： 选解析 ： 选 C.由题意可得由题意可得 c5， 设右焦点为， 设右焦点为 F， 连接， 连接 PF， 由， 由|OP| |OF|OF|知，知，PFFFPO，OFPOPF，PFF OFP FPO OPF， ， FPO OPF 90° ， 即° ， 即 PFPF.在在 RtPFF中， 由勾股定理， 得中， 由勾股定理， 得|PF| |F FF F| |2 2|PF|2 2 8， 由椭圆定义， 得， 由椭圆定义， 得|PF|PF|2a6814， 从而， 从而 a7，1 10 02 262 2 得得 a249， 于是， 于是 b2a2c2725224， 所以椭圆， 所以椭圆 C 的方程为的方程为 x x2 2 4 49 9 y y2 2 2 24 4 1，故选，故选 C. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12(2018·河南郑州质量预测河南郑州质量预测)椭圆椭圆1 的左焦点为的左焦点为 F，直，直 x x2 2 5 5 y y2 4 4 线线 xa 与椭圆相交于点与椭圆相交于点 M，N，当，当FMN 的周长最大时，的周长最大时，FMN 的面积是的面积是( ) A. B 5 5 5 5 6 6 5 5 C. D 8 8 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 解析：选解析：选 C.设椭圆的右焦点为设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知，由椭圆的定义知FMN 的周 长为 的周 长为 L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|) 因为 因为5 55 5 |ME|NE|MN|，所以，所以|MN|ME|NE|0，当直线，当直线 MN 过点过点 E 时取等号，所以时取等号，所以 L4|MN|ME|NE|4，即直线，即直线 xa 过过5 55 5 椭圆的右焦点椭圆的右焦点E时， 时， FMN的周长最大， 此时的周长最大， 此时S FMN × ×|MN|××|EF| 1 1 2 2 ×× ××2，故选，故选 C. 1 1 2 2 2 2 ×× 4 4 5 5 8 8 5 5 5 5 13(2018·陕西部分学校一检陕西部分学校一检)已知已知 P 为椭圆为椭圆1(ab0) x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 上一点，上一点， F1， F2是其左、 右焦点， 是其左、 右焦点， F1PF2取最大值时，取最大值时， cosF1PF2 ，则椭圆的离心率为 ，则椭圆的离心率为_ 1 1 3 3 解析：易知解析：易知F1PF2取最大值时，点取最大值时，点 P 为椭圆为椭圆1 与与 y 轴轴 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 的交点，由余弦定理及椭圆的定义得的交点，由余弦定理及椭圆的定义得 2a24c2，即，即 ac，所，所 2 2a a2 2 3 3 3 3 以椭圆的离心率以椭圆的离心率 e . c a 3 3 3 3 答案：答案： 3 3 3 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 14(2018·河南师大附中模拟河南师大附中模拟)椭圆椭圆 C：1(ab0)的左的左 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 焦点为焦点为 F，若，若 F 关于直线关于直线xy0 的对称点的对称点 A 是椭圆是椭圆 C 上的点，上的点，3 3 则椭圆则椭圆 C 的离心率为的离心率为_ 解析：设解析：设 F为椭圆的右焦点，则为椭圆的右焦点，则 AFAF，AFF， 3 3 |AF|AF|， |FF|2|AF|， 因此椭圆， 因此椭圆 C 的离心率为的离心率为3 3 2 2c c 2 2a a 1. | |F FF F| | | |A AF F| |AF| 2 2 3 31 3 3 答案：答案：13 3 15 已知 已知 A(x0， 0)， B(0， y0)两点分别在两点分别在 x 轴和轴和 y 轴上运动， 且轴上运动， 且|AB| 1，若动点，若动点 P(x，y)满足满足2. O OP P O OA A 3 3O OB B (1)求动点求动点 P 的轨迹的轨迹 C 的标准方程；的标准方程； (2)直线直线 l： xty1 与曲线与曲线 C 交于交于 A，B 两点，两点，E(1，0)，试问 ： 当 ，试问 ： 当 t 变化时，是否存在一条直线变化时，是否存在一条直线 l，使，使ABE 的面积为的面积为 2？若存在，？若存在，3 3 求出直线求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由的方程；若不存在，说明理由 解 ：解 ： (1)因为因为2， 即， 即(x， y)2(x0， 0)(0， y0)(2x0， O OP P O OA A 3 3O OB B 3 3 y0)，所以，所以 x2x0，yy0，所以，所以 x0 x，y0y，又，又|AB|1，3 33 3 1 1 2 2 3 3 3 3 所以所以 x y 1，即，即1，即，即1，所以动点，所以动点 P 的轨的轨 2 2 0 02 2 0 0 ( 1 2x) 2 2 ( 3 3 3 3 y y)2 2 x x2 2 4 4 y y2 2 3 3 迹迹 C 的标准方程为的标准方程为1. x x2 2 4 4 y y2 2 3 3 (2)由方程组得由方程组得(3t24)y26ty90， x xty1， x x2 2 4 4 y 2 2 3 3 1，) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则， 则 y1y2， y1y20， 6 6t t 3 3t t2 24 9 9 3 3t t2 24 所以所以|y1y2| （ （y1 1y2 2） ）2 24y1 1y y2 2 . ( 6t 3t2 24) 2 4( 9 3t2 24) 1 12 2 t t2 2 1 3t2 24 因为直线因为直线xty1过点过点F(1， 0)， 所以， 所以S ABE |EF|y1y2| × ×2 1 1 2 2 1 1 2 2 ×，×， 1 12 2 t t2 2 1 3t2 24 1 12 2 t t2 2 1 3t2 24 令令2，则，则 t2 ，不成立，故不存在满足题意的直 ，不成立，故不存在满足题意的直 1 12 2 t t2 2 1 3t2 24 3 3 2 2 3 3 线线 l. 16 (2018·湖北部分重点中学起点考试湖北部分重点中学起点考试)已知椭圆已知椭圆 C：1(a x x2 2 a a2 2 y2 2 b b2 2 b0)的离心率为，左焦点为的离心率为，左焦点为 F(1，0)，过点，过点 D(0，2)且斜率为且斜率为 k 2 2 2 2 的直线的直线 l 交椭圆于交椭圆于 A，B 两点两点 (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)在在 y 轴上，是否存在定点轴上，是否存在定点 E，使·恒为定值？若存在，求，使·恒为定值？若存在，求 A AE E B BE E 出出 E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由 解：解：(1)由已知可得可得由已知可得可得 a22，b21， c a 2 2 ， a a2 2b2 2c2 2， c c1， ) 所以椭圆所以椭圆 C 的标准方程为的标准方程为y21. x x2 2 2 2 (2)设过点设过点 D(0，2)且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 的方程为的方程为 ykx2， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由消去由消去 y 整理得整理得(12k2)x28kx60， x x2 2 2 2 y2 21， y ykx2，) 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 x1x2， 8 8k k 1 12k2 2 x1x2. 6 6 1 12k2 2 又又 y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，y1 2 2k k2 24 2k2 21 y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4. 4 4 2 2k k2 21 设存在点设存在点 E(0，m)，则，则(x1，my1)，(x2，my2)， AE B BE E 所以·所以·x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m×× A AE E B BE E 6 6 2 2k k2 21 . 4 4 2 2k k2 21 2 2k k2 24 2k2 21 （ （2m2 22） ）k2 2m2 2 4m10 2k2 21 要使·要使·t(t 为常数为常数)， A AE E B BE E 只需只需t， （ （2m2 22） ）k2 2m2 2 4m10 2k2 21 从而从而(2m222t)k2m24m10t0， 即解得即解得 m，从而，从而 t， 2 2m m2 222t0， m m2 24m10t0，) 1 11 1 4 4 1 10 05 5 1 16 6 故存在定点故存在定点 E，使·恒为定值，使·恒为定值. (0 0， ，1 11 1 4 4) A AE E B BE E 1 10 05 5 1 16 6 C 级 素养加强练级 素养加强练 17 已知椭圆 已知椭圆1(ab0)的一个顶点为的一个顶点为 B(0， 4)， 离心率， 离心率 e x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 ，直线，直线 l 交椭圆于交椭圆于 M，N 两点两点 5 5 5 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若直线若直线 l 的方程为的方程为 yx4，求弦，求弦 MN 的长；的长； (2)如果如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线，求直线 l 方程的 一般式 方程的 一般式 解：解： (1)由已知得由已知得 b4，且 ，即 ，且 ，即 ， c c a a 5 5 5 5 c c2 2 a a2 2 1 1 5 5 ，解得 ，解得 a220， a a2 2b2 2 a a2 2 1 1 5 5 椭圆方程为椭圆方程为1. x x2 2 2 20 0 y y2 2 1 16 6 则则 4x25y280 与与 yx4 联立，联立， 消去消去 y 得得 9x240x0，x10，x2， 4 40 0 9 9 所求弦长所求弦长|MN|x2x1|.1 112 2 4 40 0 2 2 9 9 (2)设椭圆右焦点设椭圆右焦点 F 的坐标为的坐标为(2， 0)， 线段， 线段 MN 的中点为的中点为 Q(x0， y0)， 由三角形重心的性质知由三角形重心的性质知2， 又， 又 B(0， 4)， ， (2， ， 4)2(x02， B BF F F FQ Q y0)，故得，故得 x03，y02， 即得即得 Q 的坐标为的坐标为(3，2) 设设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，则 x1x26，y1y24， 且且1，1， x x 2 20 0 y y 1 16 6 x x 2 20 0 y y 1 16 6 以上两式相减得以上两式相减得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 0， （ （x1 1x2 2） ）（ （x1 1 x2 2） ） 20 （ （y 1 1 y2 2） ）（ （y1 1y2 2） ） 16 kMN · × ， · × ， y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 4 4 5 5 x x1 1x2 2 y y1 1y2 2 4 4 5 5 6 6 4 6 5 故直线故直线 MN 的方程为的方程为 y2 (x3)， 6 6 5 5 即即 6x5y280.